13.1.2
线段的垂直平分线的性质
一、新课导入
1.导入课题：
前面我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称的意义和性质，这节课我们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线的性质和判定.
2.学习目标：
(1)能述出线段垂直平分线的性质.
(2)能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题.
（3）能说出线段垂直平分线的判定方法.
3.学习重、难点：
重点：线段垂直平分线的性质.
难点：线段垂直平分线的性质与判定的运用.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：探究线段垂直平分线上的点与两个端点的距离有什么关系？
(2)自学时间：10分钟.
(3)自学方法：
通过作图、猜想、验证，得出结论.
(4)探究提纲：
①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.
a.P1到端点A、B的距离是什么？分别表示为P1A、P1B.
b.量一量这两个距离，你能猜想出什么结论？
P1A=
P1B
c.你能用什么方法来证明你的猜想，试写出论证(或说明).
证明：∵l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB.
又CA=CB，P1C=
P1C，
∴△P1CA≌△P1CB
(SAS).
∴P1A=
P1B.
d.P2，P3分别到A、B点的距离也满足上述关系吗？
满足
e.由折叠的方法能否验证你的结论？试试看.
②归纳：线段垂直平分线的性质.
文字语言叙述：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
几何语言叙述：∵l垂直平分AB，P是l上一点;∴PA=PB.
③如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？
点P在线段AB的垂直平分线上
证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上.
这个结论与②中的结论之间有何关(联)系？
它们互为逆定理.
④归纳：线段垂直平分线性质的逆定理.
文字语言叙述：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
几何语言叙述：∵PA=PB;∴P点在AB的垂直平分线上.
⑤比较这两个性质之间的区别和联系.
2.自学：学生结合自学指导进行探究式学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情；这节的难点是性质的证明，看学生对文字语言的证明过程是否熟练.
②差异指导：引导学生用全等三角形的知识对性质进行证明.
(2)生助生：在区别两个性质的因果关系时，小组合作交流共同完成区分条件与结论.
4.强化：
(1)交流学习成果：①线段垂直平分线的定义；②线段垂直平分线的性质.
(2)练习：
到三角形三个顶点的距离相等的点是（B）
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三边高线的交点
D.没有这样的点
第二层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：
教材第62页例1.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：动手画图，分析作图的原理.
(4)自学参考提纲：
①复习：什么是尺规作图？尺规作图的步骤有哪些？
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.
步骤：a.已知；b.求作；c.作法；d.作图.
②画图：按照例题的步骤动手画一画.
③分析：
a.以C为圆心，CK为半径作弧交AB于D、E，则CD与CE是何关系？
CD=CE
b.分别以D、E为圆心，大于DE长为半径作弧交于F，说明DF与EF如何？
DF=EF
c.为什么要“大于DE的长为半径画弧”？
解：这样所画的弧才能相交.
d.作直线CF得出CF⊥AB的道理是什么？
解：先由SSS证明∠DCF=∠ECF，再结合CD=CE，∠CDE=∠CED，证得CF⊥DE，即CF⊥AB.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：学生知道“过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条”，但不会用尺规作图作线段的垂线.
②差异指导：引导学生阅读作法，分析作图原理.
(2)生助生：小组讨论作图原理，有不明白的地方小组合作交流帮助解决.
4.强化：
练习：教材第62页练习1、2题.学生板演.
练习1：AB=AC=CE，AB+BD=DE.
练习2：直线AM是线段BC的垂直平分线.
第三层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第62页“思考”到第63页的内容.
(2)自学时间：8分钟.
(3)自学方法：通过观察、分析、操作、总结归纳得出作对称轴的方法.
(4)自学参考提纲：
①如果两个图形成轴对称，其对称轴与对应点所连线段的关系是怎样的？
解：对称轴垂直平分对应点所连线段.
