2019-2020学年江西省南昌市高一下学期期末数学试卷 （Word解析版）

2019-2020学年江西省南昌市高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．某中学共有360名教师，其中一线教师280名，行政人员55人，后勤人员25人，采取分层抽样，拟抽取一个容量为72的样本，则一线教师应该抽取（　　）人．
A．56 B．28 C．11 D．5
2．已知集合A＝{x|x2﹣16＜0}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|3＜x＜4} B．{x|﹣4＜x＜4} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣4＜x＜1}
3．已知数列{an}为等差数列，a2＝3，a5＝15，则a11＝（　　）
A．39 B．38 C．35 D．33
4．在△ABC中，已知a：b：c＝2：3：4，则△ABC中最大角的余弦值等于（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
5．为了解两个变量x，y的相关性，随机抽取一些数据，并制作了如表，得到的回归方程＝2x+，则的值为（　　）
x 1 2 3 4 5
y 0.4 2.6 4.5 6.4 8.6
A．2 B．1.5 C．﹣2 D．﹣1.5
6．甲、乙两名同学在10次数学测试成绩如茎叶统计图，若甲、乙两人的平均成绩分别为x甲，x乙，请观察茎叶图，下列说法正确的是（　　）
A．x甲＜x乙，甲比乙成绩稳定
B．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定
C．x甲＞x乙，甲比乙成绩稳定
D．x甲＞x乙，乙比甲成绩稳定
7．设a＞＞0，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．ab＞2 B．a+b＞2 C．a＞1且b＞1 D．lnab＞1
8．在△ABC中，a＝2，b＝，A＝，则B＝（　　）
A． B． C． D．
9．已知数列{an}为等比数列，an＞0，且amam+1am+2＝26m，若p+q＝6，则ap?aq＝（　　）
A．27 B．28 C．29 D．210
10．已知a，b＞0，且满足a2+ab＝1，则3a+b的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．2
11．已知数列{an}，且an，an+1是直角三角形中的两个锐角，则数列{an}的2n项和S2n＝（　　）
A． B．（n+1）π C．nπ D．
12．在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段AB长度（如图：粗线条部分）与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段AB的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为β，卫星高度角为α，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知等比数列{an}，a3＝8，a5＝16，则a9＝　 　．
14．对任意实数x，不等式x2+2（1+k）x+3+k＞0恒成立，则k的取值范围是　 　．
15．下列两个变量之间具有相关关系的是　 　．
①正方形的边长a和面积S；
②一个人的身高h和右手一拃长x；
③真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t；
④一个人的身高h和体重x．
16．数据x1，x2，…，x8的均值为，方差为2，现增加一个数据x9后方差不变，则x9的可能取值为　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且满足S5＝30，a1＝2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
18．在△ABC中，BC边的中线为AD，AB＝4，B＝，S△ABD＝．
（Ⅰ）求BC；
（Ⅱ）求sin∠BAC的值．
19．某工厂现有甲、乙两条生产线生产同一种产品，现在需要对这两条生产线生产出来的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80，100]的为优等品；指标在区间[60，80）的为合格品，现分别从这两条生产线生产出来的产品，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图分别如图：
（Ⅰ）求甲生产线生产出产品指标的平均数和中位数（视每组的中点为该组平均指标）；
（Ⅱ）从这两条生产线生产出来的产品，甲乙两条生产线生产出来的优等品每件可获利润分别为40元和35元；生产出来的合格品每件可获利润分别为10元和5元，用样本估计总体比较在甲、乙两条生产线生产出来的产品获得的利润更多（两生产线生产出来的产品数量相同）？
20．已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（m）与速度（km/h）的平方和汽车总质量积成正比关系，设某辆卡车不装货物以60km/h的速度行驶时，从刹车到停车走了20m．
（Ⅰ）当汽车不装货物以36km/h的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？．
（Ⅱ）如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5m以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过ls．参考数据：≈15.52．）
