(共18张PPT)
第3课时
12.2
三角形全等的判定
1.什么是全等三角形？
2.我们已经学过了哪几种判定两个三角形全等的方法？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
边边边（SSS)和边角边（SAS）
1．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”判定方法．
2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图.你能制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复三角形硬纸板的原貌吗？
怎么办？可以帮帮我吗？
是唯一的吗？
为了解决上面的问题，现在我们以每一桌为一组，共同完成下面的一个游戏.
(1)每位同学任意画一个ΔABC.
(2)同桌交换各自画的ΔABC，每位同学都比着同桌的再画一个ΔA′B′C′，使B′C′=BC，∠B′=∠B，∠C′
=∠C(即使两角和它们的夹边对应相等).
(3)把你画好的ΔA′B′C′放到刚才同桌的ΔABC上（对应角对齐，对应边对齐）.你发现了什么？
两三角形全等.
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
(可以简写成“角边角”或“ASA”）.
三角形全等判定三：
【例】已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.
求证：△ABE≌△ACD.
【例题】
证明
：在△ADC和△AEB中，
∠A=∠A（公共角）
AC=AB（已知）
∠C=∠B（已知）
∴△ACD≌△ABE（ASA）.
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E
，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
A
B
C
D
E
F
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）.
1.如图，应填什么就有
△AOC≌
△BOD？
∠A=∠B（已知）
_______（已知）
∠C=∠D（已知）
∴△AOC≌△BOD（
）
有几种填法?
AC=BD
ASA
【跟踪训练】
如图，应填什么就有△AOC≌△BOD？
∠A=∠B
（已知）
________
（已知）
∠C=∠D
（已知）
∴△AOC≌△BOD（
）
CO=DO
AAS
A
B
C
D
E
F
2.如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么？
提示：利用ASA判定∴△ABC≌△EDC，从而得DE=AB.
判定三角形全等的四种方法，它们分别是:
1.边边边(SSS)
3.角边角(ASA)
4.角角边(AAS)
2.边角边(SAS)
通过本课时的学习，需要我们掌握：
在△ABD和△ABC中
∠1=∠2
（已知）
∠C=∠D
（已知）
AB=AB（公共边）
∴△ABD≌△ABC
（AAS）
∴AC=AD
（全等三角形对应边相等）
1.已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC=AD
1
2
【证明】
∠A
=∠C，
∠D
=∠B
，
AF
=CE
，
∴ △ADF
≌△CBE（AAS）．
∴ DF
=BE．
A
B
C
D
E
F
证明：∵ AD∥CB
，
∴ ∠A
=∠C.
∵ AE
=CF
，
∴ AF
=CE.
在△ADF
和△CBE
中,
2．如图，E，F
在线段AC上，AD∥CB，AE
=
CF．若∠B
=∠D，求证：DF
=BE．
证明：∵ ∠DAB
=∠EAC，∴ ∠DAC
=∠EAB.
∵ AE⊥BE，AD⊥DC，∴ ∠D
=∠E
=90°.
在△ADC
和△AEB
中,
A
B
C
D
E
3．如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD
=BE，∠DAB
=∠EAC．求证：AB
=AC．
∠DAC
=∠EAB，
∠D
=∠E，
CD
=BE，
∴ △ADC
≌△AEB（AAS）．
∴ AC
=AB．(共21张PPT)
第4课时
12.2
三角形全等的判定
我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？
1.边边边(SSS)
3.角边角(ASA)
4.角角边(AAS)
2.边角边(SAS)
如图，AB
⊥
BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若
A=
D，AB=DE，
则△ABC与△
DEF
（填“全等”或“不全等”）根据
（用简写法）.
全等
ASA
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
（2）若
A=
D，BC=EF，则△ABC与△DEF
（填
“全等”或“不全等”）根据
（用简写法）.
AAS
全等
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF
（填“全
等”或“不全等”）根据
（用简写法）.
全等
SAS
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则
△ABC与△DEF
（填“全等”或
“不全等”）根据_____（用简写法）.
全等
SSS
1．经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2.掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际
问题；
3.在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进
行有条理的思考并进行简单的推理．
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
A
B
C
A1
B1
C1
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角.
(AAS)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐
角.(ASA)或(AAS)
⑵
如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？
下面让我们一起来验证这个结论.
A
B
C
A1
B1
C1
任意画一个Rt△ACB
，使∠C﹦90°，再画一个Rt△A′C′B′使∠C′=∠C
，B′C′﹦BC，A′B′﹦AB，
（1）你能试着画出来吗？与小组交流一下.