②为什么说例2的作法本质上就是线段垂直平分线的尺规作图？你能用尺规作图的方法作一条线段的垂直平分线吗？动手试试，并简要说明作图方法？
解：因为A，B两点关于CD对称，根据两个图形成轴对称的性质可知例2的作法就是线段垂直平分线的尺规作图.
作法：如图所示：(1)分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弦相交于C、D两点；(2)作直线CD.CD即为AB的垂直平分线.
③请你动手作出教材中五角星及它的对称轴.并简要说明理由？
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情；通过前两节的学习，了解学生对对称轴的画法是否已经熟悉.
②差异指导：引导学生画复杂图形的对称轴，关键是先找出对应点，然后再画任意一对对应点所连线段的垂直平分线.
(2)生助生：学生之间相互交流帮助解疑难.
4.强化：
(1)交流学习成果：作线段垂直平分线的方法；作成轴对称的两个图形的对称轴的方法和依据.
(2)总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
(3)练习：教材第64页“练习”.
练习2：角的平分线所在的直线是角的对称轴.
练习3：与A成轴对称的是B.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生相互交谈自己的学习收获和学习困惑.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
本课教学力求充分体现内容的基础性，方法的灵活性，学生学习的主体性和教学的主导性，在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、动手交流和表述，并借助多媒体的手段辅助教学，增强直观性、激发学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好的交流与合作，利用师生的双边活动，激发学生学习兴趣，教师从中发现、搜集学生的学习情况，查漏补缺，适时调度，从而顺利达到教学的目的.
针对性练习
一、基础巩固（每题10分，共60分）
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上的一点.已知线段MA=12cm，则线段MB的长为12cm.
2.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D
，△ABD的周长是12cm，AC=5cm，则AB+BC=12cm，△ABC的周长是17cm.
3.下列几何图形：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形，其中一定是轴对称图形的是①②③④（填序号）.
4.在△ABC中，AB的中垂线与AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为（C）
A.50°
B.40°
C.40°或140°
D.40°或50°
5.将一正方形纸片按图（1），图（2）的方式依次对折之后，再沿图(3)中的虚线裁剪得图(4).最后将图(4)的纸片打开铺平，所得到的图案是（B）
6.画出下列图形的对称轴（有几条对称轴就画出几条，不要遗漏）.
二、综合应用（20分）
7.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E；
(1)若∠DBC=22.5°，则在不添加辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有多少个？
(2)你认为图中有多少组全等三角形，并把他们写下来.
解：(1)5个.(2)4组，△BCD≌△BC′D，△ABE≌△C′DB，△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB.
三、拓展延伸（每题10分，共20分）
8.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.
解：如图所示，两条高速公路相交的角的角平分线和AB的垂直平分线的交点P1与P2点.
9.△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线交于BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，求证：BM=MN=NC.
证明：连接AM，AN.∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，∴MB=MA，NA=NC，∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC.又AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°∴∠MAB+∠NAC=∠B+∠C=60°，∴∠MAN=∠BAC-(∠MAB+∠NAC)=60°，∵∠MAN=∠AMN=∠ANM=60°，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC.第十三章轴对称
13.1轴对称
13.1.1轴对称
一、新课导入
1.导入课题：
放映一些生活中常见的轴对称图形的设计图片，并进行下列解说：
我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些具有对称性，对称给我们带来多少美的感受！而轴对称是对称中重要的一种，这节课让我们一起走进轴对称吧！
2.学习目标：
(1)能在生活实例中认识轴对称图形．
(2)会区分轴对称图形和两个图形成轴对称的联系和区别.
(3)认识轴对称图形的性质.
(4)了解线段的垂直平分线的概念，掌握线段垂直平分线与对称轴之间的区别和联系.
3.学习重、难点：
重点：轴对称图形的概念及轴对称图形的性质．
难点：能够识别轴对称图形并会找出它的对称轴．
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第58页到第59页最后一个思考前面部分.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：
通过观察、折叠、总结轴对称图形的特征.
