2019-2020学年北师大版数学选修4-5：综合卷2

选修4－5模块综合检测题(二)
[时间120分钟　　　　　　满分150分]
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式|2x－1|<3的解集是(　　)
A．{x|x>2}　　　　　　　 B．{x|x<2}
C．{x|－1－1}
答案　C
2．设a，b∈R，下面的不等式能成立的是(　　)
A．a2＋3ab>b2 B．ab＋a>b＋ab
C.< D．a2＋b2≥2(a－b－1)
答案　D
3．下列四个命题：
①若a>b，c>1，则algc>blgc； ②若a>b，c>0，则algc>blgc；
③若a>b，则a·2c>b·2c； ④若a0，则>.
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　①正确，∵c>1时，lgc>0；②不正确，∵00；④正确，∵a>.
4．已知p＝a＋，q＝－a2＋4a(a>2)，则(　　)
A．p>q B．pC．p≥q D．p≤q
答案　A
解析　∵p＝(a－2)＋＋2，又a－2>0，∴p≥2＋2＝4，而q＝－(a－2)2＋4，由a>2，可得q<4.∴p>q.
5．a>b>0，下列不等式恒成立的是(　　)
A.< B.>
C．a＋>b＋ D．aa>bb
答案　B
解析　∵a>b>0，∴2a＋b>0，a＋2b>0，0<<1.
而2a＋b－(a＋2b)＝a－b>0.∴>1.
因此A不能恒成立．
(a＋)－(b＋)＝(a－b)＋(－)＝(a－b).
∵a>b>0，∴a－b>0，ab>0.
而ab－1的符号不能确定，故C不正确．
当a＝，b＝时，aa＝bb，故D不正确，综上选B.
6．若P＝，Q＝－，R＝－，则P，Q，R的大小顺序是(　　)
A．P>Q>R B．P>R>Q
C．Q>P>R D．Q>R>P
答案　B
7．用数学归纳法证明“A．是正确的
B．归纳假设写法不正确
C．从k到k＋1推理不严密
D．从k到k＋1推理过程未使用归纳假设
答案　D
8．当0A．2 B．2
C．4 D．4
答案　C
解析　方法一：f(x)＝＝＝4tanx＋≥4.这里tanx>0且tanx＝时取等号，故选C.
方法二：f(x)＝＝(0<2x<π)．
令μ＝，有μsin2x＋3cos2x＝5.
∴sin(2x＋φ)＝5，∴sin(2x＋φ)＝.
∴||≤1，∴μ2≥16.
∴μ≥4或μ≤－4.又μ>0，故选C.
9．若a>0，则使不等式|x－4|＋|x－3|A．0C．a>0 D．以上均不对
答案　C
10．设x>0，y>0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A. ≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥
答案　D
解析　因为x>0，y>0，所以x＋y≥2.
又因为x＋y≤4，所以2≤4.
∴011．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值是(　　)
A．5 B．6
C．8 D．9
答案　D
解析　x＋＋＝(＋＋)(x＋＋)
≥(×＋×＋×)2＝9.
12．一组实数为a1，a2，a3，设c1，c2，c3是另一组数b1，b2，b3的任意一个排列，则a1c1＋a2c2＋a3c3的(　　)
A．最大值为a1b1＋a2b2＋a3b3，最小值为a1b3＋a2b2＋a3b1
B．最大值为a1b2＋a2b3＋a3b1，最小值为a1b3＋a2b1＋a3b2
C．最大值与最小值相等为a1b1＋a2b2＋a3b3
D．以上答案都不对
答案　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若不等式|x－1|答案　[3，＋∞)
14．(2014·陕西)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．
答案　
解析　由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，∴≥，∴所求最小值为.
15．请补全用分析法证明不等式“ac＋bd≤”时的推论过程：要证明ac＋bd≤(1)____________，
只要证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，
即要证：a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2，
即要证a2d2＋b2c2≥2abcd，(1)____________．
答案　(1)当ac＋bd≤0时，命题成立．当ac＋bd>0时
(2)因为(ad－bc)2≥0，所以a2d2＋b2c2≥2abcd，所以命题成立．
解析　根据分析法的原理，及后续证明提示，可知在(1)处需要对ac＋bd的正负讨论；对于(2)处需要考虑前面证明步骤成立的条件，及结论的写法．
16．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
答案　5
解析　|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知函数f(x)是R上的增函数，a，b∈R.
