人教版数学八年级上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式 同步学案（练习含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式 同步学案（练习含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 176.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-07-17 23:11:44 | ||
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文档简介
14.2乘法公式
14.2.1
平方差公式
一、新课导入
1.导入课题:
某同学在计算98×102时将其变成（100-2）（100+2）并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课我们一起来探讨上述计算的规律.
2.学习目标:
（1）掌握平方差公式的推导及应用.
（2）了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.
3.学习重、难点:
重点：平方差公式及应用.
难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导:
（1）自学内容：探究平方差公式.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：通过计算多项式乘以多项式，观察等式两边的结构特点进行总结规律.
（4）探究提纲：
①用多项式相乘的方法计算（x+1）(x-1)=x2-1.
(m+2)(m-2)=m2-4.
(2x+1)(2x-1)=4x2-1.
②再来计算(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
③观察上面的结果，你发现了什么规律？把你发现的规律写出来.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
④用你发现的规律直接写出结果.
(a+1)(a-1)=a2-1;(x+3)(x-3)=x2-9;
⑤你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面积=S.
S=(a-b)b+(a-b)a=a2-b2.
方法二：如果剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，如图2，则S=S四边形AEBN=(a+b)(a-b).
2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.
3.助学：
（1）师助生:
①明了学情:了解学生能否从计算中发现规律并用数学式子表达规律.
②差异指导:引导学困生理解公式中a、b表示的意义及思考图中面积S的计算方法.
（2）生助生:互讲推导过程与方法，有异议的地方可合作交流探讨.
4.强化：
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b2.
（2）直接利用公式计算（3x+y）(3x-y)=9x2-y2.
第二层次学习
1.自学指导:
（1）自学内容：教材第108页例1、例2.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：注意运用平方差公式时如何确定公式中a、b分别表示什么？
（4）自学参考提纲：
①例1中，式子(-x+2y)(-x-2y)可以将-x
看成公式中的a,2y
看成公式中的b,结果是x2-4y2.
②例2中，（y-1）(y+5)为什么没有用平方差公式进行运算？
不符合平方差公式的条件，不能写成一个式子的平方与另一个式子的平方差的形式.
③例2中，102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996，这是数字计算中的一种巧算，试想想怎样的两个数能用平方差公式进行简便运算？
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情:了解学生是否看懂例题是如何运用公式的，公式中的a,b各代表什么？
②差异指导:强化不同层次学生对平方差公式适用的条件的理解及公式中a,b代表的式子的确定.
(2)生助生：学生之间相互交流探讨解决问题.
4.强化：
（1）无论是“两数和乘以两数差”还是“两项式乘以两项式，一项相同，另一项互为相反数”，都应该符合平方差公式的要求，都能运用公式进行计算.
（2）认真分析式子的特点，特别注意符号变化.
（3）下列式子能用平方差公式计算吗？
①
（3x+2）(3x-2);
②
(b+2a)(2a-b);
③
（-x+2y）(-x-2y);
能.9x2-4
能.4a2-b2
能.x2-4y2
④
102×983；⑤
（-x+y）(x-y).
不能.
不能.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体会.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
平方差公式体现了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法则推出，然后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解决实际问题.
针对性练习
一、基础巩固（每题10分，共70分）
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是（B）
A.(2a-3b)(-2a+3b)
B.(-3a+4b)(-4b-3a)
C.(a-b)(b-a)
D.(a-b-c)(-a+b+c)
2.下列各式中，运算结果为x2-36y2的是（D）
A.(x+4y)(x-9y)
B.(-6y+x)(-6y-x)
C.(-6y+x)(6y-x)
D.(-6y-x)(6y-x)
3.下列计算结果正确的是（C）
A.(x+2)(x-2)=x2-2
B.(x+2)(3x-2)=3x2-4
C.(ab-c)(ab+c)=a2b2-c2
D.(-x-y)(x+y)=x2-y2
4.(xn+4)(xn-4)=x2n-16,(-a+2b)(-a-2b)=a2-4b2
5.计算：(+x)
(-x=-x2.
6.计算：（a+3）(-a+3)=9-a2.
7.用简便方法计算:
（1）20×19
解：原式=（20+）（20-）
=202-（）2=400-=399
（2）20152-2014×2016
解：原式=20152-（2015-1）（2015+1）
=20152-［20152-1］=1
二、综合应用（每题10分，共20分）
8.计算(x-3)(x2+9)(x+3)
解：原式=(x2-9)(x2+9)=x4-81
9.计算(a+b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)
解：原式=a2-b2-(9a2-4b2)=
b2-8a2
三、拓展延伸（共10分）
10.已知x2-y2=34,x-y=2,求3y-x的值.
