江苏省启东市2019-2020学年高一下学期期末调研测试数学试题 图片版含答案

数学参考答案与评分建议
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1~4 C C D B 5~8 B A C B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9. AD 10. ABD 11. AC 12. ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 式子的值是 ▲ .
【答案】6
14．已知，α为锐角，则 ▲ .
【答案】
15．已知直线与圆相切，则a的值是 ▲ .
【答案】1
16．“辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积等于其
上底的面积S、中截面（过几何体高的中点平行于底面的截面）的面积S0的4倍、下底的面积之和乘以高h的六分之一，即．已知函数的图象过点，，且与直线，y1及y2围成的封闭图形绕y轴旋转一周得到一个几何体，则 ▲ ，利用“辛普森（Simpson）公式”可估算该几何体的体积 ▲ .（第一空2分，第二空3分）
【答案】1，
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．
17. （本小题满分10分）
已知，，与的夹角为．
求：（1）；
（2）．
解：（1） ……2分
． ……5分
（2）
……7分
． ……10分
18. （本小题满分12分）
眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要．某校高一、高二、高三年级分别有学生1 200名、
1 080名、720名．为了解全校学生的视力情况，学校在6月6日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法，抽取50人测试视力，并根据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求从高一年级抽取的学生人数；
??????（2）试估计该学校学生视力不低于4.8的概率；
（3）从视力在内的受测者中随机抽取
2人，求2人视力都在内的概率．
解：（1）高一年级抽取的学生人数为：
．
答：从高一年级抽取的学生人数为20． ……2分
　　?? （2）由频率分布直方图，得，
所以． ……4分
所以抽取50名学生中，视力不低于4.8的频率为，
所以该校学生视力不低于4.8的概率的估计值为． ……6分
（3）由频率分布直方图，得
视力在内的受测者人数为，记这2人为，
视力在内的受测者人数为，记这3人为．……8分
记“抽取2人视力都在内”为事件A，
从视力在内的受测者中随机抽取2人，所有的等可能基本事件共有10个，
分别为
，
　　　　　 则事件A包含其中3个基本事件：， ……10分
根据古典概型的概率公式，得．
答：2人视力都在内的概率为． ……12分
19．（本小题满分12分）
如图，在长方体中，已知，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
解：（1）因为为长方体，
所以平面．
　　　 因为平面，所以． ……2分
　　　 因为，所以为正方形．
所以． ……4分
　　　　　 又因为，平面，
所以平面． ……6分
?? （2）设，连接．
　　　　　 由（1）知，平面．
因为平面，所以． ……8分
又由（1）知，，
　　　 所以为二面角的平面角． ……10分
　　　　　 在中，，，
所以，
　　　　　 所以二面角的正切值为． ……12分
20．（本小题满分12分）
在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（1）求B的大小；
（2）若AB2，BC，点D在边AC上， ，求BD的长．
请在①ADDC；②∠DBC∠DBA；③BD⊥AC这三个条件中选择一个，补充在上面
的横线上，并完成解答．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）．
解：（1）在△ABC中，由正弦定理，及得，
． ……2分
因为△ABC为锐角三角形，所以，所以．
所以. ……4分
又因为，所以. ……6分
（2）若选①.
法一：在△ABC中，因为ADDC，所以＝. ……8分
所以2 ……10分
所以BD＝. ……12分
法二：在△ABC中，由余弦定理，得
，
所以，所以. ……8分
在△ABD中，由余弦定理，得
即，
在△BDC中，由余弦定理，得
即. ……10分
又，所以.
所以，
所以BD＝. ……12分
若选②.
在△ABC中，， ……8分
即， ……10分
即，
解得. ……12分
若选③.
在△ABC中，由余弦定理，得
，
所以. ……8分
因为，又， ……10分
所以，
解得. ……12分
21．（本小题满分12分）
已知圆C：关于直线l：对称．
（1）求实数a的值；
（2）设直线m：与圆交于点，且．
① 求的值；
② 点P ( 3，0 )，证明：x轴平分．
解：（1）因为圆C：关于直线l：对称，
　　　　　 所以圆心C在直线l：上． ……2分
　　　　　 所以，解得． ……4分
　　?? （2）① 由（1）知，圆C：．
所以圆心C到直线m：的距离为． ……6分
因为，所以，解得，
因为，所以． ……8分
② 法一：由①知，直线m：．
联立消去，得，解得或．
不妨， ……10分
所以．
所以直线的倾斜角互补，从而，
　　 所以轴平分． ……12分
法二：设直线m：上的点，，又点P ( 3，0 )，
　　　　　 所以
．（*） ……8分
　　　　　　 联立消去，得，
所以 代入（*），得．
所以直线的倾斜角互补，从而，
　　　　　 所以轴平分． ……12分
22．（本小题满分12分）
已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．
（1）求函数与的解析式；
　　（2）设函数，若对任意实数，恒成立，求实数
的取值范围．
解：（1）因为为偶函数，为奇函数，且，①
所以，即， ② ……2分
由，得，
由，得. ……4分
（2）方法一：由（1）得，．
因为对任意实数，恒成立．
当时，设，则恒成立.
若，即，则当时，取得最小值，符合题意； ……6分
若，即，则当时，取得最小值.
由，得，所以.
所以. ……8分
当时，设，则恒成立.
若，即，则当时，取得最小值.
由，得. 所以. ……10分
若，即时，，符合题意.
所以.
综上，实数的取值范围是． ……12分
方法二：恒成立，即恒成立.
当时，显然成立；
当时，，令，设， ……6分
当，即时，.
设是上任意两个值，且，
则，
当时，，，，所以，即；
当时，，，，所以，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减. ……8分
所以当时，在上取得最大值.
所以. ……10分
当，即时，，
同理可证，函数在 上单调递增，在上单调递减.
所以当时，在上取得最大值.
所以.
综上，实数的取值范围是． ……12分