（2）把画好的Rt△A′C′B′放到Rt△ACB上，它们全等吗？你能发现什么规律？
⑴
作∠MC＇N=90°;
C＇
M
N
⑵
在射线C＇M上截取线段
C＇B＇=CB;
M
N
B＇
⑶
以B＇为圆心,BA为半径画弧，交射线C＇N于点A＇;
C＇
M
N
B＇
A＇
⑷连接A＇B＇.
C＇
M
N
B＇
A＇
C＇
归纳概括“HL”判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全
等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．
A
B
C
A＇
B＇
C＇
几何语言：
∵ 在Rt△ABC
和
Rt△A＇B＇C＇中，
AB
=A＇B＇，
BC
=B＇C＇，
∴ Rt△ABC
≌
Rt△A＇B＇C＇（HL）
．
【例】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
【例题】
【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF
.
∴
Rt△ABC≌Rt△DEF
(HL).
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵
∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
A
F
C
E
D
B
1.如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
【跟踪训练】
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵AE=CF,
∴AF=CE.
又∵AB=CD,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴BF=DE.
A
B
C
D
E
F
2.
如图，两根长度为12
m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
BD=CD.
∵∠ADB=∠ADC=90°,
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，
∴
BD=CD.
【解析】
通过本课时的学习，需要我们掌握：
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形
判定全等的方法:
SSS、SAS、ASA、AAS，还有直角三角形
特殊的判定方法：HL.
1.（温州·中考）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】选D.在矩形ABCD中，△CDA、△BAD、△DCB都和△ABC全等，又∠ABC=∠DCE=90°，DE∥AC,所以∠DEC=∠ACB;又AB=DC,所以△DCE也和△ABC全等．
2.
如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
D
A
B
在Rt△ACB和Rt△ADB中,
AB=AB,
AC=AD.
∴
Rt△ACB≌Rt△ADB
(HL).
∴BC=BD
(全等三角形对应边相等).
【解析】
AD
=
BC
AC
=
BD
∠DAB=∠CBA
∠DBA
=
∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
A
B
C
D
3.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要
添加一个什么条件？请说明理由．
（1）
（
）；
（2）
（
）；
（3）
（
）；
（4）
（
）．(共22张PPT)
第1课时
12.2
三角形全等的判定
∠A
=∠A′
AB
=A′B′
已知△ABC
≌△
A′B′
C′,找出其中相等的边与角：
思考：满足这六个条件可以保证△ABC≌△A′B′C′吗？
想一想:
A
B
C
A′
B′
C′
∠B
=∠B′
BC
=B′C′
∠C
=∠C′
AC
=A′C′
追问1 当满足一个条件时,
△ABC
与△A′B′C′
全等吗？
动脑思考，分类辨析
思考 如果只满足这些条件中的一部分，那么能保
证△ABC
≌△A′B′C′吗？
追问2 当满足两个条件时,
△ABC
与△A′B′C′
全等吗？
①
两边
②
一边一角
③
两角
两个条件
①
三边
②
三角
③
两边一角
④
两角一边
三个条件
追问3 当满足三个条件时，
△ABC
与△A′B′C′全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？
1．会用“SSS”（“边边边”）判定三角形全等．
2．会用尺规作一个角等于已知角，了解作图的道理．
3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
任意画△ABC，使AB=3cm，BC=4cm，剪下来，观察任意两个同学的三角形是否能够重合.
AB=DE
BC=EF
思考：满足两边对应相等的两个三角形是否全等？
A
B
C
D
E
F
提示：不一定全等.
任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，
B′C′=BC，C′A′=CA，判断两个三角形是否全等.
作法：1.画线段A′B′=AB；
2.分别以A′,B′为圆心，以线段AC,BC为半径画弧，两弧交于点C′；
3.连接线段B′C′，A′C′.
A?
B?
C?
B
C
A
剪下
△A?B?C?放在△ABC上，可以看到△A?B?C?
≌
△ABC，由此可以得到判定两个三角形全等的一个公理.
A
B
C
D
E
F
用数学语言表述：
在△ABC和△DEF中,
∴
△ABC
≌△
DEF（SSS）.
AB=DE,
BC=EF,
CA=FD,
三角形全等判定一：
三边分别相等的两个三角形全等
，
简写成:“边边边”或“SSS”.
【例】如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接A与BC
中点D的支架.
求证：△ABD≌
△ACD.
