13.3.2等边三角形
第2课时
含30°角的直角三角形的性质
一、新课导入
1.导入课题：
将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起(较长直角边靠在一起且直角顶点重合)，可拼成一个什么样的三角形？你能借助拼图找到直角尺的较短直角边与斜边之间的数量关系吗？(教师演示)
本节课我们再次学习与直角三角形相关的一个性质.
2.学习目标：
(1)运用等边三角形能推导出30°角的直角三角形的性质.
(2)能运用30°角的直角三角形的性质解决相关问题.
3.学习重、难点：
重点：含30°角的直角三角形的性质及应用.
难点：含30°角的直角三角形性质的推导.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：探究“在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边与斜边的数量关系”.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：借助30°
角的三角尺进行拼图实验，再由等边三角形的性质和判定进行分析.
(4)探究提纲：
①操作：用两个全等的含30°角的直角三角尺，能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
能，将60°角所对的边重合，则两直角组成平角，两30°角组成60°角，且两条斜边相等，所以能拼出一个等边三角形.
②由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
证明：如图，AD是等边三角形ABC的高，则∠BAD=∠BAC=30°，BD=BC=AB.
③把上述结论用文字语言和几何语言分别表述出来.
文字语言：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，则BC=AC.
2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生能否从拼图中得出结论及证明过程的书写是否得当规范.
②差异指导：引导学生先找出图形中相等的线段，然后再找出线段之间的数量关系.
(2)生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
(1)直角三角形的性质(文字表述及几何表述).
(2)练习：Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
∵∠B+∠A=180°-∠C=90°，∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°.∴AB=2BC.
第二层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第81页例5.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：通过认真分析已知条件，关注30°有什么作用？
(4)自学参考提纲：
①图中你能找出几个含30°角的直角三角形？
6个
②BC、DE各是哪两个直角三角形的边？
BC、DE分别是Rt△ABC、Rt△ADE的边.
③利用30°角的直角三角形有关性质：BC等于哪条边的一半，DE等于哪条边的一半.
BC=AB，DE=AD.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生是否确立BC、DE的长与哪条线段有关？为什么？
②差异指导：引导学生根据题意，顺次找出BC、DE所在的直角三角形，然后看所在直角三角形有什么特点？
(2)生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
(1)直角三角形中，当出现30°或60°角时，马上想到直角边和斜边的数量关系.
(2)练习：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高.求CD的长．
∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=30°.又∠D=90°，AC=2a，∴CD=AC=a.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生交谈自己的学习收获和学习体会.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
含30°角的直角三角形的性质由学生自主探索，利用实物归纳出性质，适时组织学生间的交流，在小组活动中适时介入讨论和评价，使学生能从实践中学习新知识.
针对性练习
一、基础巩固（第1、2、3、4题每题10分，第5题20分，共60分）
1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则AB与BC的关系是（C）
A．AB=BC
B.BC=AC
C.BC=AB
D.AC=AB
2.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°,
AD=2cm,则AB的长度是（C）
A.2cm
B.4
cm
C.8
cm
D.16cm
3.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2,则等腰三角形的顶角为（D）
A.30°
B.60°
C.150°
D.30°或150°
4.等腰△ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD等于（B
）
A.6
B.5
C.7
D.5.5
5.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：DC=2AD.
证明：∵∠A=90°，∠ABC=2∠C,∴∠C=30°，∠ABC=60°.
又BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°.
∴∠DBC=∠C，∴BD=DC.
在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=12BD=12DC，即DC=2AD.
二、综合应用（20分）
6.如图所示,
在△ABC中,BD是AC边上的中线,
延长BD至E，使DE=BD，DB⊥BC于B,
∠ABC=120°,
求证:
AB=2BC.
证明：∵BD是AC的中线，∴AD=CD.
在△ADE和△CDB中，AD=CD，∠ADE=∠CDB，DE=DB，
∴△ADE≌△CDB
(SAS).
∴∠E=∠CBD=90°，AE=BC.
又∠ABC=120°，∴∠ABE=30°.
∴在Rt△ABE中，AB=2AE，∴AB=2BC.
三、拓展延伸（20分）
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=AB．
证明：∵∠ACB=90°，CD⊥BA，∠A=30°，
∴∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠CDB=∠CDA=90°.
∴BD=BC，BC=AB，
∴BD=AB.13.3.2等边三角形
第1课时
等边三角形的性质与判定
一、新课导入
1.导入课题：
在等腰三角形中，如果底边等于腰长，那么这个等腰三角形又叫什么三角形呢？
2.学习目标：
(1)知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
(2)能叙述等边三角形的性质.
