中考冲刺：新定义新概念问题探究
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中考冲刺：新定义新概念问题探究
1． 专题诠释
新定义新概念型试题作为新课标所引来的一种题型，往往设计新颖别致，颇具魅力，成为中考试题中的一朵朵奇葩。它的特点是给出新定义，再提出新问题，通过实验、探究、猜想，接收、加工和利用信息的能力，让考生在新概念下解决新问题；“新概念”阅读题在考查学生观察、阅读、理解能力的同时，又给学生创造了一个个探索、创新与应用数学的机会，更加注重对数学思想方法、应用能力考查。很好地考查学生适应新情况，探究新方法，解决新问题的学习潜能与创新精神。
2． 解题策略和解法精讲
这类题以初中生已学知识为出发点，通过类比、引申、拓展给出新的数学概念（新的数学公式、新的数学运算、新的数学法则），考生从未接触过，要求现学现用，其目的是考查学生的阅读理解能力、迁移能力和创新能力，旨在培养学生自主学习、主动探究的学习方式。解答这类题目的关键是读懂题意，确定探索方向，寻找合理的解题方法。
解这类试题的关键是理解定义的内涵和外延，解题时运用已掌握的知识和方法理解“新定义”，做到“化生为熟”，现学现用。
这部分考题由于问题的形式不同于常规题，因此，在审题方式、解题过程等方面与常规题有所区别，应注意加强针对性的练习。
3． 考点精讲
考点一：定义一种新数
例1．（2010安徽蚌埠）记=，令，称为，，……，这列数的“理想数”。已知，，……，的“理想数”为2004，那么8，，，……，的“理想数”为
A．200４ B．2006 C．2008 D．2010
【分析】抛开对“理想数”的本质理解，解题的关键是抓住=与之间的关系，找到突破口。
【解答】C
【评注】新概念的解释蕴含在对数量关系的描述中，只有对题目中各式的关系有透彻的理解，才能顺利作答。
例2．（2010浙江杭州）定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 – m , –1– m]
的函数的一些结论：
① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)；
② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③ 当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小；
④ 当m 0时，函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④
【分析】根据题意，当m = – 3时，特征数为[-6,4,2]，代入定点坐标可验证①的正确性。当m > 0与m < 0时，不难得到特征数的正负情况，进而据根与系数的关系搞定②③。同理，当m 0时，得函数图象经过同一个点。
【解答】B
【评注】二次函数解析式为初中知识的核心，根与系数的关系又能深度考查学生对知识的把握程度，题目设问角度不同，体现了层次性，而特征数这个新概念的出现，给题目传统意味增添了一抹亮色。
考点二：定义一种新的运算
例1．（2010浙江资阳）阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a b = n，可以使：（a+c） b= n+c，a （b+c）=n－2c，如果1 1=2，那么2010 2010 = ．
【分析】由题意可得：2010 2010=（1+2009） 2010
=1 2010+2009
=1 （1+2009）+2009
=1 1-2×2009+2009
=2-2009
=-2007．
【解答】2007
【评注】弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算、方程的运用，是解题的钥匙。
例2．（2010四川 巴中）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）=0，f(2) = 1，f（3）=2，f（4）= 3，……
（2）……
利用以上规律计算：
【分析】观察式子，分析运算结果与f（n）的本质关系，不难得出
2010-2009=1
【解答】1
【评注】这道题引入了高中阶段的数学符号f，新包装，内核知识仍是初中阶段最基础的计算。很好地考查学生适应新情况，用已有经验解决新问题的能力。
考点三：定义一种新的法则
例1．（2010四川凉山）先阅读下列材料，然后解答问题：
材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为。
一般地，从个不同的元素中选取个元素的排列数记作。
（≤）
例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：。
材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为 。
LINK Word.Document.8 "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\复件 洋思中学2011年中考体验性考试数学试卷.doc" OLE_LINK10 \a \r \* MERGEFORMAT 一般地，从个不同的元素中选取个元素的排列数记作。
（≤）
例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：。
问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？
（2）从7个人中选取4人，排成一列，有多少种不同的排法？
【分析】根据所给信息,得到基本公式，辨别（1）和（2）哪个是排列，哪个是组合是正确解题的基础。
【解答】
【评注】高中阶段排列组合的知识提前呈现，因为是最基本的东西，考生并不难理解。考查学生观察、阅读、理解能力的同时，又给学生创造了一个个探索、创新与应用数学的机会，解析解决这类新概念题型的关键是读懂、理解新运算的规定。
例2．(2010年江苏镇江) 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为
即：当n为非负整数时，如果则＝n
如：<0>＝<0.48>＝0，<0.64>＝<1.493>＝1，<2>＝2，<3.5>＝<4.12>＝4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①<π>＝ （π为圆周率）；
②如果<2x－1>＝3，则实数x的取值范围为 ；
（2）①当；
②举例说明不恒成立；
（3）求满足的所有非负实数x的值；
（4）设n为常数，且为正整数，函数y＝x2－x＋的自变量x在n≤x≤n＋1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a；满足的所有整数k的个数记为b. 求证：a＝b＝2n.