(4)自学参考提纲：
①认真观察教材中的图片，你能简要说出它们的共同特征吗？你还能举出生活中类似于这种图形的实例吗？
它们都是轴对称图形，如：课桌、一些汽车标志、奥运5环等等.
②你能动手操作剪出与教材类似的图案吗?动手试试看.
③你是怎样找一个轴对称图形的对称轴？写出自己的看法.
把这个图形沿一条直线折叠，使直线两旁的部分重合，这条直线就是这个图形的对称轴.
④请你举出一些生活中两个图形成轴对称的例子，并指明它的对称轴.
比如一个标准篮球场的两个半场的图案，对称轴是中场线.
⑤你能说出轴对称与轴对称图形的联系和区别吗？
轴对称是指两个图形，轴对称图形是指单一图形，它们都有对称轴.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：轴对称图形和两个图形成轴对称的联系和区别是本层次的难点，学生对两个概念容易混淆，教师应特别关注.
②差异指导：借助幻灯片展示轴对称图形和两个图形成轴对称之间的区别和联系，帮助学生深刻认真加以区分.
(2)生助生：学生小组合作交流找出两个概念之间的关键字眼和图形特征.
4.强化：
(1)轴对称图形的意义.
(2)两个图形成轴对称的意义.
(3)轴对称与成轴对称的联系与区别.
(4)练习：下列各图，你能找出它们的对称轴吗？请一一画出：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解：如图所示，图形（3）有无数条对称轴.
（5）小组交流展示：
①归纳轴对称图形的特征，并能举出一两个实例.
②找对称轴的方法.
第二层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：
教材第59页最后一个“思考”至第60页“练习”之前的内容.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：通过画图、思考得出结论.
(4)自学参考提纲：
①认真阅读P59页最下面的一个思考：
a.点A、B、C的对称点分别是A′、B′、C′.
b.线段AA′、BB′、CC′之间的位置关系AA′∥BB′∥CC′.
c.线段AA′、BB′、CC′与对称轴之间的位置关系：AA′⊥MN、BB′⊥MN、CC′⊥MN.
②归纳：垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
③归纳：图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.并结合图13.1-5，叙述轴对称图形的性质.
④画出一些关于直线成轴对称的图形，然后同桌展示交流，并用文字语言叙述图形轴对称的性质.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情；学生能从图形中获得表象知识，但是在学习图形轴对称的性质过程中，当图形与文字语言结合时，学生有点混淆，教师特别关注其中的易混点.
②差异指导：引导学生挖掘垂直平分线中的关键字眼以及成轴对称图形的性质的归纳.
(2)生助生：小组合作帮助完成自学提纲中的④.
4.强化：
(1)成轴对称的两个图形的性质.
(2)线段的垂直平分线的意义.
(3)练习：教材第60页“练习”.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生相互交流自己的学习收获和学习困惑.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及不足进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师自我评价（教学反思）:
本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，重视学生的实际操作和观察发现与表述能力.教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.
针对性练习
一、基础巩固（每题10分，共60分）
1．线段是轴对称图形，它的对称轴是它的垂直平分线．
2．角是轴对称图形，它的对称轴是它的角平分线所在的直线．
3．简体汉字中“田、日、中”，都具有对称美的特点，请你再写出具有这们特征的三个汉字为王
喜
工．
4．下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并说明理由．
答：这个图形是：④（写出序号即可），理由是只有它不是轴对称图形．
5.下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是(B)
②
③
④
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
6.如图，它们是否是轴对称图形，如果是，它有几条对称轴？画画看.
二、综合应用（每题10分，共20分）
7.找出英文26个大写字母中哪些是轴对称图形？
解：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y是轴对称图形.
8.你能举出三个是轴对称图形的几何图形吗？
解：正方形、长方形、圆.（答案不唯一）
三、拓展延伸（20分）
9.小强站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，其读数如图所示，则电子钟的实际时刻是10：21．