(1)若a＋b≥0，求证f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．
解析　(1)因为a＋b≥0，所以a≥－b，
已知f(x)是R上的增函数，所以f(a)≥f(－b)，又a＋b≥0?b≥－a.同理f(b)≥f(－a)，
两式相加，可得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)(1)中命题的逆命题成立．逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
下面用反证法证明，设a＋b<0，则
?f(a)＋f(b)从而逆命题成立．
18．(本小题满分12分)
(2015·陕西)已知关于x的不等式|x＋a|(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值．
解析　(1)由|x＋a|则解得a＝－3，b＝1.
(2)＋
＝＋
≤
＝2
＝4，
当且仅当＝，即t＝1时等号成立，
故(＋)max＝4.
19．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|.
(1)求不等式f(x)>2的解集；
(2)若不等式f(x)≤a(x＋)的解集非空，求实数a的取值范围．
解析　(1)原不等式等价于或或
解得不等式的解集为(－∞，)∪(3，＋∞)．
(2)f(x)＝|x－1|＋|x－3|＝
f(x)图像如图所示，其中A(1，1)，B(3，2)，
直线y＝a(x＋)绕点(－，0)旋转，
由图可得不等式f(x)≤a(x＋)的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－)∪[，＋∞)．
20．(本小题满分12分)
设an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．
解析　假设g(n)存在，那么当n＝2时，由a1＝g(2)(a2－1)，
即1＝g(2)(1＋－1)，所以g(2)＝2；当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)，即1＋(1＋)＝g(3)(1＋＋－1)，所以g(3)＝3，当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)，即1＋(1＋)＋(1＋＋)＝g(4)(1＋＋＋－1)，所以g(4)＝4，
由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明：
当n≥2，n∈N＋时，等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立．
(1)当n＝2时，a1＝1，
g(2)(a2－1)＝2×(1＋－1)＝1，结论成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，n∈N＋)时结论成立，
即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1＝(k＋1)(ak＋－1)＝(k＋1)(ak＋1－1)，
说明当n＝k＋1时，结论也成立，
由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n，存在g(n)＝n使等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立．
21．(本小题满分12分)
某集团投资兴办甲、乙两个企业，2014年甲企业获得利润320万元，乙企业获得利润720万元，以后每年甲企业的利润以上年利润1.5倍的速度递增，而乙企业是上年利润的.预期目标为两企业年利润之和是1 600万元，从2014年年初起：
(1)哪一年两企业获利之和最小？
(2)需经过几年即可达到预定目标(精确到1年)?
解析　(1)设从2014年起，第n年获利为
yn＝320()n－1＋720()n－1≥
2＝2×480＝960，
当且仅当320·()n－1＝720()n－1，
即()n－1·()n－1＝，
n＝2时取等号．
所以第二年，即2015年两企业获得利润之和最少，共960万元．
(2)依题意有：320()n－1＋720()n－1≥1 600，
即4()n－1＋9()n－1≥20.
设()n－1＝t(t≥1)，
则原不等式化为4t2－20t＋9≥0，
解得t≥，或t≤(舍去)．
于是()n－1≥，
n≥1＋log(×3)
＝2＋log3>2＋log()2＝4.
所以n＝5，
即经过5年可达到预期目标．
22．(本小题满分12分)
已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn；
(2)设数列{an}的通项an＝loga(1＋)，(其中a>0，且a≠1)，记Sn为数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn＋1的大小，并证明你的结论．
解析　(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得
?
所以bn＝3n－2.
(2)由bn＝3n－2知
Sn＝loga(1＋1)＋loga(1＋)＋…＋loga(1＋)
＝loga[(1＋1)(1＋)…(1＋)]，
而logabn＋1＝loga.
于是比较Sn与logabn＋1的大小，即比较(1＋1)(1＋)…(1＋)与的大小．
取n＝1，有(1＋1)＝>＝的大小．
取n＝2，有(1＋1)(1＋)>>＝.
由此猜想：
(1＋1)(1＋)…(1＋)>.(*)
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，已验证(*)成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，(*)成立，即(1＋1)(1＋)…(1＋)>，
则当n＝k＋1时，
(1＋1)(1＋)…(1＋)[1＋]>(1＋)
＝.
因为()3－()3＝＝>0，
所以(3k＋2)>＝.
从而(1＋1)(1＋)…(1＋)(1＋)>，即当n＝k＋1时(*)也成立．由①与②知，(*)对任意正整数n都成立．
所以，当a>1时，Sn>logabn＋1，
当01