15.3分式方程
第1课时
分式方程及其解法
一、新课导入
1.导入课题:
前面我们探讨了分式的有关性质及其运算，在分式的研究中，还有一个重要的内容就是分式方程，今天我们一起走进分式方程.
2.学习目标：
（1）知道分式方程的概念，
（2）会解分式方程.
3.学习重、难点：
重点：分式方程及其解法.
难点：分式方程产生增根的原因.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第149页到第150页的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：对照自学提纲，认真阅读课本.重点词句或不理解的地方做上记号.
（4）自学参考提纲：
①什么样的方程叫分式方程？
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
②解分式方程的基本思路是什么？
将分式方程化为整式方程.
③将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？
去分母，即方程两边乘最简公分母.
2.自学：请同学们结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否认识分式方程的特点和分式方程的解法.
②差异指导：指导个别学生正确找出最简公分母.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）判断分式方程的方法是：看分母是否含有未知数.
（2）分式方程的关键步骤是去分母，难点是找最简公分母.
（3）下列方程哪些是分式方程？④⑤.
（4）指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.
解：①最简公分母2x(x+3),去分母得x+3=4x；
②最简公分母x2-1,去分母，得2（x+1）=4；
③最简公分母3x+3，去分母，得3x=2x+3x+3.
第二层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第150页“思考”到第151页的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：认真阅读课本，思考去分母后化成的整式方程的解，为什么有的是原分式方程的解，有的不是？对照课本中的例子想想理由.归纳解分式方程的基本步骤.
（4）自学参考提纲：
①说说为什么解分式方程一定要检验？
因为得到的解可能会导致最简公分母为0，即分母为0.
②说说解分式方程的检验方法.
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解
③解分式方程的一般有哪些步骤？
去分母，解整式方程，检验.
④某生在解例2时去分母得x(x+2)-1=3，你认为他错在哪里？
漏乘了最简公分母.
⑤试解方程；
解：去分母，得3(x+1)=5
x=-1=
检验：当x=时，(x+1)(x-1)≠0，
所以，原分式方程的解为x=.
解：去分母，得2x=3-2(2x-2)
去括号得2x=3-4x+4
移项6x=7
系数化为1，x=
检验：当x=时，2(x-1)≠0.
所以原分式方程的解为x=
2.自学：同学们结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：观察学生在解分式方程过程中易产生错误的环节或步骤.
②差异指导：对学生出现的错误进行分类指导.
（2）生助生：交流提纲④，对⑤互相批改、纠错.
4.强化：
(1)解分式方程的一般步骤.
（2）分式方程的验根方法.
(3)分式方程无解的条件.
检验：当x=时，4x2-1=0,
因此x=不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体验.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、情感、方法、成果及不足进行归纳点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
在本课的教学过程中，应从这样的几个方面入手：
（1）分式方程和整式方程的区别：分清楚分式方程必须满足的两个条件：①方程式里必须有分式，②分母中含有未知数.这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的必要条件.同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就是原方程的增根.正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验.
（2）分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分渗透这种化归思想.
（3）解分式方程时，如果分母是多项式，应先写出将分母进行因式分解的步骤，从而让学生准确无误地找出最简公分母.
另外，对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论.
针对性练习
一、基础巩固（每题10分，共60分）
1.下列式子是分式方程的是（C）
2.把分式方程
两边同乘(x－1)，约去分母后，得(D)
3.分式方程
的
解是（D）
A.x=1
B.x
=－1
C.x=－
D.无解
解：（1）去分母，3x-6+4（x+2）=16
去括号，合并同类项7x=14
系数化为1，x=2
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0,因此x=2不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.
（2）去分母得，（x+1）(x+2)=x(x+4)
去括号，合并同类项，得3x+2=4x
移项，x=2
检验：当x=2时，x(2+x)≠0，所以，原分式方程的解为x=2.
二、综合应用（20分）
7.已知关于x的方程
有增根，求该方程的增根和k的值.
解：去分母，得3x+3-（x-1）=x2+kx，
整理，得x2+（k-2）x-4=0.
因为有增根，所以增根为x=0或x=1.
当x=0时，代入方程得-4=0，
所以x=0不是方程的增根；
当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时方程有增根x=1.
三、拓展延伸（20分）
8.解方程：15.3分式方程
第2课时
用分式方程解决实际问题
一、新课导入
1.导入课题：
分式方程在实际生活、生产实践中有着广泛的应用，今天我们来学习列分式方程解决实际问题.
2.学习目标：
（1）会找出实际问题中的等量关系，熟练地列出相应的方程.
（2）会解含字母系数的分式方程.