【分析】（1）π≈3，所以精确到个位是3；根据定义得3-≤2x－1＜3+，解这个不等式组，可求得x的取值范围；（2）①分别表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式；②举出反例说明即可，如稍超过0.5的两个数相加；（3）为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k-和k+之间，包括kx-，不包括k+，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值；（4）易得二次函数的对称轴，那么可求得二次函数的函数值在相应的自变量的范围内取值，进而求得相应的a的个数；利用所给关系式易得的整数个数为2n，由此得证．
【解答】（1）①3；② ；（2）①证明：设＝n，则n－≤x＜n＋，n为非负整数；又(n＋m)－≤x＋m＜(n＋m)＋，且m＋n为非负整数，
∴＝n＋m＝m＋
②举反例：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，
∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>，∴＋＝ 不一定成立．
（3）∵x≥0，为整数，设＝k，k为整数
则x＝，∴＜＞＝k，∴
∵0≤k≤2，∴k＝0，1，2 ∴x＝0，
（4）∵函数y＝x2－x＋＝(x－)2，n为整数，
当n≤x＜n＋1时，y随x的增大而增大，
∴(n－)2≤y＜(n＋1－)2即(n－)2≤y＜(n＋)2， ①
∴n2－n＋≤y＜n2 ＋n＋，∵y为整数
∴y＝ n2－n＋1，n2－n＋2，n2－n＋3，…，n2－n＋2n，共2n个y.
∴a ＝2n ② （8分）
则 ③
比较①，②，③得：a＝b＝2n
【评注】这是一道创新题，要求我们读懂定义，能用定义解决简单的实际问题，然后能更进一步地结合已经学过的知识进行拓展，是一道不易的压轴题，要在短时间解决此问题，要求平时的学习要有一定的创新思维，特别是自学习能力的培养显得尤为重要．就这题而言，对不等式组，及不等式组的整数解的应用要掌握得非常熟练，对二次函数式的变形能力要求也较高．
考点四：定义一种新的图形
例1．（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,
叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与
x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.
（1）求函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y＝x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.
【分析】由直线解析式y＝x＋3，分别令x与y=0，得到直线与两坐标轴的交点坐标，直角边一看便知，斜边5也是不难看出的，这是一组典型的勾股数。坐标三角形的三条边长分别为3,4,5。直线y＝x＋b相关问题的解决，仍立足于交点坐标，待定系数在进一步的周长限定中，通过建立一元一次方程得解。
【解答】
解：(1) ∵ 直线y＝x＋3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3），
∴函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.
(2) 直线y＝x＋b与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b），
当b>0时,，得b =4，此时,坐标三角形面积为；
当b<0时，，得b =－4，此时,坐标三角形面积为.
综上,当函数y＝x＋b的坐标三角形周长为16时,面积为．
【评注】本题涉及一次函数与三角形的基础知识，解答这道题目的关键不是对“坐标三角形”这个新概念的理解，而是从坐标系与解析式中寻求“形”与“数”的关联，在数形结合中找到对应。
例2．（2010湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.
一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、．小明在探究线段与 的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：
⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；
⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若 相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.
【分析】由△≌△，证得。条件变化后全等弱化为相似，通过对应边的比例关系求解。
【解答】
⑴解: 在方形环中，
∵∥
∴
∴△≌△
∴ ……………………………5分
⑵解法一：∵
∴∽ ……………………………8分
∴
∵
∴ HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 （或）……………………………10分
①当时，tan=1,则
②当时，
则 （或） ……………………………12分
解法二：在方形环中，
又∵
∴∥
∴
在与中，
HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3
即 （或） ……………………………10分
①当时，
②当时，
则 （或） ……………………………12分
【评注】弄清新概念的意义，把新概念图形分解转化，化为我们熟悉的图形，运用熟悉的知识加以解决.
