2.1.2 认识无理数(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学上册第二章实数
2.1
认识无理数
第2课时
认识无理数(2)
【知识清单】
1.
有限小数或无限循环小数都是有理数；
2.
无限不循环小数叫无理数.
【经典例题】
【例题】1、在，，3.75757575…(相邻两个7之间5的个数逐次加1)，，4.9696696669，0，
-π，3.1415中，有理数是
；无理数是
.
【考点】本题考查的是实数的分类．
【分析】试题分析：根据有理数和无理数的定义即可判断..
【解答】有理数有：，，，4.9696696669，0，
3.1415；
无理数有3.75757575…(相邻两个7之间5的个数逐次加1)，
-π.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数叫无理数.
3.75757575…(相
邻两个7之间5的个数逐次加1)，
-π都是无限不循环小数.
例题2、一只蚂蚁沿图所示的线段由A点爬到B点(图中每个小方格的边长都是1)．
(1)它爬行的路线长度是一个有理数吗？若不是，求出精确到个位数的近似值，你还能求出精确到十分位的近似值吗？
(2)如果这只蚂蚁只能沿着图中小方格的边爬行，
那么由A点到B点，它爬行的最短距离是多少？
【考点】估算无理数的大小．
【分析】(1)直接根据勾股定理求解；
(2)根据正方形四条边都相等进行计算.
【解答(1)由图可得它爬行的路线，在Rt△ABC中，AC=BC=5，
由勾股定理可得线段AB2=AC2+BC2=52+52=50，
∵任何一个有理数的平方都不等于50，
∴AB的值不是有理数，
∵72=49<50，82=64>50，
∴72<50<82，
∴72<
AB2<82，
∴7<
AB<8，
∴AB精确到个位数的近似值是7，
∵7.072=49.9849，7.082=49.1264，
∴7.072<50<7.082，
∴7.072<
AB2<7.082，
∴7.07<
AB<7.08，
∴AB精确到十分位的近似值是7.1；
(2)由图可得它爬行的最短距离是10.
【点评】解题的关键是熟练掌握两点之间以及实数的定义，线段最短的应用．
【夯实基础】
1、下列数中是无理数的是(
)
A．
B．
C．0
D．
2、下列说法中正确的是(
)
A．不循环小数是无理数
B．分数不是有理数
C．有理数都是有限小数
D．无理数一定是无限小数
3、下列语句正确的是(
)
A．3.78788788878888是无理数
B．无理数分正无理数、零、负无理数
C．无限小数不能化成分数
D．无限不循环小数是无理数
4、如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与数2π表示的点最接近的是(
)
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
5、
和
统称有理数
，
无理数.
6、我们知道无限不循环小数叫无理数，请你根据这个定义写出两个无理数
.
7、以下各数：(－1)2n，，，3.1415，，2，－0.3232232223…(相邻两个
3之间2的个数逐次加1)，，
0.878878887，0.
其中，有理数的是
；
无理数的是
.
在上面的有理数中，分数有
；
整数有
.
8、某公园要建一个面积为262平方米的正方形的花坛，请你帮助计算一下这个花坛的边长，请你判定花坛的边长能是有理数吗？若要求精确到个位边长是多少？结果精确到十分位呢？
9、如图1是棱长为5cm的正方体箱子，若放入一根细长的木棒，求这根木棒的最大长度可能是多少？(结果保留3位有效数字)
【提优特训】
10、对数的判定正确的是
(　　)
A．分数?
B．小数???
C．无理数??
??D．以上都不对
11、介于5和π之间的一个无理数是
(　　)
A．
B．4.05
C．4.12
D．
12、已知直角三角形是两条直角边分别是3和5，则该三角形斜边的长哪两个整数之间(
)
A．3和4?????
?B．
4和5????
?
C．
5和6???
?
???D．
6和7
13、如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，
则网格△ABC边长为有理数的边数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
14、已知在数中：，-23，，，，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，，0.8787787778，0.若整数的个数为x，分数的个数为y，无理数的个数为z，则(y+z)x=
49
.
15、a2=12，则a是值
不是
分数，
不是
整数，
不是
有理数
(填“是”或“不是”)
.
16、如图1所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为64，小正方形面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列四个说法：①x
2
+y
2
=64，②x-y=3，③2xy=55，④x+y的值不是有理数．其中说法正确的结论有
．
17、已知：如图，△ABC中，AB=AC=12，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A，AE是BC上的高．
(1)说明高AE是有理数还是无理数；(2)求BD的长．
18、一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式。现在就以?为例进行讨论：
设?=x，由?=0.5555…，
易得10x=5.5555…，可知，10x
=5+0.5555…=5+x，
即10x-x=5，解方程得x=?，于是得，=?.