解：∵x2-y2=(x+y)(x-y)=34
2(x+y)=34
x+y=17
3y-x=(x+y)-2(x-y)
=17-2×2
=13
14.2.1
平方差公式
一、新课导入
1.导入课题:
某同学在计算98×102时将其变成（100-2）（100+2）并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课我们一起来探讨上述计算的规律.
2.学习目标:
（1）掌握平方差公式的推导及应用.
（2）了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.
3.学习重、难点:
重点：平方差公式及应用.
难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导:
（1）自学内容：探究平方差公式.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：通过计算多项式乘以多项式，观察等式两边的结构特点进行总结规律.
（4）探究提纲：
①用多项式相乘的方法计算（x+1）(x-1)=x2-1.
(m+2)(m-2)=m2-4.
(2x+1)(2x-1)=4x2-1.
②再来计算(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
③观察上面的结果，你发现了什么规律？把你发现的规律写出来.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
④用你发现的规律直接写出结果.
(a+1)(a-1)=a2-1;(x+3)(x-3)=x2-9;
⑤你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面积=S.
S=(a-b)b+(a-b)a=a2-b2.
方法二：如果剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，如图2，则S=S四边形AEBN=(a+b)(a-b).
2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.
3.助学：
（1）师助生:
①明了学情:了解学生能否从计算中发现规律并用数学式子表达规律.
②差异指导:引导学困生理解公式中a、b表示的意义及思考图中面积S的计算方法.
（2）生助生:互讲推导过程与方法，有异议的地方可合作交流探讨.
4.强化：
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b2.
（2）直接利用公式计算（3x+y）(3x-y)=9x2-y2.
第二层次学习
1.自学指导:
（1）自学内容：教材第108页例1、例2.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：注意运用平方差公式时如何确定公式中a、b分别表示什么？
（4）自学参考提纲：
①例1中，式子(-x+2y)(-x-2y)可以将-x
看成公式中的a,2y
看成公式中的b,结果是x2-4y2.
②例2中，（y-1）(y+5)为什么没有用平方差公式进行运算？
不符合平方差公式的条件，不能写成一个式子的平方与另一个式子的平方差的形式.
③例2中，102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996，这是数字计算中的一种巧算，试想想怎样的两个数能用平方差公式进行简便运算？
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情:了解学生是否看懂例题是如何运用公式的，公式中的a,b各代表什么？
②差异指导:强化不同层次学生对平方差公式适用的条件的理解及公式中a,b代表的式子的确定.
(2)生助生：学生之间相互交流探讨解决问题.
4.强化：
（1）无论是“两数和乘以两数差”还是“两项式乘以两项式，一项相同，另一项互为相反数”，都应该符合平方差公式的要求，都能运用公式进行计算.
（2）认真分析式子的特点，特别注意符号变化.
（3）下列式子能用平方差公式计算吗？
①
（3x+2）(3x-2);
②
(b+2a)(2a-b);
③
（-x+2y）(-x-2y);
能.9x2-4
能.4a2-b2
能.x2-4y2
④
102×983；⑤
（-x+y）(x-y).
不能.
不能.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体会.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
平方差公式体现了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法则推出，然后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解决实际问题.
针对性练习
一、基础巩固（每题10分，共70分）
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是（B）
A.(2a-3b)(-2a+3b)
B.(-3a+4b)(-4b-3a)
C.(a-b)(b-a)
D.(a-b-c)(-a+b+c)
2.下列各式中，运算结果为x2-36y2的是（D）
A.(x+4y)(x-9y)
B.(-6y+x)(-6y-x)
C.(-6y+x)(6y-x)
D.(-6y-x)(6y-x)
3.下列计算结果正确的是（C）
A.(x+2)(x-2)=x2-2
B.(x+2)(3x-2)=3x2-4
C.(ab-c)(ab+c)=a2b2-c2
D.(-x-y)(x+y)=x2-y2
4.(xn+4)(xn-4)=x2n-16,(-a+2b)(-a-2b)=a2-4b2
5.计算：(+x)
(-x=-x2.
6.计算：（a+3）(-a+3)=9-a2.
7.用简便方法计算:
（1）20×19
解：原式=（20+）（20-）
=202-（）2=400-=399
（2）20152-2014×2016
解：原式=20152-（2015-1）（2015+1）
=20152-［20152-1］=1
二、综合应用（每题10分，共20分）
8.计算(x-3)(x2+9)(x+3)
解：原式=(x2-9)(x2+9)=x4-81
9.计算(a+b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)
解：原式=a2-b2-(9a2-4b2)=
b2-8a2
三、拓展延伸（共10分）
10.已知x2-y2=34,x-y=2,求3y-x的值.
解：∵x2-y2=(x+y)(x-y)=34
2(x+y)=34
x+y=17
3y-x=(x+y)-2(x-y)
=17-2×2
=13