四．真题演练
1.（2010年湖北黄石中考题）若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23＋24＋25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为 .
2．（2010年山东莱芜中考题）已知：，，，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算 ．
3.（2010年湖南常德中考题）如图3，一个数表有7行7列，设表示第i行第j列上的数(其中i=1,2,3,…,7,j=1,2,3,…,7). 例如：第5行第3列上的数.
则（1）= ；
（2）此数表中的四个数满足
= .
4.（2010年安徽蚌埠中考题）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。
如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同
的向量:、、、、 、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）。
⑴ 作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
⑵ 作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
…
共n个正方形
⑶ 作个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
图
图三
⑷ 作个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为，试求的值。
【答案】
1. 24
2. 210
3. （1）0 （2）0
4. ⑴
⑵
⑶ =34
⑷ =2（）+4（）
第二部分 练习部分
1.（2010 年广东珠海中考题）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数
（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2,
(1011)2换算成十进制数应为：
按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________.
2.（2010年贵州铜仁中考题）定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy－1，则(2@3)@4＝__ __．
3.（2010年安徽蚌埠中考题）若表示不超过的最大整数（如等），则
_________________。
4.（2010 年山东东营中考题）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )
(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分
(C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行
5.（2010年江苏常州中考题）小明在研究苏教版《有趣的坐标系》后，得到启发，针对正六边形OABCDE，自己设计了一个坐标系如图，该坐标系以O为原点，直线OA为轴，直线OE为轴，以正六边形OABCDE的边长为一个单位长。坐标系中的任意一点P用一有序实数对（）来表示，我们称这个有序实数对（）为点P的坐标。坐标系中点的坐标的确定方法如下：
（ⅰ）轴上点M的坐标为（），其中为M点在轴上表示的实数；
（ⅱ）轴上点N的坐标为（），其中为N点在）轴上表示的实数；
（ⅲ）不在、轴上的点Q的坐标为（），其中为过点Q且与轴平行的直线与轴的交点在轴上表示的实数，为过点Q且与轴平行的直线与轴的交点在轴上表示的实数。
则：（1）分别写出点A、B、C的坐标
（2）标出点M（2，3）的位置；
（3）若点为射线OD上任一点，求与所满足的关系式。
6.（2010年 浙江台州中考题）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（）=1．
若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为．
解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．
（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”
{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”
{3，1}平移，最后的位置还是点B吗 在图1中画出四边形OABC.
②证明四边形OABC是平行四边形.
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
7.（2010 年江苏连云港中考题）（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ABE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
8.（2010年浙江宁波中考题）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 ▲
长方体 8 6 12
正八面体 ▲ 8 12
正十二面体 20 12 30
(1) 根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 ▲ ；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ▲ ；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱. 设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.
【答案】
1.9
2.19
3.2000
4.B
5.
（1）由图示可知各点的坐标为：A（1，0），B（2，1），C（2，2）；（2）如图：
（3）设射线OD上点K的横、纵坐标满足的关系式为y=kx；
由图知：D（1，2），则：k=2，即x与y所满足的关系式为：y=2x．
6.
（1）{3，1}+{1，2}={4，3}．
{1，2}+{3，1}={4，3}．
（2）①画图
最后的位置仍是B．
② 证明：由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2）
∴OC=AB==，OA=BC==，
∴四边形OABC是平行四边形．
（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0, 0}．
7.
8.
解：(1) 6， 6 ,
(2)20
(3)这个多面体的面数为，棱数为条，
根据可得 ，
∴.
