人教版数学八年级上册11.2.1 三角形的内角课件（46张ppt）

(共43张PPT)
11.2
与三角形有关的角
11.2.1
三角形的内角
前面我们学习了与三角形有关的线段，今天我们就来学习与三角形有关的角.
三角形内角和定理是本章的重要内容，也是“图形与几何”必备的知识基础．它从“角”的角度刻画了三角形的特征．三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时也说明了证明的必要性．
新课导入
学习目标：
1．通过经历探究活动的过程，得出三角形的
内角和定理.
2．能运用平行线的性质证明内角和定理.
3．能应用三角形内角和定理推导并归纳直角
三角形的性质与判定.
学习重、难点：
重点：三角形内角和定理及其应用，直角三角
形的性质与判定.
难点：三角形内角和定理的证明.
推进新课
探索并证明三角形内角和定理
　　在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
知识点1
方法：度量、剪拼、折叠
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
A
A
B
B
C
A
B
B
C
C
方法：度量、剪拼、折叠
A
B
C
方法：度量、剪拼、折叠
　　追问1　运用度量的方法，得出的三个内角的和都是180°吗？为什么？
不一定，测量可能会有误差．　　　
　　追问2　通过度量、剪拼或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数个，我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？
需要通过推理去证明．　　　
　　你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？
　　追问1　在下图中，∠B
和∠C
分别拼在∠A
的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A
的直线l，直线l
与边BC
有什么位置关系？
直线l
与边BC
平行．　　　
B
B
C
C
A
l
B
B
C
C
A
l
　　追问2　在操作过程中,我们发现了与边BC
平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明该结论．　　　
证明：过点A
作直线l
，使l
∥BC．
∵　
l
∥BC
，
∴　∠2
=
∠4，
∠3
=
∠5
（两直线平行，内错角相等）
．
　　追问3　结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？
已知：△ABC．求证：∠A
+∠B
+
∠C
=
180°．
A
B
C
2
4
1
5
3
　
l
A
B
C
2
4
1
5
3
　
l
　　追问3　结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？
已知：△ABC．求证：∠A
+∠B
+
∠C
=
180°．
证明：∵　∠1
+
∠4
+
∠5
=
180°
（平角定义），
∴　∠A
+
∠B
+
∠C
=
180°
（等量代换）．
　
追问4　通过前面的操作和证明过程，你受到了什么启发？你还能用其他方法证明此定理吗？
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
　
追问4　通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
n
　
追问4　通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
n
　
追问4　通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
运用三角形内角和定理
知识点2
　　例1　如图，在△ABC
中，
∠BAC
=40°，
∠B
=
75°，AD
是△ABC
的角平分线．求∠ADB
的度数．
解：∵　由∠BAC=40
°
，
AD
是△ABC
的角平分线，得
∠BAD
=
∠BAC
=
20°.
在△ABD中，
∠ADB
=180°–
∠B
–
∠BAD
=180°
–
75°
–
20°
=85°.
北
北
C
A
B
D
E
　　例2　如图，C
岛在A
岛的北偏东50°方向，B
岛在A
岛的北偏东80°方向，C
岛在B
岛的北偏西40°方向．从B
岛看A，C
两岛的视角∠ABC
是多少度？从C岛看A，B
两岛的视角∠ACB
呢？
解：
∠CAB=∠BAD
-
∠CAD
=80
°-
50
°
=30
°.
过C
点作正南方向线，则有
　∠1
=
∠3
，∠2
=
∠4
（两直线平行，内错角相等），
∴∠ACB
=
∠1
+
∠2
=
∠3
+
∠4
=
50°+
40°
=
90°
（等量代换）．
北
北
C
A
B
D
E
南
3
4
1
2
　练习1　如图，说出各图中∠1
的度数．　　
30°
105°
1
（2）
80°
50°
1
（1）
22°
1
（3）
50°
45°
68°
　　练习2　如图，从A
处观测C
处的仰角∠CAD
=
30°，从B
处观测C
处的仰角∠CBD
=
45°．从C
处观测A，B
两处的视角∠ACB
是多少？
　　
A
B
D
C
∠ACB
=∠ACD
–
∠BCD
=
60°–
45°=15°.
