13.3.1等腰三角形
第2课时
等腰三角形的判定
一、新课导入
1.导入课题：
我们知道如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边是否也相等呢？这节课我们带着这个问题研究等腰三角形的判定方法.
2.学习目标：
(1)会阐述、推证等腰三角形的判定定理．
(2)会运用判定定理解决证明线段相等的问题.
3.学习重、难点：
重点：等腰三角形判定定理的灵活运用.
难点：探求等腰三角形的判定定理的证明.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：探究等腰三角形的判定方法.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：经历“操作——猜想——归纳——结论”过程，分清等腰三角形的判定定理的题设与结论.
(4)探究提纲：
①按等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形.
②如图，在△ABC中，∠B=∠C，那么AB与AC相等吗？若相等，又该如何证明呢？
a.猜想：AB=AC.
b.要证明两条线段相等，按以往的经验是采用什么方法？
证三角形全等.
c.要采用这些方法，图中具备采用这种方法的条件吗？若不具备，应怎么办？
不具备，作辅助线构造全等三角形.
d.根据思路，并写出你的证明.
证明：作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，
AD=AD，∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC.
e.将你上述探究的结论用文字表述出来：
等角对等边.
2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生对自己的猜想是否正确，证明线段相等的思路是否合理，结论表述是否清晰、准确.
②差异指导：引导学生回忆证明等量的常用方法是证明三角形全等，如何构造全等三角形进行点拨引导.
(2)生助生：学生间相互交流帮助，寻求解决问题的思路.
4.强化：
(1)交流学习成果：由学生代表回答自己是如何找出解决问题的探究方法的.
(2)总结：等腰三角形的判定方法：“等角对等边”.
第二层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第78页例2、例3.
(2)自学时间：10分钟.
(3)自学方法：边看边思考例2中命题证明的步骤及例3中每一步作图的依据，并动手尝试.
(4)自学参考提纲：
①例2中的题设和结论是用文字表述的，它是一个命题，从证明的全过程来看，证明命题的步骤有a.已知；b.求证；c.证明.
②填上例2证明中每步后面的理由.
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等角对等边.
③阅读例3，思考作法(2)为什么要作AB的垂直平分线？它依据了线段垂直平分线的什么性质？
可以在上面截取DC=h，依据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：例2、例3是等腰三角形判定的直接应用，例2的求证步骤学生难于把握，但学生对例3这种类型的题目，一般的学生不知道怎样找腰，并不能很好地写出完整的作法.
②差异指导：引导学生学会命题证明题的步骤，引导学生思考例3中如何找到这个等腰三角形的腰(确定相等的两条边).
(2)生助生：学生间相互交流帮助.
4.强化：
练习：教材第79页3、4题
练习3：已知：△ABC，D为AC的中点，BD=12AC.
求证：∠ABC=90°.
证明：∵D为AC的中点，BD=12AC.∴AD=BD=DC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠DBC.又∵∠A+∠ABC+∠C=∠A+∠ABD+∠C+∠DBC=2(∠ABD+∠DBC)=2∠ABC=180.∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形.
练习4：∵OA=OB，∴∠A=∠B，又∵AB∥DC，∴∠C=∠A=∠D=∠B，∴OC=OD.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生交谈自己的学习收获和学习中的困惑之处.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习态度、学习方法、成果和不足进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
利用等腰三角形的性质定理与判定定理的互逆关系来学习等腰三角形的判定是很重要、很常见的研究问题的方法，本节之前线段垂直平分线的知识的学习及以后学习平行四边形等特殊四边形的知识时会反复用到这种方法.
针对性练习
一、基础巩固（每题10分，共50分）
1.如图，∠A=36°，∠C=72°，∠DBC=36°，则图中等腰三角形有（A）个
A.3
B.2
C.1
D.0
2.如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD=3，则CD等于（A）
A.3cm
B.4cm
C.1.5cm
D.2cm
3.一个三角形不同顶点的三个外角的度数比是3∶3∶2，则这个三角形是等腰三角形.
4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O的平行线交AB于M，交AC于N.若AB=5，AC=7，BC=8，则△AMN的周长为12.
第4题图
第5题图
5.如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是BE=CD.（答案不唯一）
二、综合应用（20分）
6.已知：CE、CF分别平分∠ACB和它的外角∠ACM，EF∥BC，EF交AC于点D，E是CE与AB的交点.求证：DE=DF.
证明：∵CF平分∠ACM，∴∠ACF=∠MCF.
