北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷
高一数学参考答案
2020.7
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
（1）D
（2）A
（3）B
（4）A
（5）B
（6）C
（7）D
（8）C
（9）C
（10）A
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
（11）
（12）
（13）
（14）；
（15）②③
（16）
注：（14）题每空2分；（15）题少解给2分，有错解不给分。
三、解答题（共6小题，共76分）
（17）（共12分）
解：（Ⅰ）因为
，，
所以
．
………
3分
所以
．
………
6分
（Ⅱ）因为
，，
所以
………
10分
．
………
12分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）取的中点，连接．
在中，，………1分
所以
．
………3分
因为正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
所以正三棱锥的侧面积是．
………
5分
因为正三棱锥的底面是边长为的正三角形，
所以正三棱锥的底面积为，
………
7分
所以正三棱锥的表面积为．
………
8分
（Ⅱ）连接，设点是正的中心，则垂直于底面，
且．
………
10分
在中，，
………
11分
所以正三棱锥的体积为．
………
13分
（19）（共12分）
解：（Ⅰ）因为，
所以．
………
1分
所以
．
………
3分
由已知得，
………
4分
所以．
………
6分
（Ⅱ）由正弦定理得，
………
8分
所以
．
………
9分
又因为
，
解得
，．
………
10分
所以
.
………
12分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由
，
………
1分
得
，
………
2分
所以
，其中．
………
3分
所以
的定义域为．
………
4分
（Ⅱ）
………
6分
………
7分
．
………
8分
因为
，
所以
，
………
9分
所以
当，即时，取得最大值．
………
11分
（Ⅲ）因为函数的单调递减区间为．
………
12分
由
，，
………
13分
得
．
所以的单调递减区间为．
………
14分
（21）（共12分）
解：（Ⅰ）在正方形中，直线与直线相交，
设，连结．
………
2分
因为平面，
且平面．
………
4分
所以平面底面．…
5分
（Ⅱ）设，连结．
由为的中点，得为的中点，
所以．
………
7分
所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台．
………
8分
设正方体的棱长为．
．
………
10分
所以另一部分几何体的体积为，
………
11分
所以两部分的体积之比是．
………
12分
（22）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，在中，由余弦定理，得
，
………
2分
所以．
………
3分
又因为，，
所以．
………
5分
（Ⅱ）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系．
………
6分
由题意知，由，得．
设，其中．
………
7分
则
………
8分
．………
10分
因为
，
所以
，
所以
，
………
11分
所以当时，取得最小值．
………
13分
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷
高一数学参考答案
第1页（共5页）北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷
高一数学
2020.7
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题
共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）下列各角中，与角终边相同的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）圆柱的母线长为，底面半径为，则圆柱的侧面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设，且，则
（A）或
（B）或
（C）或
（D）或
（5）设，均为单位向量，且，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（A）（B）（C）（D）
（8）设，且，则下列不等关系中一定成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）
将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像．在
同一坐标系中，这两个函数的部分图像如图所示，则（A）（B）（C）（D）
（10）棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台．小棱锥的体积记为，
棱台的体积记为，则与的函数图像为
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分（非选择题
共100分）
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
（11）已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为___．
（12）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．
若，则___．
（13）向量，满足，．若，则实数___．
（14）已知正方体的八个顶点在同一个球面上．若正方体的棱长是，则
球的直径是___；球的表面积是___．
（15）已知函数
给出下列三个结论：
①
是偶函数；
②
有且仅有个零点；
③
的值域是．
其中，正确结论的序号是___．
（16）设函数．若对任意的实数都成立，则的
最小值为___．
三、解答题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题12分）
已知，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
（18）（本小题13分）
如图，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为．
（Ⅰ）求正三棱锥的表面积；
（Ⅱ）求正三棱锥的体积．
（19）（本小题12分）
在中，角所对的边分别为．，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
（20）（本小题14分）
已知函数．
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）求在区间上的最大值；
（Ⅲ）求的单调递减区间．
（21）（本小题12分）
如图，在正方体中，为的中点．
（Ⅰ）在图中作出平面和底面的交线，并说明理由；
（Ⅱ）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比．
（22）（本小题13分）
如图，在扇形中，，半径，为弧上一点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求的最小值．
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