（3）知道列方程解应用题为什么必须验根，掌握解题的基本步骤和要求.
3.学习重、难点：
重点：根据条件恰当设未知数列方程和解方程.
难点：会从实际问题中获取有用的信息，准确找出相应的数量关系和等量关系.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第152页例3.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：认真阅读课本例题，按课本例题分析的思路填空，体会列方程每一步的依据.
（4）自学参考提纲：
①工程问题中，工作总量＝工作效率×工作时间.在没有具体的工作量时，常把总工程量看作1.
②请认真读题，分析题意，完成课本分析中的填空.
③问题中是用哪个等量关系来列方程的？
甲队单独施工一个月完成的工程+甲乙两队共同工作半个月完成的工程=1
④在例3的解答过程中的每一步骤后面标出步骤名称.
2.自学：同学们结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生自学中存在的问题.
②差异指导：对学生学习中存在的问题进行启发诱导.
（2）生助生：将本题的分析过程讲给同桌听，帮助抓住问题关键条件.
4.强化：
（1）认真读题，找出相关的数量关系和等量关系，是解应用题的关键.
（2）练习：某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天加工的效率是原来的2倍，结果共用了7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？
解：设该厂原来每天加工x个零件，则采用新技术后，每天加工2x个零件，
去分母，得200+500=14x，
系数化为1，x=50.
检验：x=50时，2x≠0.所以
x=50是原方程的根
答：该厂原来每天加工50个零件.
第二层次学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第153页例4.
（2）自学时间：5分钟.
(3)自学方法：对照自学提纲，结合例3的解题经验，总结解答列分式方程解应用题的方法与步骤.
(4)自学参考提纲：
①这是一类分式方程的应用，有速度、路程、时间等三个量，它们之间的关系是路程=速度×时间.
②题中的v、s是已知量还是未知量？未知量是什么？
v、s是已知量.未知量是提速前列车的平均速度.
③认真学习例题中的分析和解答过程，字母一定是表达未知量吗？
不一定，需根据具体题目来分析确定.
④按例题格式完成教材第154页“练习”的分析与解答.
2.自学：同学们结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生是否读懂例题的分析解答过程和归纳解题步骤是否完整.
②差异指导：关注两个方面：a.等量关系；b.解字母系数的分式方程时,已知量可以是字母.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
(1)含字母系数的分式方程，分清已知量和未知量.
（2）列方程解应用题的一般步骤：
①分析题意，找出相等的数量关系；
②设未知数，并用未知数表示相关的量；
③列出方程；
④解方程；
⑤验根：Ⅰ.求得的解是不是原方程的解；Ⅱ.求得的解符不符合该实际问题；
⑥作答.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体验.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习热情、态度、方法、成果、不足进行归纳点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时教学除了在一般意义上让学生经历“提出问题——构建模型——解决问题”的过程，还应让学生特别注意分式方程根的“检验”.
针对性练习
一、基础巩固（每题10分，共50分）
1.学校用420元钱购买“84”消毒液，经过讨价还价，每瓶比原价便宜了0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出的方程是（B）
2.甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车行30km到B地，甲比乙每小时少骑3km，结果乙早到40分钟，若设乙每小时走xkm,则可列方程（D）
3.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人的工作效率相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（A）
A.8
B.7
C.6
D.5
4.甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的倍.
5.一个分数的分母比它的分子大5，如果这个分数的分子加上14，分母减去1，所得的分数是原分数的倒数，求这个分数.
解：设分子为x，则分母为x+5,所以根据倒数关系列方程为：
解得：x=4
检验，x=4时，(x+5)(x+14)≠0，所以，
x=4是原分式方程的根.
所以这个分数为.
二、综合应用（20分）
6.为了支持爱心捐款活动，
某校师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款的人数比第一天捐款的人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？
解：设第一天参加捐款的人数为x人，则可列方程为
解得x=200（人）,
检验：当x=200时，x(x+50)≠0,所以，原分式方程的解为x=200.
两天共捐款人数为200+250=450（人），人均捐款为4800÷200=24（元）.
答：两天共参加捐款的人数为450人，人均捐款24元.
三、拓展延伸（30分）
7.在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成.
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
解：（1）解：设乙队单独完成这项工程需要x天，则根据题意可列方程为
解得x=90.
经检验:x=90时原方程的根.所以，乙队单独完成这项工程需要90天.
（2）甲队单独做工程款：60×3.5=210(万元).
乙队单独做需要90天，超过了70天.
甲乙合作工程款：36×(3.5+2）=198（万元）
∴甲、乙合作完该工程最省钱.
