人教版数学八年级上册11.3.2 多边形的内角和课件（31张ppt）

(共31张PPT)
11.3
多边形及其内角和
11.3.2
多边形的内角和
学习目标：
1．探索多边形的内角和公式.
2．通过把多边形转化成三角形，体会转化思
想在几何中的运用.
学习重、难点：
重点：多边形的内角和公式及推导.
难点：探究多边形的内角和公式的应用.
新课导入
　　回忆　长方形、正方形的内角和等于______.
360°　　　
　　思考　任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？
推进新课
多边形的内角和
　　探究　你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？
证明：连接AC，
∠BAD
+∠B
+∠BCD
+∠D
=（∠BAC
+∠BCA
+∠B）
+
（∠DAC
+∠DCA
+∠D），
=
180°
+
180°
=
360°
．
知识点1
　　从四边形的一个顶点出发，可以作
条对角线，它们将四边形分为　　
个三角形，四边形的内角和等于180°×____=　　　　°．
1
2
2
360
　　探究　你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？
　　探究　类比前面的过程，你能探索五边形的内角和吗？六边形呢？
　　如图，从五边形的一个顶点
出发，可以作　　条对角线，它
们将五边形分为____个三角形，
五边形的内角和等于
　　180°×　　=　　　　°．
2
3
3
540
　　如图，从六边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×____=_______°．
3
4
4
720
形状
图形
从多边形的一个顶点引出的对角线条数
分割出三角形的个数
多边形内角和
三角形
四边形
五边形
六边形
……
n
边形
······
0
3
-
3
=
4
-
3
=
5
-
3
=
6
-
3
=
n
-
3
1
2
3
······
3
-
2
=
1
4
-
2
=
2
5
-
2
=
3
6
-
2
=
4
n
-
2
（
n
-2
）·180?
180?
360?
540?
720?
······
······
　　从n
边形的一个顶点出发，可以作（n
-3）条对角线，它们将n
边形分为（n
-2）个三角形，这（n
-2）个三角形的内角和就是n
边形的内角和，所以，n
边形的内角和等于（n
-2）×180°．
归纳总结
　　通过上述过程，你能说说多边形的内角和与边数的关系吗？
例1
填空：
（1）十边形的内角和为
度．
（2）已知一个多边形的内角和为1
080°，则它的边数为______．
1440
8
解：如图，四边形ABCD
中，
∠A
+∠C
=180°．
∵　∠A
+∠B
+∠C
+∠D
=（4
-
2）×180°
=
360°，
　　∴　∠B
+∠D
=
360°–（∠A
+
∠C）
=360°–
180°=
180°．
例2　如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
四边形、五边形、六边形的外角和
知识点2
　　问题1　我们知道，三角形的内角和是180°，三角形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360°有多种方法．如图，你能说说怎样由外角与相邻内角互补的关系得出这个结论吗？
A
B
C
D
E
F
1
2
3
　由
∠1
+∠BAE
=180°，∠2
+∠CBF
=180°，
∠3
+∠ACD
=180°，
得
∠1
+∠2
+∠3
+∠BAE
+∠CBF
+∠ACD
=540°．
由
∠1
+
∠2
+
∠3
=
180°，得
∠BAE
+∠CBF
+∠ACD
　
=
540°
-
180°
=
360°．
A
B
C
D
E
F
1
2
3
由
∠BAD
+∠1
=180°，
∠ABC
+∠2
=180°，
∠BCD
+∠3
=180°，
∠ADC
+∠4
=180°，
得∠BAD
+
∠1
+
∠ABC
+∠2
+∠BCD
+∠3
+∠ADC
+∠4
=180°×4．
由∠BAD
+∠ABC
+∠BCD
+∠ADC
=180°×2，得
∠1
+∠2
+∠3
+∠4
=180°×4
-
180°×2
=360°．
　　问题2　如图，你能仿照上面的方法求四边形的外角和吗？
A
B
C
1
2
3
D
4
问题3　五边形的外角和等于多少度？六边形呢？
仿照上面的方法试一试．
6×
180°-（6-2）×180°=
2×
180°=360°
类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边形的外角和是360°，六边形的外角和是360°．
　　问题4
你能仿照上面的方法求n
边形（n
是不小于3
的任意整数）的外角和吗？
　　因为n
边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，所以n
边形内角和加外角和等于n
·
180°，所以，
n
边形的外角和为：
n
·
180°-（n
-2）·
180°=
360°．
任意多边形的外角和等于360°．
n
边形的外角和
知识点3
　　我们也可以在问题4
的基础上这样理解多边形外角和等于360°．
　　如图，从多边形的一个顶点A
出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向．
A
　　在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°．
　　我们也可以在问题4
的基础上这样理解多边形外角和等于360°．
A
巩固多边形外角和公式
　
解：设这个多边形为
n
边形，
　　　　根据题意，可列方程
（
n
-2）×180°=3×360°．
解得　n
=8．
答：它是八边形．
一个多边形的内角和等于它的外角和的3
倍，它是几边形？
x
=
65
　　练习1　求出下列图形中
x
的值。
x
=
60
x
=
95
六边形
　　练习2　一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
四边形
　　练习3　一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？
　　解：不存在．
　　理由：如果存在这样的多边形，设它的一个外角为x
，则对应的内角为180°-
x
，
于是
x
=180°-
x，解得　x
=150°.
　　练习4　是否存在一个多边形，它的每个内角
都等于相邻外角的
？为什么？
　　这个多边形的边数为：360°÷150°=
2.4，而边数应是整数，因此不存在这样的多边形．
随堂演练
1.下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的是（
）
A.600°
B.720°
C.900°
D.1080°
2.若多边形的边数由3增加到5，则其外角和的度数（
）
A.增加
B.减少
C.不变
D.不能确定
A
C
基础巩固
3.已知，在四边形ABCD中，∠A:∠B＝5:7，∠B与∠A的差等于∠C，∠D与∠C的差是80度，求四边形ABCD四个内角的度数.
解：设∠A=5x°，∠D=y°，则∠B=7x°，∠C=2x°，由题意可得
解得
所以∠A=87.5°，∠B=122.5°，∠C=35°，∠D=115°.
综合应用
4.如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米，后左转30度，再沿直线前进10米.又向左转30度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米？
拓展延伸
解：由题意可知，小亮第一次回到出发地A点时，他的行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于30°，边长为10米.所以这个多边形的边数为
所以一共走了12×10=120（米）.
课堂小结
　　从n
边形的一个顶点出发，可以作（n
-3）条对角线，它们将n
边形分为（n
-2）个三角形，这（n
-2）个三角形的内角和就是n
边形的内角和，所以，n
边形的内角和等于（n
-2）×180°．
多边形外角和等于360°．
A
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、交流和表述，激发学生学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好地交流与合作，利用师生的双向活动，适时调度，查漏补缺，从而顺利达到教学目的.
教学反思