15.2.3整数指数幂
第1课时
整数指数幂
一、新课导入
1.导入课题：
同学们还记得正整数指数幂的运算性质吗？由am÷an=am－n，当m2.学习目标：
（1）知道负整数指数幂的意义及表示法.
（2）能运用分式的有关知识推导整数指数幂的意义.
3.学习重、难点：
重点：整数指数幂的意义的推广.
难点：用负整数指数幂的意义进行有关计算和变式.
二、自学
第一层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第142页到第143页“思考”之前的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真阅读课本，回顾正整数指数幂的意义，思考am中当m<0时，am表示什么？
（4）自学参考提纲：
①a－2=是如何得来的？
一方面a3÷a5=a3-5=a-2,另一方面，a3÷a5===.
∴a-2=
②当n是正整数时，a－n=
(n≥1),
即a－n(a≠0)是an的倒数.
③试说说当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意义？
当m是正整数时，am表示m个a相乘.当m是0时，a0表示一个数的n次方除以这个数的n次方，所以特别规定，任何除0以外的实数的0次方都是1.
当m是负整数时，am表示|m|个相乘.
2.自学：请同学们结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生的自学情况，收集学生自学中存在的问题.
②差异指导：对学困生进行学习方法和认知方法的指导.
（2）生助生：结合实例讨论如何得出a－n=1an（a≠0）
4.强化：
（1）当n为正整数时，a－n=
(a≠0），即a－n(a≠0)是an的倒数.
（2）am的意义(m为正整数、0、负整数).
（3）口答：4－1=
()－1=4
(－)2=
－2－2=-
()－3=27
(－)3=-
(－2)0=1
第二层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第143页“思考”到第144页例9上面的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：尝试教材上的方法，用负整数幂或0指数幂，验证正整数幂的性质.
（4）自学参考提纲：
①教材第143页几个具体实例说明了什么？am·an=am+n
②换其他整数指数验证①中的规律.
a7·a-7=a7-7=a0=1,a-8·a-2=a-8-2=a-10
③试用教材第143页的方法，计算a－5÷a－3
、(ab)－4
、()－3
，验证并归纳相应的运算性质.
④综合①②③实例说明了什么？am·an=am+n,这条性质对于m,n是任意整数的情形仍然适用.
⑤试用你找到的规律填空（结果写成分式的形式）：
⑥由以上的试验运算说明：正整数指数幂的运算性质可以推广到整数指数幂的运算.
2.自学：请同学们结合自学提纲进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生的自学情况，看是否真正理解正整数指数幂的运算性质可推广到整数指数幂.
②差异指导：对部分学生进行学习方法和认知方法的引导.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
(1)交流同学们的验证结果，归纳am·an;am÷an;(am)n;(ab)n中m、n的适用范围.
（2）练习：
第三层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第144页例9及以下内容
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：阅读例9之前，回顾一下整数指数幂的运算性质.
（4）自学参考提纲：
①研究例9思考如何进行整数指数幂的运算，计算结果一般应化成怎样的形式？
运用整数指数幂的运算性质进行运算，结果一般化为最简分式或整式形式.
②引入负整数指数幂后，指数的范围就扩大到了全体整数，那么整数指数幂的性质有哪些？
上述式子中，m,n均为任意整数.
2.自学：同学们结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生的自学情况，收集学生自学中存在的问题.
②差异指导：对例题中运算过程不熟知的学生进行引导，引导运算性质的识记和运用.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）整数指数幂的运算性质（式子表示）
（2）计算：
(3)整数指数幂的运算步骤及要求.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体验.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及不足进行归纳点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
整数指数幂是在学生学习了分式的基本性质及乘除法之后的教学，教材中利用同底数幂相除的性质给出负整数指数及零指数的意义.在教学中，教师可在复习幂的有关运算性质后提出问题：“幂的这些运算性质中指数都要求是正整数，如果是负数又表示什么意义呢？”通过提问让学生寻找规律,猜想出零指数幂和负整数指数幂的意义，这不但可以调动学生学习的积极性,还可以达到预期效果.
针对性练习
一、基础巩固（每题10分，共70分）
1.填空：
2.若m,n为正整数,则下列各式错误的是（D）
3.下列计算正确的是(C)
4.计算：
5.若（x-3)-2有意义，则x≠3;若（）-1有意义，则x≠0且x≠-1.
7.下列等式一定正确的是（D）
二、综合应用（每题10分，共20分）
三、拓展延伸（10分）
10.若a+a－1=3,试求a2+a－2的值.
解：∵a+a-1=3，
∴（a+a-1）2=9，
∴a2+a-2+2=9，
∴a2+a-2=7.15.2.3整数指数幂
第2课时
负整数指数幂的应用
一、新课导入
1.导入课题：
通过上节课的学习，大家明确了整数指数幂具有正整数指数幂的运算性质，这节课我们来学习运用其性质进行有关计算.