　　问题
在△ABC
中，∠A
=60°，∠B
=30°，∠C
等于多少度？你是用什么知识解决的？
A
B
C
∠C
=90°，三角形的三个内角和等于180°。
A
B
C
探索直角三角形的性质
知识点3
　　在△ABC
中，若∠C
=90°，你能求出∠A，∠B
的度数吗？为什么？你能求出∠A
+∠B
的度数吗？
利用上面的结果，你能得出什么结论？
　　直角三角形的两个锐角互余．　　
A
B
C
　　直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形ABC
可以写成Rt△ABC
．
A
B
C
在Rt△ABC
中，
∵　∠C
=90°，
∴　∠A
+∠B
=90°．　　
　　此性质的几何推理格式该怎样表示？
　　例3　如图，∠C
=∠D
=90°，AD，BC
相交于点E，∠CAE
与∠DBE
有什么关系？为什么？
　　分析：两个角的关系是什么？这两个角分别在什么三角形中？你如何验证自己的想法？
C
D
E
A
B
　　例3　如图，∠C
=∠D
=90°，AD，BC
相交于点E，∠CAE
与∠DBE
有什么关系？为什么？
C
D
E
A
B
解：在Rt△AEC
中，
∵　∠C
=90°，
∴　∠CAE
+∠AEC
=90°
（直角三角形两锐角互余）．
在Rt△BDE
中，
∵　∠D
=90°，
　　例3　如图，∠C
=∠D
=90°，AD，BC
相交于点E，∠CAE
与∠DBE
有什么关系？为什么？
C
D
E
A
B
解：∴　∠DBE
+∠BED
=90°
（直角三角形两锐角互余）．
∵　∠AEC
=∠BED
（对顶角相等），
∴　∠CAE
=∠DBE
（等角的余角相等）．
探索直角三角形的判定
知识点4
　　我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？
　　利用三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形．　　
　　类比性质的几何推理格式，判定的几何推理格式又该怎样表示？
推理格式：
在Rt△ABC
中，
∵　∠A
+∠B
=90°，
∴　△ABC
是直角三角形．
A
B
C
相等．
同角的余角相等．
　　练习　如图，∠ACB
=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD
与∠B
有什么关系？为什么？
D
A
B
C
D
A
B
C
　　变式1　若∠ACD
=∠B，∠ACB
=90°，则CD
是△ACB
的高吗？为什么？
　　是．
　　有两个角互余的三角形
是直角三角形．
D
A
B
C
　　变式2　若∠ACD
=∠B，CD
⊥AB，△ACB
为直角三角形吗？为什么？
　　是．
　　有两个角互余的三角形是直角三角形．
　　变式3　如图，若∠C
=90°，∠AED
=∠B，△ADE
是直角三角形吗？为什么？
　　是．
　　有两个角互余的三角形是直角三角形．
（证明过程略）．
D
E
A
B
C
随堂演练
1.△ABC中，∠A
:
∠B
:
∠C
=
1
:
2
:
3，则∠A=______，∠B
=
______，∠C
=
______.
90°
30°
60°
基础巩固
2.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中除直角外相等的角有__________________
______________，互余的角有：____________
________________________________________.
∠A
=∠BCD，
∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠B与∠BCD，∠ACD与∠BCD
∠B
=∠ACD
3.如图，在△ABC中，∠ABC=70°，∠C=65°，BD⊥AC于D，求∠ABD，∠CBD的度数.
解：∵∠ABC
=
70°，∠C
=
65°，
∴∠A
=
180°–∠ABC
–∠C
=
45°.
∵BD⊥AC，
∴∠ADB
=∠CDB
=
90°，
∴∠ABD
=
90°–∠A
=
∠45°，
∠CBD
=
90°
–
∠C
=
25°.
综合应用
有两个角互余的三角形是直角三角形．　　
三角形内角和等于180°.
A
B
C
　　直角三角形的两个锐角互余．　　
B
B
C
C
A
l
课堂小结
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
本课时教学思路按猜想、实验、证明的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，并给学生留下充分的思考时间与空间，形成解决问题的意识与能力.
教学反思