14.3.2公式法
第1课时
利用平方差公式分解因式
一、新课导入
1.导入课题：
我们学习了因式分解的意义，就是把一个多项式化成几个整式的积的形式.事实上，数学中许多公式就能起到这种作用，因此，我们今天开始学习几种特殊的公式来进行因式分解.
2.学习目标：
（1）知道平方差公式.
（2）会运用平方差公式进行因式分解.
3.学习重、难点：
重点：平方差公式及运用平方差公式分解因式.
难点：运用平方差公式分解因式.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第116页例3以上的内容.
（2）自学时间：3分钟.
（3）自学方法：可结合自学参考提纲，研读课本.
（4）自学参考提纲：
①平方差公式是怎样的？
②平方差公式怎样得到的？
③－a2＋b2=（b+a）(b-a).
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生对公式的理解掌握情况.
②差异指导：指导学生掌握公式的特色.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）平方差公式及特点.
（2）平方差公式与因式分解的关系.
第二层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第116页例3页.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：观察例题中如何运用公式进行因式分解的，其中重点是如何确定公式中的a和b.
（4）自学参考提纲：
①认真仔细地阅读例3中的分析部分，它帮助我们应用公式时，如何确定公式的“a”和“b”.
②在例题（2）中，应用公式得：(x+p)2-(x+q)2=［(x+p)+(x+q)］［(x+p)-(x+q)］，到此分解因式是否已完成？
没有.
③仿例3，分解因式：
16a2-4b2=4（2a-b）（2a+b）(x+2y)2-(2x-y)2=（3x+y）(3y-x)
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否认清例题中是如何将多项式化为平方差的形式的，套用公式时是否分清相当于a、b的数或式.
②差异指导：指导学习困难学生确定公式中a、b各表示什么整式.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）总结：满足平方差公式的结构特征的多项式，可以使用平方差公式因式分解.
（2）练习：教材第117页“练习”.
练习1：（1）不能;（2）能;（3）能;（4）不能因为（2）（3）能化成a2-b2的形式，（1）（4）则不能
练习2：（1）（a-b5）(a+b5)
（2）(3a+2b)(3a-2b)
(3)y(x+2)(x-2)
(4)(4+a2)(2+a)(2-a)
第三层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第116页例4.
（2）自学时间：3分钟.
（3）自学要求：观察例题中是如何根据多项式的特点，运用平方差公式进行因式分解的.
（4）自学参考提纲：
①认真阅读例题中的分析部分，思考：a.如何将待分解因式转化为a2-b2的形式？b.为什么对于有公因式的应先提出公因式，再进一步分解？
②分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，这是分解因式的一个基本要求，例题中是如何体现的？
③到目前为止，对多项式进行因式分解时，先看是否能用提公因式法，再看还能否用公式法.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生对例题的题目特点及分解因式方法的运用的理解及掌握情况.
②差异指导：分解因式时引导分析多项式特点.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）因式分解的要求：先考虑是否可提公因式，再看是否可用公式，分解应彻底.
（2）练习：
①16x4－y4=（4x2）2－（y2）2=（4x2+y2）(4x2-y2)
=（4x2+y2)(2x+y)(2x-y)；
②分解因式：12x2y－4y
；（x+2y）2－（x－3y）2；
=4y(3x2-1)
=(x+2y+x-3y)(x+2y-x+3y)
=4y(x+1)(
x-1);
=5y(2x-y).
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表发言交流自己的学习收获和学后体会.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、学习成果及不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时教学重点是引导学生因整式乘法中的平方差公式推导出因式分解的平方差公式，教师应组织学生利用这个关系自主认识出新知识，了解公式的结构特征，并交流思考.加深学生对公式变式的认识，从而全方位地掌握平方差公式的应用范围，再指导学生利用实际训练强化对新知识的掌握.
针对性练习
一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4题40分，共70分）
1.平方差公式a2－b2=(a+b)(a-b)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
2.下列各式中，分解因式正确的是（D）
A.1+25a2=（1+5a）（1－5a）
B.m2－16m=m（m+4）（m－4）
C.x2－9b
=（x+9b）（x－9b）
D.16－4x2=4（2+x）（2－x）
3.分解因式﹙x-1﹚2-9的结果是（B）
A.（x+8）（x+1）
B.（x+2）（x-4）
C.（x-2）（x+4）
D.（x-10）（x+8）
4.分解因式：
（1）－a2+1；（2）4m2－9n2;（3）a3－a；（4）（x
+
y）2－z2.
解：（1）（1-a）(1+a);
（2）(2m-3n)(2m+3n);
（3）a(a+1)(a-1)；
（4）（x+y+z）（x+y-z）.
二、综合应用（每题10分，共20分）
5.若a、b、c
是三角形的三边长，且满足（a+b）2-（b+c）2=0
，则此三角形是（A）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.不能确定
6.若a+b=1，a－b=2016，则a2-b2-2a-2b=2014.
三、拓展延伸﹙共10分﹚
7.已知a、b、c都是正整数，且满足a2+c2=10，c2+b2=13，求a、b、c的值.
解：∵b2-a2=（b2+c2）-（c2+a2）=13-10=3,∴(b-a)(b+a)=3.
∴b-a=1
b+a=3
解得a=1
b=2
或b-a=3
b+a=1
无解
∴a=1,b=2,c=3.14.3.2公式法
第2课时
利用完全平方公式分解因式
一、新课导入
1.导入课题：
还记得完全平方公式是怎样的等式吗？你能将多项式a2±2ab+b2分解因式吗？若能分解，它应可化为哪两个因式的积？
2.学习目标：
（1）能说出完全平方公式的结构特点.
