人教版数学八年级上册11.2.1 三角形的内角课件（27张ppt）

(共27张PPT)
11.2
与三角形有关的角
11.2.1
三角形的内角
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”
老二很纳闷.
同学们，你们知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
1.了解三角形的内角和的验证及证明过程；
2.熟练利用三角形的内角和及直角三角形两锐角的
关系解决问题；
3.知道添加辅助线是帮助解决数学问题的方法.
三角形的三个内角和是多少?
把三个角拼在一起试试看
你有什么办法可以验证呢?
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?
C
B
A
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°
证法１：过A作EF∥BC，
∴∠B=∠2,
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
又∵∠2+∠1+∠BAC=180°,
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
F
2
1
E
C
B
A
证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∴
∠A=∠1,(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
2
1
E
D
C
B
A
证法3：过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE,
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°,
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
C
B
E
A
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
【例1】在△ABC中，
∠A
:∠B:∠C=2:2:4,求∠A,∠B,
∠C的度数.
解：设每一份角为x°，则∠A＝2x°,∠B=2x°,
∠C=4x°
，由三角形内角和定理，可得：
2x+2x+4x=180,
解得
x=22.5,
2x=2×22.5=45,
4x=4×22.5=90.
答：
∠A
为45°，∠B为45°,
∠C为90°.
【例题】
（1）在△ABC中，∠A=55°，
∠
B=43°,则∠ACB=
，
∠ACD＝______.
（2）在△ABC中,∠A=80°,
∠B=∠C
,
则∠C＝____°.
82°
C
B
A
Ｄ
98°
50
【跟踪训练】
1.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得
∠A+∠B+∠C=
°，
即
∠A+∠B+90°=
°，
所以
∠A+∠B=
°.
A
B
C
180
180
90
【合作探究】
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
2.如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，由三角形内角和定理，
得∠A+∠B+∠C=
°，
即
∠C
+90°=
°，
所以
∠C
=
°，
所以△ABC是______三角形.
A
B
C
180
180
90
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角
【例2】如图∠C=∠D=90°,AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90°-∠AEC.
在Rt△BDE中，
∠DBE=90°-∠BED.
∵∠AEC=∠BED，
∴∠CAE=∠DBE.
A
B
C
D
E
【例题】
相等．
同角的余角相等．
　　练习　如图，∠ACB
=90°，CD⊥AB，垂足为D，
∠ACD
与∠B
有什么关系？为什么？
D
A
B
C
【跟踪训练】
　　变式1　若∠ACD
=∠B，∠ACB
=90°，则CD
是
△ACB
的高吗？为什么？
　　是．
　　有两个角互余的三角形
是直角三角形．
D
A
B
C
　　变式2　若∠ACD
=∠B，CD
⊥AB，则△ACB
为直角
三角形吗？为什么？
　　是．
　　有两个角互余的三角形
是直角三角形．
D
A
B
C
　　变式3　如图，若∠C
=90°，∠AED
=∠B，△ADE
是直角三角形吗？为什么？
　　是．
　　有两个角互余的三角形
是直角三角形．
（证明过程略）．
D
E
A
B
C
三角形的内角和等于180°.
证法
应用
转化为一个平角或同旁内角互补
求角度
作平行线
转化思想
辅助线
通过本课时的学习，需要我们掌握：
性质：直角三角形的两个锐角互余.
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形
1.（济宁·中考）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（
）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
【解析】选B.设每一份角为x°，则三个角分别为2x°,3x°,4x°
，由三角形内角和定理，可得：2x+3x+4x=180，解得
x=20.所以三个角的度数分别为40°，60°,
80°，所以这个三角形为锐角三角形.
2.在直角三角形ABC中,一个锐角为40°,则另一个锐角是_______°.
【解析】直角三角形中有一直角为90°，所以另外两锐角的和为90°
，因为一个锐角为40°,
所以另一个锐角是50°.
【答案】50
　3.　如图，说出各图中∠1
的度数．　　
80°
50°
1
30°
105°
1
22°
1
（1）
（2）
（3）
（3）68°　　
（1）50°
　　
（2）45°
　
4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.
A
B
C
D
E
F
【解析】
∠A，∠C，∠E是△ACE的三个内角，其和为180°，
∠B，∠D，∠F是△BDF的三个内角，其和为180°，所以六个角的和为
360°.
【答案】360°
5.（1）一个三角形中最多有
个直角.
（2）一个三角形中最多有
个钝角.
（3）一个三角形中至少有
个锐角.
（4）任意
一个三角形中，最大的一个角的度数至少
为
.
【提示】
根据三角形的内角和可得出结论.
【答案】（1）1
（2）1
（3）2
（4）60°
6.已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．试求∠P的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°．
又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，
∴∠PEF=
∠BEF，∠PFE=
∠DFE，
∴∠PEF+∠PFE=
（∠BEF+∠DFE）=90°．
∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，
∴∠P=90°．
7.如图，从A
处观测C
处的仰角∠CAD
=30°，从B
处观测C
处的仰角∠CBD
=
45°．从C
处观测A，B
两处的视角∠ACB
是多少？
　　
A
B
D
C
解：由邻补角的定义可得
∠CBA=180°-∠CBD=180°-45°=135°，
∵∠ACB=180°-∠CAD-∠CBA
=180°-30°-135°
=15°
　　
伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标.