请仿照上述例题，回答下列各题：
(1)请你将无限循环小数?写成分数的形式；
(2)请你将无限循环小数?写成分数的形.。
【中考链接】
19、(2020?模拟)
边长是2的等腰直角三角形斜边的长度(
)
A．整数
B．分数
C．有理数
D．不是有理数
20、(2020?模拟)下列说法正确的是(
)
A．只有正整数、0负整数是有理数
B．无限小数都是无理数
C．π是整数
D．无理数的相反数还是无理数
参考答案
1、B
2、D
3、D
4、D
5、整数，分数；无限不循环小数
6、－0.1515515551…(相邻两个1之间5的个数逐次加1)、
10、C
11、A
12、C
13、B
14、49
15、不是，不是，不是
19、D
20、D
7、以下各数：(－1)2n，，，3.1415，，2，－0.3232232223…(相
邻两个3之间2的个数逐次加1)，，
0.878878887，0.
其中，是有理数的是
(－1)2n，，
3.1415，，2，
，
0.878878887，
0，无理数的是－0.3232232223…(相邻两个3之间2的个数逐次加1)，
___.
在上面的有理数中，分数有，3.1415，，_，
0.878878887；
整数有__(－1)2n
，2，0.
8、某公园要建一个面积为262平方米的正方形的花坛，请你帮助计算一下这个花坛的边长，请你判定花坛的边长能是有理数吗？若要求精确到个位边长是多少？结果精确到十分位呢？
解：设这个花坛的边长为x米，
根据题意得:x2=262
，
∵任何一个有理数的平方都不等于262，
∴这个花坛的边长不是有理数；
∵x2=262
，
∴162=256<262，172=289>262，
∴162∴16∴结果精确到个位时x≈16.
∴这个花坛的边长大约为16米.
∵16.182=261.7924，16.192=262.1161
∴16.182∴16.18∴结果精确到十分位时x≈16.2.
9、如图1是棱长为5cm的正方体箱子，若放入一根细长的木棒，求这根木棒的最大长度可能是多少？(结果保留3位有效数字)
解：如图2连接，A，
由图可知要放入的木棒的长就是A的长，
在Rt△中，==5，
∴根据勾股定理得：=52+52=50，
∴Rt△中，=5，
∴根据勾股定理得：=52+50=75，
∵82=64<75，92=81>75
∴
82<<92，
∴8<<9
∴木棒的长整数部分为8，
∵8.6592=74.978281，8.6612=75.012921
∴8.6592<<8.6612，
∴≈8.66，
∴这根木棒的最大长度可能是8.66.
16、如图1所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为64，小正方形面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列四个说法：①x
2
+y
2
=64，②x-y=3，③2xy=55，④x+y的值不是有理数．其中说法正确的结论有______．
①图2：∵△ABG为直角三角形，
∴根据勾股定理：
x2
+y2
=AB2
=64，
故本选项正确；
②由图可知，(x-y)2=FG2=9
∵FG>0，
∴x-y=FG=3，
故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4×xy+9=64，
2xy+9=64，即2xy=55；
故本选项正确；
④∵2xy=55①，x
2
+y
2
=64②，
∴①+②得，x2
+2xy+y2
=64+55，
整理得，(x+y)2
=
x2
+2xy+y2=119，
∵任何一个有理数的平方的值都不等于119，
∴x+y的值不是有理数.
故本选项正确．
∴正确结论有①②③④．
17、已知：如图，△ABC中，AB=AC=12，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A，AE是BC上的高．
(1)说明高AE是有理数还是无理数；(2)求BD的长．
解:(1)∵AB=AC=12，BC=20，
∴BE=CE=10，
在Rt△ACE中，利用勾股定理可知：
AE2=AC2-EC2=122-102=44，
∵任何一个有理数的平方都不等于44，
∴AE的长是无理数，
(2)
设BD=x，则DE=10-x，DC=20-x，
又DA⊥CA，
在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2-AC2，
代入为：44+(10-x)2=(20-x)2-122，解得：x=
18、一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式。现在就以?为例进行讨论：
设?=x，由?=0.5555…，
易得10x=5.5555…，可知，10x
=5+0.5555…=5+x，
即10x-x=5，解方程得x=?，于是得，=?.
请仿照上述例题，回答下列各题：
(1)请你将无限循环小数?写成分数的形式；
(2)请你将无限循环小数?写成分数的形.。
解：(1)设?=x，由?=0.7777…，
易得10x=7.7777…，可知，10x
=7+0.7777…=7+x，
即10x-x=7，解方程得x=?，于是得，=?.
(2)设?=x，由?=0.565656…，
易得100x=56.565656…，可知，100x
=56+0.565656…=56+x，
即100x-x=56，解方程得x=?，于是得，=?.
第17题图
第16题图2
第4题图
第17题图
第13题图
第16题图1
第9题图2
第9题图1
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