分析：要证明△ABD≌△ACD，
首先看这两个三角形的三条边是
否对应相等.
D
B
C
A
【例题】
证明：∵
D是BC的中点,
∴
BD=CD,
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
（已知）,
BD=CD
（已证）,
AD=AD
（公共边）,
∴
△ABD
≌
△ACD
（SSS）.
D
B
C
A
①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中；
摆出三个条件用大括号括起来；
写出全等结论.
证明的书写步骤：
【解析】△ABC≌△DCB.
理由如下：
AB
=
DC，
AC
=
DB，
A
B
C
D
∴△ABC≌
2.如图，D，F是线段BC上的两点，
AB=EC，AF=ED，要使△ABF≌△ECD
，
还需要条件
.
A
E
B
D
F
C
1.如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？
△DCB
BC=
CB，
BF=CD
或BD=CF
（SSS）.
【跟踪训练】
3.如图，在四边形ABCD中AB=CD，AD=BC，则∠A=∠C请说明理由.
A
B
C
D
【解析】在△ABD和△CDB中
AB=CD
（已知），
AD=CB
（已知），
BD=DB
（公共边），
（SSS），
∴
△ABD
≌△CDB
∴
∠A=
∠C（
）.
全等三角形的对应角相等
我们利用前面的结论，你可以得到作一个角等于已知角的方法吗？
已知：∠AOB，求作：∠A′O′B′=∠AOB
O
A
B
C
D
O′
A′
B′
C′
D′
作法：1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
2.画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
3.以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；
4.过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.三角形全等的判定定理一——SSS．
2.利用它可以证明简单的三角形全等问题．
1.如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，
求证：△AEB
≌
△
ADC.
【证明】
∵BD=CE，∴
BD-ED=CE-ED，即BE=CD.
C
A
B
D
E
在△
AEB和△
ADC中，
AB=AC，
AE=AD，
BE=CD，
∴△AEB
≌
△ADC
(SSS).
2.已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD=FB（如图），要用“边边边”证明△ABC
≌△
FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
【解析】要证明△ABC
≌△FDE，还应该有AB=FD这个条件.
∵DB是AB与DF的公共部分，且AD=FB,
∴AD+DB=BF+DB，即AB=FD.
3.（昆明·中考）如图，点B,D,C,F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF.
（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），
使△ABC≌△EFD，你添加的条件是
；
（2）添加了条件后，证明△ABC≌△EFD.
F
A
B
C
D
E
【解析】
(1)
AC=ED.
(2)在△
ABC和△
EFD中，
AB=EF，
BC=FD，
AC=ED，
∴
△ABC
≌
△EFD
(SSS).
在数学这门科学里，我们发现真理的主要工具是归纳和类比.
——拉普拉斯(共24张PPT)
第2课时
12.2
三角形全等的判定
生活情景
如图有一池塘。数学兴趣小组要测池塘两端A、B的距离，可无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能想出办法来吗？
A
B
继续探索三角形全等的条件.
思考
(2)
三条边
(1)
三个角
(3)
两边一角
(4)
两角一边
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:
SSS
不能!
?
探索三角形全等的条件：
两边一角
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边
与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
在图一中，
∠A
是AB和AC的夹角，
符合图一的条件，它可称为“两边夹角”。
符合图二的条件，
通常
说成“两边和其中一边的对角”
还记得作一个角等于已知角的方法吗？
1．理解判定三角形全等的“边角边”条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获
得数学结论的过程．
3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
做一做：先任意画出△ABC.再画一个△A′B′C′,
使A′B′=AB,
A′C′=AC,∠A′=∠A.(即有两边和它们
的夹角分别相等).把画好的△A′B′C′剪下,放到△ABC上,它们全等吗?
画法：
2.
在射线A′M上截取A′B′=AB；
3.
在射线A′N上截取A′C′=AC；
1.
画∠MA′N=∠A；
4.
连接B′C′，
∴△A′B′C′就是所求的三角形.
用数学语言表述：
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△DEF中
∴
△ABC
≌△
DEF（SAS）.
AB=DE，
∠B＝∠E，
BC=EF，
探究的结果反映了什么规律?
三角形全等判定二：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.(可以简
写成“边角边”或“SAS”)
例题.
如图，AC=BD，∠CAB=
∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。
A
B
C
D
证明:在△ABC与△BAD中
AC=BD
∠CAB=∠DBA
AB=BA
∴△ABC≌△BAD（SAS）
(已知)
(已知)
(公共边)
∴BC=AD
(全等三角形的对应边相等）
1.在下列图中找出全等三角形
Ⅰ
?