21．已知数列{an}为等差数列，且a1+a3＝2，a2?a5＝7，数列{bn}的前n项和为Sn＝2n+1+n﹣2．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）现剔除数列{an}中与数列{bn}相同项，按照原顺序组成一个新的数列{cn}，其前n项和为Tn，求T34．
22．已知△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足（+cotA）sinB＝．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）当b＝时，求△ABC周长的取值范围．
参考答案
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．某中学共有360名教师，其中一线教师280名，行政人员55人，后勤人员25人，采取分层抽样，拟抽取一个容量为72的样本，则一线教师应该抽取（　　）人．
A．56 B．28 C．11 D．5
【分析】用样本容量乘以一线教师占的比例，即为所求．
解：一线教师占的比例为 ＝，
故应抽取的一线教师人数为 72×＝56，
故选：A．
2．已知集合A＝{x|x2﹣16＜0}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|3＜x＜4} B．{x|﹣4＜x＜4} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣4＜x＜1}
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
解：∵集合A＝{x|x2﹣16＜0}＝{x|﹣4＜x＜4}，
B＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝{x|1＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|1＜x＜3}．
故选：C．
3．已知数列{an}为等差数列，a2＝3，a5＝15，则a11＝（　　）
A．39 B．38 C．35 D．33
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解∵数列{an}为等差数列，a2＝3，a5＝15，
∴15＝3+3d，
∴d＝4，
∴a11＝a2+9d＝3+36＝39，
故选：A．
4．在△ABC中，已知a：b：c＝2：3：4，则△ABC中最大角的余弦值等于（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】根据余弦定理即可求出．
解：△ABC中，a：b：c＝2：3：4，则c是最大边，则角C是最大角，
设a，b，c分别为2k，3k，4k，k≠0，
由余弦定理可得cosC＝＝＝﹣，
故选：D．
5．为了解两个变量x，y的相关性，随机抽取一些数据，并制作了如表，得到的回归方程＝2x+，则的值为（　　）
x 1 2 3 4 5
y 0.4 2.6 4.5 6.4 8.6
A．2 B．1.5 C．﹣2 D．﹣1.5
【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可．
解：由题意可得：＝＝3，＝＝4.5；
因为回归直线经过样本中心，所以4.5＝2×3+，
解得＝﹣1.5．
故选：D．
6．甲、乙两名同学在10次数学测试成绩如茎叶统计图，若甲、乙两人的平均成绩分别为x甲，x乙，请观察茎叶图，下列说法正确的是（　　）
A．x甲＜x乙，甲比乙成绩稳定
B．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定
C．x甲＞x乙，甲比乙成绩稳定
D．x甲＞x乙，乙比甲成绩稳定
【分析】直接利用茎叶图的应用和成绩的分布的应用求出结果．
解：＝75，
＝74．
所以x甲＞x乙，
由于甲的成绩呈现柱状分布且比较集中，乙的成绩呈现分布比较离散，故甲的成绩比较稳定．
故选：C．
7．设a＞＞0，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．ab＞2 B．a+b＞2 C．a＞1且b＞1 D．lnab＞1
【分析】直接liy9ong不等式的性质的应用，赋值法的应用，基本不认识的性质的应用求出结果．
解：①由于a＞＞0，所以ab＞1，故选项A错误．
②由于a＞＞0，所以ab＞1，故，故选项B正确．
③当a＝0.9，b＝2时，满足条件，故选项C错误．
④由于a＞＞0，所以ab＞1，所以lnab＞0，故选项D错误．
故选：B．
8．在△ABC中，a＝2，b＝，A＝，则B＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知利用正弦定理可得sinB＝，结合b＜a，可得B为锐角，可求B＝．
解：∵a＝2，b＝，A＝，
∴由正弦定理，可得sinB＝＝＝，
∵b＜a，B为锐角，
∴B＝．
故选：C．
9．已知数列{an}为等比数列，an＞0，且amam+1am+2＝26m，若p+q＝6，则ap?aq＝（　　）
A．27 B．28 C．29 D．210
【分析】利用等比数列的性质求出am+1，然后转化求解即可．
解：数列{an}为等比数列，an＞0，且amam+1am+2＝26m，
可得am+13＝26m，所以am+1＝22m，
∴an＝22n﹣2，
p+q＝6，
则ap?aq＝22p﹣2?22q﹣2
＝22（p+q）﹣4＝28．
故选：B．
10．已知a，b＞0，且满足a2+ab＝1，则3a+b的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．2