(3)熟练地运用等边三角形的性质解决问题.
3.学习重、难点：
重点：等边三角形的性质和判定方法.
难点：等边三角形的判定的证明.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：探究等边三角形的性质.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：注意观察、猜想、证明及归纳总结.
(4)探究提纲：
①如图，在△ABC中，如果AB=AC，那么它是等腰三角形，如果AB=AC=BC，那么这个三角形是等边三角形.
②等边三角形一定是等腰三角形吗？等腰三角形一定是等边三角形吗？
等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
③由②的判断结果，你认为等边三角形是怎样的等腰三角形？
等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形.
④在△ABC中，由AB=AC=BC，你能得出等边三角形三个内角的度数吗？试将结论用文字表述出来.
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
⑤在△ABC中，由∠A=∠B=∠C，你能得出三边的关系吗？试将结论用文字表述出来.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
⑥如图，△ABC中，AB=AC，
a.若∠A=60°，则∠B=60°，∠C=60°，
所以△ABC是等边三角形；
b.若∠B=60°，则∠A=60°，∠C=60°，
所以△ABC是等边三角形；
c.若∠C=60°，则∠A=60°，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形.
d.综合a、b、c你能得出什么结论？试将结论用文字表述出来.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生是否能通过等腰三角形的性质去推断等边三角形的性质.
②差异指导：引导学生回忆等腰三角形的知识，并运用等腰三角形的知识，去推导等边三角形的性质，运用等腰三角形的判定去推导等边三角形的判定.
(2)生助生：学生合作交流帮助完成等边三角形性质和判定的探究.
4.强化：
(1)交流学习成果：小组交流，展示成果.
(2)总结：①等边三角形与等腰三角形的联系与区别.②等边三角形的性质及判定.
第二层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第80页例4.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：分析此题证明△ADE是等边三角形所采用的方法，还可思考有无其它方法解决.
(4)自学参考提纲：
①判定一个三角形是等边三角形，按角判定，需证三个角都相等.
②判定一个三角形是等边三角形，按边、角判定，需证有两边相等和有一个角等于60°.
③例4中，证△ADE是等边三角形，教材的思路是：证：∠A=∠ADE=∠AED
还可以证：∠A=60°和AD=AE.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生证明△ADE是等边三角形的思路方法是否正确.
②差异指导：引导学生复习等边三角形的判定方法，帮助学生从已知条件中寻求满足判定条件的条件.
(2)生助生：学生相互交流帮助.
4.强化：
(1)例4中证明△ADE是等边三角形，除课本介绍的方法外，还可以先证△ADE有一个角是60°，再证明它是等腰三角形的方法证△ADE是等边三角形.
(2)练习：
①等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？
等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴.
②如图，△ABC中，AB=AC=BC，∠A、∠B、∠C的平分线相交于O，则图中共有4个等腰三角形.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生交流学习收获和学习体会.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及不足进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
本课时学习特殊的等腰三角形——等边三角形，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组间充分交流后概括所得结论，这既巩固等腰三角形的应用知识，又类比探索等腰三角形性质和判定定理的方法，加深了对等腰三角形与等边三角形联系与区别的理解.
针对性练习
一、基础巩固（第1、2、3、4每题10分，第5题20分，共60分）
1.等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形.
2.等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（C）
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
3.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有（D）
A.①②③
B.①②④
C.①③
D.①②③④
4.如果一个等腰三角形顶角的补角等于120°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形.
5.已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．
解：∵PB=PQ=QC=AP=AQ，
∴∠B=∠BAP，△APQ是等边三角形.∠C=∠CAQ.
∴∠B=∠APQ=30°，∠C=∠AQP=30°.
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°.
二、综合应用（20分）
6.如图，在等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？
解：AE，DE，BE，AF，CF，DF，DC.
三、拓展延伸（20分）
7.如图，在等边三角形ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OE∥AB，OF∥AC，试证明BE=EF=FC.
证明：在等边三角形ABC中，∠ABC=∠ACB=60°.
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=30°，∠ACO=∠OCE=30°，
又OE∥AB，OF∥AC，∴∠BOE=∠ABO=∠OBC=30°，∠COF=∠ACO=∠OCB=30°.
∵BE=OE，CF=OF，∠OEF=2∠OBE=60°，∠OFE=2∠OCF=60°.
∴△OEF是等边三角形.
∴OE=EF=OF.
∴BE=EF=FC.