（2）会用完全平方公式进行因式分解.
3.学习重、难点：
重点：会用完全平方公式进行因式分解.
难点：会分析一个多项式是不是完全平方式.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：
教材第117页“思考”以下内容.
（2）自学时间：5分钟.
(3)自学方法：认真阅读课文，掌握公式的推导过程及公式的表述.
(4)自学参考提纲：
①形如a2+2ab+b2和a2－2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.
②下列各式是完全平方式吗？为什么？
a.a2－4a+4
b.1+4a2
c.4b2+4b－1
d.a2+ab+b2
a是完全平方式，b、c、d不是完全平方式.只有a能写成两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍的形式.b、c、d不能写成两个数的平方和加上（或减去）这两个数的2倍的形式.
③由(a±b)2得a2±2ab+b2叫整式乘法，由a2±2ab+b2得到(a±b)2叫分解因式.
④你能将m2+10m+25分解因式吗？
能.m2+10m+25=(m+5)2
⑤两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否掌握验证完全平方式的方法.
②差异指导：指导依照完全平方式的结构特点变形.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
(1)总结交流完全平方公式的特点：读、写、记、说.
（2）计算：①（m－4n）2；②（m+4n）2；③（a+b）2；④（a－b）2.
解：①m2-8mn+16n2;②m2+8mn+16n2;
③a2+2ab+b2;④a2-2ab+b2.
第二层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第118页例5.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真观察例5解题的过程，解题时注意符号和运算顺序.
（4）自学参考提纲：
①认真阅读并思考例5的分析部分，应用完全平方公式进行因式分解，首先必须判断多项式是否是一个完全平方式.
②在（2）中，形式上不满足完全平方式的特点，但是－x2+4xy－4y2＝－(x2－4xy+4y2)，变形后括号内的多项式是完全平方式，所以可以分解因式.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：重点了解学生对例5中第（2）题的分析是否掌握.
②差异指导：对中差生指导对照公式结构找表示公式中a、b的数或式的方法.
（2）生助生：学习有疑难问题，学生之间相互交流、帮助解决学习中的疑难问题.
4.强化：
（1）分解因式：
①m2－8mn+16n2;②m2+8mn+16n2；③x2+12x+36
；④a2+2a+1.
解：①（m-4n）2;②(m+4n)2;③(x+6)2;④(a+1)2.
（2）总结交流：应用完全平方公式分解因式，首先掌握完全平方式的结构特点，再根据变形,确定公式中的“a”和“b”各是什么？
第三层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第118页例6及以下内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真阅读例6的解题的分析和步骤，总结例题是如何将因式分解进行彻底的.
（4）自学参考提纲：
①在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，提公因式后的因式，再进一步分解.
②在（2）中，若将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为m2-12m+36，它是完全平方式吗？是
③你能将下面的式子因式分解吗？
－4a2b+12ab2－9b3=-b(2a-3b)2；
8a－4a2－4=-4(a-1)2；（x+y）2－14（x+y）+49=(x+y-7)2.
④结合例题，说说如何将一个多项式分解彻底？
⑤什么是公式法，你已掌握了几种公式？
2.自学：可结合自学提纲进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否领会例题中的解题分析和公式的运用过程.
②差异指导：指导学生理解例6第（2）题中体现的整体思想和换元方法.
（2）生助生：学习疑点引导学生相互交流帮助解决.
4.强化：
（1）交流总结：分解因式的一般步骤：①先提公因式（若有）；②利用公式（若可以）；③分解因式时要分解到不能再分解为止.
（2）归纳已学公式法.
（3）练习：分解因式.
①－3x2+6xy－3y2；②－2xy－x2－y2；③ax2+2a2x+a3.
解：①原式=-3(x-y)2；②原式=-（x+y）2;③原式=a(x+a)2.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体会.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、学习成果及不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
本课时教学以引导学生认识完全平方公式的结构特征为重点，以学生自主观察、分析、归纳为主要形式，鼓励学生分组讨论，集中归纳，共同总结，充分调动学生的积极性，主动参与学习过程，接受新知识.
针对性练习
一、基础巩固（第1、2、3、4题每题10分，第5题20分，共60分）
1.把x3－2x2+
x分解因式，先用提公因式法，再用完全平方公式法，结果为x(x-1)2.
2.若x2+ax－24=(
x＋2)(
x－12)，则a为-10.
3.多项式(x+y)2－4(x+y)+4因式分解时，可把x+y看作一个整体，再用完全平方公式法得（x+y-2）2.
4.把多项式2x2－8x+8分解因式，结果为2（x-2)2.
5.分解因式：
（1）(x－y)2+2(x－y)+1;（2）4x3－8x2+4x;
（3）y2+y+;（4）6abx2-12abx+6ab.
解：（1）（x-y+1）2;
（2）4x(x-1)2;
（3）(y+);
（4）6ab(x-1)2.
二、综合应用（20分）
6.在实数范围内分解因式：
（1）x4－4;
（2）x2－2x+2.
解：（1）（x2+2）(x+)(x-)
(2)（x-）2
三、拓展延伸（20分）
7.已知x+y=7，xy=10，求x3y－x2y2+xy3的值.
解：（x-y）2=（x+y）2-4xy=49-4×10=9.
原式=xy(x2-2xy+y2)=
xy(x-y)2
=×10×9=45.