【分析】利用a和b的关系进行代换与基本不等式即可得出．
解：∵a2+ab＝1，
∴．
即3a+b＝＝ ．
当且仅当a＝时取等号．
∴3a+b的最小值为
故选：C．
11．已知数列{an}，且an，an+1是直角三角形中的两个锐角，则数列{an}的2n项和S2n＝（　　）
A． B．（n+1）π C．nπ D．
【分析】由已知可得an+an+1＝，依次將n＝1，n＝3，…n＝2n﹣1代入即可求出答案．
解：由已知可得，an+an+1＝①，
依次將n＝1，n＝3，…n＝2n﹣1代入①式，
所以S2n＝a1+a2+…+a2n＝（）＝，
故选：A．
12．在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段AB长度（如图：粗线条部分）与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段AB的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为β，卫星高度角为α，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用直角三角形的定义的应用求出结果．
解：如图所示：
由于CD⊥BD，
所以在Rt△ACD中，．
在Rt△BCD中，，
所以，解得x＝，
所以y＝．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知等比数列{an}，a3＝8，a5＝16，则a9＝　64　．
【分析】直接根据等比数列的通项公式即可求出．
解：等比数列{an}，a3＝8，a5＝16，设公比为q，
∴16＝8q2，
∴q2＝2，
∴a9＝a5q4＝16×4＝64，
故答案为：64．
14．对任意实数x，不等式x2+2（1+k）x+3+k＞0恒成立，则k的取值范围是　﹣2＜k＜1　．
【分析】对任意实数x，不等式x2+2（1+k）x+3+k＞0恒成立，根据二次函数图象与二次不等式解的关系可知须△＜0，解此不等式即可．
解：∵x2+2（1+k）x+3+k＞0对任意实数x恒成立，x2的系数1＞0
∴△＝4（1+k）2﹣4（3+k）＜0，
解得：﹣2＜k＜1，
∴k的取值范围是：﹣2＜k＜1．
故答案为：﹣2＜k＜1．
15．下列两个变量之间具有相关关系的是　②④　．
①正方形的边长a和面积S；
②一个人的身高h和右手一拃长x；
③真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t；
④一个人的身高h和体重x．
【分析】根据相关关系是表示两个变量之间有一定的关系，但不是确定的关系，判断即可．
解：对于①，正方形的边长a和面积S是函数关系，不是相关关系；
对于②，一般情况下，一个人的身高h和右手一拃长x是正相关关系；
对于③，真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t是函数关系，不是相关关系；
对于④，一般情况下，一个人的身高h和他的体重x是正相关关系．
故选：②④．
16．数据x1，x2，…，x8的均值为，方差为2，现增加一个数据x9后方差不变，则x9的可能取值为　+或﹣　．
【分析】求出+…+＝16，得到＝2，解出即可．
解：由题意[+…+]＝2，
故+…+＝16，
由[+…++]＝2，
得：＝2，解得：x9＝±，
故答案为：+或﹣．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且满足S5＝30，a1＝2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列性质可以得到a3＝6，再根据已知可以得到数列的通项公式；
（Ⅱ）根据已知可以得到bn＝﹣，由此可得Tn．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
由等差数列的性质可得S5＝5a3＝30，则a3＝6，
则a3﹣a4＝2d，即d＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n（n∈N*）；
（Ⅱ）Sn＝＝n2+n，
bn＝＝＝﹣，
Tn＝b1+b2+…+bn＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣＝．
18．在△ABC中，BC边的中线为AD，AB＝4，B＝，S△ABD＝．
（Ⅰ）求BC；
（Ⅱ）求sin∠BAC的值．
【分析】（Ⅰ）根据正弦定理即可求出；
（2）根据余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出即可．
解：（Ⅰ）∵BC边的中线为AD，
∴BD＝BC，
又S△ABD＝＝AB?BD?sinB＝×4××sin＝BC，
∴BC＝3；
（Ⅱ）由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cosA＝16+9﹣2×4×3×＝13，
∴AC＝，
由正弦定理可得＝，
∴sin∠BAC＝＝．
19．某工厂现有甲、乙两条生产线生产同一种产品，现在需要对这两条生产线生产出来的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80，100]的为优等品；指标在区间[60，80）的为合格品，现分别从这两条生产线生产出来的产品，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图分别如图：
（Ⅰ）求甲生产线生产出产品指标的平均数和中位数（视每组的中点为该组平均指标）；
