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第一章
集合与常用逻辑用语
第1节
集合的概念
基础巩固
1．（2020·全国高一）下列各组对象中能构成集合的是（
）
A．充分接近的实数的全体
B．数学成绩比较好的同学
C．小于20的所有自然数
D．未来世界的高科技产品
【答案】C
【解析】选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，
只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，
2．（2020·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）集合用列举法表示是
A．{1，2，3，4}
B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5}
D．{0，1，2，3，4}
【答案】D
【解析】由题意，又，∴集合为．
3．（2019·六盘水市第七中学高一月考）已知集合，则中元素的个数为（
）
A．1
B．5
C．6
D．无数个
【答案】C
【解析】由题得，
所以A中元素的个数为6.
4．（2020·全国高一）有下列四个命题：
①是空集；
②若，则；
③集合有两个元素；
④集合是有限集.
其中正确命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；
②中当时不成立，不正确；
③中有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；
④中集合是有限集，正确，
5．（2020·四川省高一月考（理））不等式的解集是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】B
【解析】因为，
所以不等式的解集是.
6．（2020·嫩江市高级中学高一月考）下列各组中的M、P表示同一集合的是(
)
①；
②；
③；
④
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】C
【解析】对于①，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合.对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合.对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合研究对象是函数值，集合研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选C.
7．（2017·广东省高一期中）若，则a
=（
）
A．2
B．1或－1
C．1
D．－1
【答案】D
【解析】当时，，当时，集合为不满足互异性，舍去，当时，集合为，满足；
当时，，不满足互异性，舍去.
8．（2020·全国高一）已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为
A．1或－1
B．1或3
C．－1或3
D．1，－1或3
【答案】B
【解析】因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1.
9．（2020·全国高一）设不等式的解集为，下列正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解不等式：，可得：，
所以，显然，故选：B.
10．（2020·全国高一）直线与的交点组成的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】联立，可得，，写成点集为.
11．（2020·全国高一）已知集合，，则集合中所含元素的个数为（
）
A．3
B．4
C．6
D．9
【答案】B
【解析】因为，，，
所以满足条件的有序实数对为，，，．
12．（2020·全国高一）已知集合，集合，则集合中元素的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】，，
，
当时，
当时，
当时，
即，即共有个元素
13．（2020·上海高一课时练习）集合是指（
）
A．第二象限内的所有点
B．第四象限内的所有点
C．第二象限和第四象限内的所有点
D．不在第一、第三象限内的所有点
【答案】D
【解析】因为，故或，故集合是指第二、四象限中的点，以及在轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.
14．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数，，，则代数式表示的所有的值的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当都为正数时，；
当都为负数时，.
因此，若都为正数，则；
若两正一负，则；
若一正两负，则；
若都为负数，则.
所以代数式表示的所有的值的集合是.
15．（多选题）（2020·全国高一课时练习）实数1是下面哪一个集合中的元素（
）
A．整数集Z
B．
C．
D．
E.
【答案】ABD
【解析】1是整数，因此实数1是整数集Z中的元素，故A选项正确；由得或，因此实数1是集合中的元素，故B选项正确；1不满足，因此实数1不是集合中的元素，故C选项不正确；当时，，因此实数1是集合中的元素，故D选项正确；当时，无意义，因此实数1不是集合中的元素，故E选项不正确.
16．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】根据题意，分4种情况讨论；
①、全部为负数时，则也为负数，则
②、中有一个为负数时，则为负数，则
③、中有两个为负数时，则为正数，则
④、全部为正数时，则也正数，则
则；
分析选项可得符合．
17．（2020·上海高一课时练习）集合中元素的三大特征是________．
【解析】一定范围内，确定的、不同的对象组成的全体，称为一个集合，组成集合的这些对象就是集合的元素，它具有确定性、互异性、无序性．
故答案为：确定性、互异性、无序性．
18．（2020·全国高一）方程的解集为，用列举法表示为____________.
【答案】.