2.学习目标：
（1）通过计算验证对整数指数幂的意义的认识.
（2）熟练应用整数指数幂的意义及性质进行综合计算.
（3）了解负整数指数幂在科学记数法中的运用.
3.学习重、难点：
重点：整数指数幂的性质及用负整数指数幂表示科学记数法.
难点：负整数指数幂与正整数指数幂的相互表示方法.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第145页“练习”下面文字到例10上面止.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：结合自学提纲研读教材.
（4）自学参考提纲：
①小于1的正数用科学记数法表示的基本形式是怎样的？
a×10-n，其中1≤a＜10,n是正整数.
②在①中a是如何确定的？
将小数点往右移，直到个位有数字，以此确定a值.
③在①中n是如何确定的？完成思考，可以得到一定的启示.
看小数点往右移了几位得到a值，n就是多少.
④科学记数法表示下列数.
0.000000001=10-9
0.0012=1.2×10-3
0.000000345=3.45×10-7
0.0000000108=1.08×10-8
⑤
0.0040508=4.0508×10－5对吗？为什么？
不对，应该是0.0040508=4.0508×10-3
2.自学：同学们结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生的自学情况，是否掌握用科学记数法表示小于1的数.
②差异指导：对部分学习存在困难的学生给予针对性的帮助.
（2）生助生：将自己探究的结果与同桌交流分享，相互帮助解决疑难问题.
4.强化：
(1)小于1的正数用科学记数法可表示为a×10－n（1≤a＜10，n是正整数）及a、n的确定.
（2）用科学记数法表示下列数：
3040000=3.04×106
5006000000=5.006×109
0.000000301=3.01×10-7
0.000000567=5.67×10-7
第二层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第145页例10.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真读题，注意单位换算.
（4）自学参考提纲：
①1mm=10-3m，1nm=10-9m，1mm3=10-9m3，1nm3=10-27m3.
②(10－3)3表示的意义是3个10-3相乘；(10－9)3表示的意义是3个10-9相乘.
③(10－3)3÷(10－9)3=10-9÷10-27=10-9·10(27)=10(18)，这与教材上的计算过程进行比较，有何区别？
此过程把除法转化为乘法做幂指数相加；教材里则是直接在除法中做幂指数的减法.
2.自学：学生结合自学指导自主学习.
3.助学：
（1）师助生
①明了学情：了解学生是否理解1mm3的空间放1nm3的物体的意思.
②差异指导：a.单位换算；b.列式计算的依据.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）纳米：1nm=10-9m.
（2）本题还可以把纳米换算成mm，即：1nm=10-9m=10-9×103mm=10-6mm，列式为：13÷(10-6)3=1018.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体验.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、情感、方法、成果及不足进行归纳点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
本课时可类比七年级上册所学科学记数法和前一课时的负整数指数幂的教学思路.教师可试着让学生自己发现并解决问题，以进一步加深对用科学记数法表示较小的数的理解.
针对性练习
一、基础巩固（第1、4题每题10分，第2题20分，第3题15分，共55分）
1.计算:（1）（a-1）2·(a-2)-2÷（）2=a-2·a4·a2=a4.
2.用科学记数法表示下列各数：
（1）0.001=10-3；（2）-0.000001=-10-6；
（3）0.001357=1.357×10-3；（4）-0.000504=-5.04×10-4.
3.下列是用科学记数法表示的数，试写出它的原数.
（1）4.5×10－8=0.000000045；（2）-3.14×10－6=-0.00000314，
（3）3.05×10－3=0.00305.
4.计算（结果用科学记数法表示）
（1）（6×10－3）×（1.8×10－4）；（2）（1.8×103）÷（3×10－4）.
解：（1）原式=1.08×10-6；
（2）原式=0.6×107=6×106.
二、综合应用（15分）
5.已知一个正方体的棱长为3×10－2米,则这个正方体的体积为(D)
A.3×10－6m3
B.9×10－4m3
C.27×10－6m3
D.2.7×10－5m3
三、拓展延伸（每题10分，共20分）
6.一根约为1米长、直径为80毫米的光纤预制棒，可拉成至少400公里长的光纤.试问：1平方厘米是这种光纤的横截面积的多少倍？(用科学记数法表示且保留一位小数)
解：这种光纤的横截面积为
1÷(1.256×10-4)≈8.0×103
答：1平方厘米是这种光纤的横截面的8.0×103倍.
7.若3x+1=,求xx+3的值.
解：3x+1==3-4，
∴x=-5
xx+3=（-5）-5+3=.