C
B
A
x
1
1
O
y
四面体 长方体 正八面体 正十二面体
图2
DQFEBAD
CFEBAD
BAD
AD
图1
DQFEBAD
CFEBAD
EBAD
BAD
AD
x
x
1
1
图1
O
y
P（2, 3）
Q（5, 5）
图2
O
y
（第22题）
图四
共n个正方形相连
共
m
个正方形相连
图二
图一
1 2 3 4 3 2 1
2 3 4 5 4 3 2
3 4 5 6 5 4 3
4 5 6 7 6 5 4
5 6 7 8 7 6 5
6 7 8 9 8 7 6
7 8 9 10 9 8 7
图3
第21题图
x
B
O
y
A
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中考冲刺：新定义新概念问题探究
1． 专题诠释
新定义新概念型试题作为新课标所引来的一种题型，往往设计新颖别致，颇具魅力，成为中考试题中的一朵朵奇葩。它的特点是给出新定义，再提出新问题，通过实验、探究、猜想，接收、加工和利用信息的能力，让考生在新概念下解决新问题；“新概念”阅读题在考查学生观察、阅读、理解能力的同时，又给学生创造了一个个探索、创新与应用数学的机会，更加注重对数学思想方法、应用能力考查。很好地考查学生适应新情况，探究新方法，解决新问题的学习潜能与创新精神。
2． 解题策略和解法精讲
这类题以初中生已学知识为出发点，通过类比、引申、拓展给出新的数学概念（新的数学公式、新的数学运算、新的数学法则），考生从未接触过，要求现学现用，其目的是考查学生的阅读理解能力、迁移能力和创新能力，旨在培养学生自主学习、主动探究的学习方式。解答这类题目的关键是读懂题意，确定探索方向，寻找合理的解题方法。
解这类试题的关键是理解定义的内涵和外延，解题时运用已掌握的知识和方法理解“新定义”，做到“化生为熟”，现学现用。
这部分考题由于问题的形式不同于常规题，因此，在审题方式、解题过程等方面与常规题有所区别，应注意加强针对性的练习。
3． 考点精讲
考点一：定义一种新数
例1．（2010安徽蚌埠）记=，令，称为，，……，这列数的“理想数”。已知，，……，的“理想数”为2004，那么8，，，……，的“理想数”为
A．200４ B．2006 C．2008 D．2010
【分析】抛开对“理想数”的本质理解，解题的关键是抓住=与之间的关系，找到突破口。
【解答】C
【评注】新概念的解释蕴含在对数量关系的描述中，只有对题目中各式的关系有透彻的理解，才能顺利作答。
例2．（2010浙江杭州）定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 – m , –1– m]
的函数的一些结论：
① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)；
② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③ 当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小；
④ 当m 0时，函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④
【分析】根据题意，当m = – 3时，特征数为[-6,4,2]，代入定点坐标可验证①的正确性。当m > 0与m < 0时，不难得到特征数的正负情况，进而据根与系数的关系搞定②③。同理，当m 0时，得函数图象经过同一个点。
【解答】B
【评注】二次函数解析式为初中知识的核心，根与系数的关系又能深度考查学生对知识的把握程度，题目设问角度不同，体现了层次性，而特征数这个新概念的出现，给题目传统意味增添了一抹亮色。
考点二：定义一种新的运算
例1．（2010浙江资阳）阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a b = n，可以使：（a+c） b= n+c，a （b+c）=n－2c，如果1 1=2，那么2010 2010 = ．
【分析】由题意可得：2010 2010=（1+2009） 2010
=1 2010+2009
=1 （1+2009）+2009
=1 1-2×2009+2009
=2-2009
=-2007．
【解答】2007
【评注】弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算、方程的运用，是解题的钥匙。
例2．（2010四川 巴中）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）=0，f(2) = 1，f（3）=2，f（4）= 3，……
（2）……
利用以上规律计算：
【分析】观察式子，分析运算结果与f（n）的本质关系，不难得出
2010-2009=1
【解答】1
【评注】这道题引入了高中阶段的数学符号f，新包装，内核知识仍是初中阶段最基础的计算。很好地考查学生适应新情况，用已有经验解决新问题的能力。
考点三：定义一种新的法则
例1．（2010四川凉山）先阅读下列材料，然后解答问题：
材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为。
一般地，从个不同的元素中选取个元素的排列数记作。
（≤）
例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：。
材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为 。
LINK Word.Document.8 "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\复件 洋思中学2011年中考体验性考试数学试卷.doc" OLE_LINK10 \a \r \* MERGEFORMAT 一般地，从个不同的元素中选取个元素的排列数记作。
（≤）
例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：。
问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？
（2）从7个人中选取4人，排成一列，有多少种不同的排法？
【分析】根据所给信息,得到基本公式，辨别（1）和（2）哪个是排列，哪个是组合是正确解题的基础。
【解答】
【评注】高中阶段排列组合的知识提前呈现，因为是最基本的东西，考生并不难理解。考查学生观察、阅读、理解能力的同时，又给学生创造了一个个探索、创新与应用数学的机会，解析解决这类新概念题型的关键是读懂、理解新运算的规定。
例2．(2010年江苏镇江) 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为
即：当n为非负整数时，如果则
如：<0>＝<0.48>＝0，<0.64>＝<1.493>＝1，<2>＝2，<3.5>＝<4.12>＝4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①<π>＝ （π为圆周率）；
②如果<2x－1>＝3，则实数x的取值范围为 ；
（2）①当；
②举例说明不恒成立；
（3）求满足的所有非负实数x的值；
（4）设n为常数，且为正整数，函数y＝x2－x＋的自变量x在n≤x≤n＋1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a；满足的所有整数k的个数记为b. 求证：a＝b＝2n.