【解析】解方程得或，
19．（2020·上海高一课时练习）若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________．
【答案】或
【解析】因为集合中至多有一个元素
所以方程至多有一个根，
当时解得，满足题意
当时，，解得
综上：或
20．（2020·全国高一）甲?乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________.
【答案】
【解析】因为20道选择题每题3分,甲最终的得分为54分,所以甲答错了2道题,又因为甲和乙有两道题的选项不同,则他们最少有16道题的答案相同,设剩下的4道题正确答案为,甲的答案为,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为,,,,等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为,故答案为.
拓展提升
1．（2020·全国高一）用列举法表示下列集合:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)由得,因此.
(2)由,且,得,因此.
(3)由得.因此.
2．（2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中）已知不等式的解集是．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴，∴
（2）∵，∴是方程的两个根，
∴由韦达定理得解得
∴不等式即为：
其解集为．
3．（2020·全国高一）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
【解析】（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，
当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，
（2）若A是空集，
则方程ax2+2x+1=0无解，
此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.
（3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素，
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.
4．（2020·全国高一课时练习）数集M满足条件：若，则.
（1）若，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
【解析】(1)由，令，则由题意关系式可得：
，，，
而，所以集合M中一定存在的元素有：.
(2)不，理由如下：
假设M中只有一个元素a，则由，化简得，无解，所以M中不可能只有一个元素.
（3）M中的元素个数为4，，理由如下：
由已知条件，则，以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：，，，，由(2)得，
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
若，化简得，无解，故；
综上可得：，所以集合M一定存在的元素有，当取不同的值时，集合M
中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M中元素的个数为4，.
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集合与逻辑用语
第1节
集合的概念
基础巩固
1．（2020·全国高一）下列各组对象中能构成集合的是（
）
A．充分接近的实数的全体
B．数学成绩比较好的同学
C．小于20的所有自然数
D．未来世界的高科技产品
2．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）集合用列举法表示是
A．{1，2，3，4}
B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5}
D．{0，1，2，3，4}
3．（2019·六盘水市第七中学高一月考）已知集合，则中元素的个数为（
）
A．1
B．5
C．6
D．无数个
4．（2020·全国高一）有下列四个命题：
①是空集；
②若，则；
③集合有两个元素；
④集合是有限集.
其中正确命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．（2020·四川省高一月考（理））不等式的解集是（
）
A．
B．
C．或
D．或
6．（2020·嫩江市高级中学高一月考）下列各组中的M、P表示同一集合的是(
)
①；
②；
③；
④
A．①
B．②
C．③
D．④
7．（2017·广东省高一期中）若，则a
=（
）
A．2
B．1或－1
C．1
D．－1
8．（2020·全国高一）已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为
A．1或－1
B．1或3
C．－1或3
D．1，－1或3
9．（2020·全国高一）设不等式的解集为，下列正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·全国高一）直线与的交点组成的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·全国高一）已知集合，，则集合中所含元素的个数为（
）
A．3
B．4
C．6
D．9
12．（2020·全国高一）已知集合，集合，则集合中元素的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
13．（2020·上海高一课时练习）集合是指（
）
A．第二象限内的所有点
B．第四象限内的所有点
C．第二象限和第四象限内的所有点
D．不在第一、第三象限内的所有点
14．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数，，，则代数式表示的所有的值的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
15．（多选题）（2020·全国高一课时练习）实数1是下面哪一个集合中的元素（
）
A．整数集Z
B．
C．
D．
E.
16．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（）
A．
B．
C．
D．
17．（2020·上海高一课时练习）集合中元素的三大特征是________．
18．（2020·全国高一）方程的解集为，用列举法表示为____________.
19．（2020·上海高一课时练习）若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________．
20．（2020·全国高一）甲?乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________.
拓展提升
1．（2020·全国高一）用列举法表示下列集合:
(1);
(2);
(3).
2．（2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中）已知不等式的解集是．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求不等式的解集．
3．（2020·全国高一）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
4．（2020·全国高一课时练习）数集M满足条件：若，则.
（1）若，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
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