30?
8
cm
9
cm
Ⅵ
?
30?
8
cm
8
cm
Ⅳ
Ⅳ
8
cm
5
cm
Ⅱ
30?
?
8
cm
5
cm
Ⅴ
30?
8
cm
?
5
cm
Ⅷ
8
cm
5
cm
?
30?
8
cm
9
cm
Ⅶ
Ⅲ
?
30?
8
cm
8
cm
Ⅲ
【跟踪训练】
2.如图，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC
≌
△ADB的理由。
____=____(已知)
∠A=
∠A(
公共角)
_____=____(已知)
∴
△AEC≌△ADB（
）
A
E
B
D
C
AE
AD
AC
AB
SAS
解：在△AEC和△ADB中
3.如图，去修补一块玻璃，问带哪一块玻璃去可以使得新玻璃与原来的完全一样？
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
知识应用
分析：带Ⅲ去，可以根据SAS得到与原三角形全等的一个三角形.
4.已知:AD=CD，BD平分∠ADC，
求证：（1）∠A=∠C.
（2）AB=BC.
A
B
C
D
1
2
归纳：证明两条线段相等或两个角相等可以通过证明它们所在的两个三角形全等而得到.
分析：可先证△ABD≌△CBD（SAS），
再根据全等三角形的性质证角或线段相等.
如图，在△ABC
和△ABD
中，
AB
=AB，AC
=
AD，∠B
=∠B，
但△ABC
和△ABD
不全等．
探索“SSA”能否识别两三角形全等
两边一角分别相等包括“两边夹角”和
“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已
探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”
的条件能判定两个三角形全等吗？
A
B
C
D
A
45°
B
B′
C
4cm
3cm
3cm
画一画：三角形的两条边分别为4cm和3cm，长度为3cm的边所对的角为45°,画出这个三角形，把你画的三角形与小组其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？把你的发现和同伴交流。
显然：
△ABC与△AB′C不全等
SSA不存在
【跟踪训练】
画△ABC
和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5
cm
，
AC
=DF=3
cm．观察所得的两个三角形是否全等？
两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，△ABC
和△DEF不一定全等．
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.根据边角边定理判定两个三角形全等，要找出两边
及夹角对应相等的三个条件．
2.找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件
(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，
并要善于运用学过的定义、公理、定理.
1.根据题中条件，分别找出各题中的全等三角形.
A
B
C
40°
D
E
F
(1)
(1)△ABC≌△EFD
根据“SAS”
（2）△ADC≌△CBA
根据“SAS”
40°
D
C
A
B
(2)
C
A
B
D
O
2.在下列推理中填写需要补充
的条件，使结论成立：
(1)如图,在△AOB和△DOC中
AO=DO(已知)
______=________(
)
BO=CO(已知)
∴
△AOB≌△DOC（
）
∠
AOB
∠
DOC
对顶角相等
SAS
3.已知：如图，AD∥BC，AD=CB，
求证：△ADC≌△CBA.
AD=CB（已知），
∠1=∠2（已证），
AC=CA
（公共边），
∴△ADC≌△CBA（SAS）.
【证明】∵AD∥BC，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.
在△ADC和△CBA中，
D
C
1
A
2
B
4.（楚雄·中考）如图，点A，E，B，D在同一条直线上，AE=DB，AC=DF，AC∥DF.请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由.
F
E
B
A
C
D
AC=DF(已知），
∠A=∠D
（已证），
AB=DE
（已证），
∴△EFD≌△BCA（SAS），
【解析】BC∥EF.
∵AC∥DF，
∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）.
又∵
AE=DB，
∴
AE+BE=DB+BE,即AB=DE.
在△EFD和△BCA中，
∴
∠ABC=∠DEF（全等三角形的对应角相等），
∴EF‖BC(内错角相等，两直线平行).
A
B
D
C
E
已知：如图,AB=AC,
AD=AE,
∠BAC=∠DAE
求证：
△ABD≌△ACE
【证明】∵∠BAC=∠DAE（已知）
∠
BAC+
∠
CAD=
∠DAE+
∠
CAD
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD与△ACE
AB=AC（已知）
∠BAD=
∠CAE
（已证）
AD=AE（已知）
∴△ABD≌△ACE（SAS)
数学，科学的女皇；数论，数学的女皇.
——C?F?高斯