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE.
∵EF∥BC，∴∠F=∠MCF=∠ACF，∠FEC=∠BCE=∠ACE，
∴DF=DC，DE=DC，∴DE=DF.
三、拓展延伸（30分）
7.（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？
（2）上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？
解：(1)△ABC，△ADE，△BDF，△CEF，△BCF都是等腰三角形.
(2)有△BDF和△CEF是等腰三角形.
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF.
又DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF=∠ABF，∠EFC=∠BCF=∠ACF，
∴DF=DB，EF=EC.
∴△BDF和△CEF是等腰三角形.13.3等腰三角形
13.3.1等腰三角形
第1课时
等腰三角形的性质
一、新课导入
1.导入课题：
在前面学习轴对称图形中，大家知道等腰三角形是轴对称图形，今天我们就运用轴对称图形的性质来探究等腰三角形的性质.
2.学习目标：
(1)知道等腰三角形的性质.
(2)能运用等腰三角形的性质进行证明和计算.
3.学习重、难点：
重点：等腰三角形的性质及应用.
难点：等腰三角形的性质的证明.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：探究等腰三角形的性质.
(2)自学时间：8分钟.
(3)自学方法：通过折纸、剪纸，剪出等腰三角形，再对折等腰三角形.
(4)探究提纲：
①按下图指示进行折纸、剪纸，你能得到什么样的图形？
②剪下的△ABC是什么样的三角形？
△ABC是等腰三角形.
理由是：由①的操作可得到AB=AC.
③尝试沿折痕折叠△ABC，你有什么发现？将你发现的结论展示出来互相交流学习.
ABC=∠ACB，②AD平分∠BAC，AD垂直平分BC.
④结论的文字表述为：a.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；b.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）.
2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：学生在探究中对性质1容易得出，但对性质2难以全部找出并进行归纳，这需要了解学生观察分析折叠中其相等的元素是否全部找出.
②差异指导：引导学生观察折叠后相等的角和线段.
(2)生助生：分组讨论归纳性质2，相互说说自己的理由.
4.强化：
(1)交流学习成果：小组展示学习成果，得出等腰三角形的两条性质及简单表述方法.
(2)总结：
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
第二层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第76页到第77页“练习”前止.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：分析性质的证明方法和性质的运用方法.
(4)自学参考提纲：
①等腰三角形性质可以通过证明三角形全等得到.
②例1中根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角.
③在例1中为了使表述更简便，可以设∠A=x，再由三角形内角和定理列方程得∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生是否理解了性质证明的思路和方法，例1中结合图形思考条件与结论的关系依据是否掌握.
②差异指导：对学习中的疑点及不当之处进行点拨.
(2)生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
(1)等腰三角形性质
(2)练习：教材第77页“练习”1、2、3
练习1：（1）72°（2）30°
练习2：∠B=45°，∠C=45°，∠BAD=45°，∠DAC=45°.
相等的线段:AD=BD=DC，AB=AC.
练习3：∠B=77°，∠C=38.5°
(3)交流及总结：
利用等腰三角形性质解决问题时通常应与三角形内角和定理联系起来.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生交谈自己的学习收获和学习体会.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果和不足进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.
针对性练习
一、基础巩固（每题10分，共50分）
1.等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，则∠B=（C）
A．30°
B．60°
C．75°
D．85°
2.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（C）
A．80°
B．20°
C．20°或80°
D．50°或80°
3.等腰三角形底边为5，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3，则腰长为（A）
A.8
B.2
C.8或2
D.以上都不对
4.已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为17或19.
5．已知在等腰三角形中，有一个角的度数为120°,则另外两个角的度数为30°，30°.
二、综合应用（每题15分，共30分）
6.已知：等腰△ABC中，AB＝AC，AD是顶角∠BAC的外角的平分线.证明：AD∥BC.
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠1=∠2.
又∠EAC=∠B+∠C，
∴∠1=∠B.∴AD∥BC.
7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC=BD，求∠B的度数.
解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD.
∵AD=BD，∴∠BAD=∠B.
设∠B=x，则∠BAC=2∠BAD=2x，
∠C=∠ADC=∠B+∠BAD=2x，
∴∠B+∠BAC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，
∴∠B=36°.
三、拓展延伸（20分）
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE，求证：EF⊥
BC.
证明：作AD⊥BC，垂足为D.
∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAD.
∵∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF.
∴∠CAD=∠AEF，∴AD∥EF.
∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.