（Ⅱ）从这两条生产线生产出来的产品，甲乙两条生产线生产出来的优等品每件可获利润分别为40元和35元；生产出来的合格品每件可获利润分别为10元和5元，用样本估计总体比较在甲、乙两条生产线生产出来的产品获得的利润更多（两生产线生产出来的产品数量相同）？
【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能求甲生产线生产出产品指标的平均数和中位数．
（Ⅱ）用Q1，Q2分别表示甲乙两条生产线生产出来的每件产品所获取的利润，分别求出则Q1，Q2，从而能求出乙条生产线生产出来的产品获得的利润更多．
解：（Ⅰ）甲生产线生产出产品指标的平均数：
67.5×0.05+72.5×0.15+77.5×0.2+82.5×0.3+87.5×0.15+92.5×0.15＝81.5．
设中位数为x，则0.01×5+0.03×5+5×0.04+（x﹣80）×0.06＝0.5，
解得x＝81.67．
（Ⅱ）用Q1，Q2分别表示甲乙两条生产线生产出来的每件产品所获取的利润，
则Q1＝10×0.4+40×0.6＝28，
Q2＝5×0.2+35×0.8＝29，
∴乙条生产线生产出来的产品获得的利润更多．
20．已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（m）与速度（km/h）的平方和汽车总质量积成正比关系，设某辆卡车不装货物以60km/h的速度行驶时，从刹车到停车走了20m．
（Ⅰ）当汽车不装货物以36km/h的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？．
（Ⅱ）如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5m以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过ls．参考数据：≈15.52．）
【分析】（Ⅰ）设从刹车到停车滑行的距离为x（m），时速为v（km/h），卡车总质量为M，比例常数为k，然后根据条件求出k的值，得到函数的解析式．然后代入36km/h的速度行驶，汽车从刹车到停车所滑行的距离．
（Ⅱ）再根据滑行距离＜到障碍物距离建立不等关系，解之即可求出所求最大限制时速．
解：（Ⅰ）滑行的距离为x（m），汽车总质量为M，时速为V（km/h），比例常数为k，
根据题意可得x＝kmv2，将v＝59，x＝20代入可得kM＝＝，所以x＝，
当v＝36时，代入上式，可得x＝7.2m．
（Ⅱ）卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过ls．行驶的路程为v＝（m），
由20﹣，可得，
即v2+25v﹣1350≤0，可得，
因为v＞0，所以0＜v≤26.3．
所以最大限制时速应是：26.3km/h．
21．已知数列{an}为等差数列，且a1+a3＝2，a2?a5＝7，数列{bn}的前n项和为Sn＝2n+1+n﹣2．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）现剔除数列{an}中与数列{bn}相同项，按照原顺序组成一个新的数列{cn}，其前n项和为Tn，求T34．
【分析】（Ⅰ）等差数列性质a1+a3＝2a2，算得a2＝1，a5＝7，再根据已知得出数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）分析得到数列中相同的项一共6个，再根据已知求出T34．
解：（Ⅰ）由等差数列性质a1+a3＝2a2，算得a2＝1，a5＝7，则等差数列的公差d＝＝2，
故an＝a2+（n﹣2）d＝1+2（n﹣2）＝2n﹣3，
当n≥2，bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2n+1＝2n+1，
当n＝1，b1＝S1＝22+1﹣2＝3符合上式，
故bn＝2n+1．
（Ⅱ）在数列{an}{bn}中有a3＝b1＝3，a4＝b2＝5，a6＝b3＝9，a10＝b4＝17，a18＝b5＝33，a34＝b6＝65，
由题意结合数列特征排列得，数列{cn}的前34项是由数列{an}前40项，剔除数列{bn}当中的前6项所得．
T34＝（a1+a2+…+a40）﹣（b1+b2+…+b6）＝（﹣1+2×40﹣3）×40÷2﹣（27+6﹣2）＝1388．
22．已知△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足（+cotA）sinB＝．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）当b＝时，求△ABC周长的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，结合sinB≠0，根据两角和的正弦函数公式可求得sin（A+）＝1，由已知可求范围A+∈（，），进而可求A的值．
（Ⅱ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长l＝cot+，由∈（0，），利用三角函数的图象和性质可得cot∈（，+∞），进而可求周长的取值范围．
解：（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理可得：（+cotA）sinB＝，
因为B∈（0，π），sinB≠0，
所以可得sinA+cosA＝2，可得sin（A+）＝1，
由于A∈（0，π），可得A+∈（，），
所以A+＝，可得A＝；
（Ⅱ）由正弦定理，可得a＝，
又，可得＝，可得c＝＝＝＝cotB+，
可得周长l＝×+＝+，即l＝cot+，
由∈（0，），可得tan∈（0，），cot∈（，+∞），
所以周长的取值范围为（2，+∞）．