【分析】（1）π≈3，所以精确到个位是3；根据定义得3-≤2x－1＜3+，解这个不等式组，可求得x的取值范围；（2）①分别表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式；②举出反例说明即可，如稍超过0.5的两个数相加；（3）为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k-和k+之间，包括kx-，不包括k+，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值；（4）易得二次函数的对称轴，那么可求得二次函数的函数值在相应的自变量的范围内取值，进而求得相应的a的个数；利用所给关系式易得的整数个数为2n，由此得证．
【解答】（1）①3；② ；（2）①证明：设
∴
②举反例：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，
∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>，∴
（3）∵x≥0，为整数，设＝k，k为整数
则x＝，∴＜＞＝k，∴
∵0≤k≤2，∴k＝0，1，2 ∴x＝0，
（4）∵函数y＝x2－x＋＝(x－)2，n为整数，
当n≤x＜n＋1时，y随x的增大而增大，
∴(n－)2≤y＜(n＋1－)2即(n－)2≤y＜(n＋)2， ①
∴n2－n＋≤y＜n2 ＋n＋，∵y为整数
∴y＝ n2－n＋1，n2－n＋2，n2－n＋3，…，n2－n＋2n，共2n个y.
∴a ＝2n ② （8分）
则 ③
比较①，②，③得：a＝b＝2n
【评注】这是一道创新题，要求我们读懂定义，能用定义解决简单的实际问题，然后能更进一步地结合已经学过的知识进行拓展，是一道不易的压轴题，要在短时间解决此问题，要求平时的学习要有一定的创新思维，特别是自学习能力的培养显得尤为重要．就这题而言，对不等式组，及不等式组的整数解的应用要掌握得非常熟练，对二次函数式的变形能力要求也较高．
考点四：定义一种新的图形
例1．（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,
叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与
x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.
（1）求函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y＝x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.
【分析】由直线解析式y＝x＋3，分别令x与y=0，得到直线与两坐标轴的交点坐标，直角边一看便知，斜边5也是不难看出的，这是一组典型的勾股数。坐标三角形的三条边长分别为3,4,5。直线y＝x＋b相关问题的解决，仍立足于交点坐标，待定系数在进一步的周长限定中，通过建立一元一次方程得解。
【解答】
解：(1) ∵ 直线y＝x＋3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3），
∴函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.
(2) 直线y＝x＋b与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b），
当b>0时,，得b =4，此时,坐标三角形面积为；
当b<0时，，得b =－4，此时,坐标三角形面积为.
综上,当函数y＝x＋b的坐标三角形周长为16时,面积为．
【评注】本题涉及一次函数与三角形的基础知识，解答这道题目的关键不是对“坐标三角形”这个新概念的理解，而是从坐标系与解析式中寻求“形”与“数”的关联，在数形结合中找到对应。
例2．（2010湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.
一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、．小明在探究线段与 的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：
⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图），直线l分别交、、、于、、、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；
⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图），l分别交、、、于、、、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若 相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）.
【分析】由△≌△，证得。条件变化后全等弱化为相似，通过对应边的比例关系求解。
【解答】
⑴解: 在方形环中，
∵∥
∴
∴△≌△
∴ ……………………………5分
⑵解法一：∵
∴∽ ……………………………8分
∴
∵
∴ HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 （或）……………………………10分
①当时，tan=1,则
②当时，
则 （或） ……………………………12分
解法二：在方形环中，
又∵
∴∥
∴
在与中，
HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3
即 （或） ……………………………10分
①当时，
②当时，
则 （或） ……………………………12分
【评注】弄清新概念的意义，把新概念图形分解转化，化为我们熟悉的图形，运用熟悉的知识加以解决.
四．真题演练
1.（2010年湖北黄石中考题）若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23＋24＋25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为 .
2．（2010年山东莱芜中考题）已知：，，，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算 ．
3.（2010年湖南常德中考题）如图3，一个数表有7行7列，设表示第i行第j列上的数(其中i=1,2,3,…,7,j=1,2,3,…,7). 例如：第5行第3列上的数.
则（1）= ；
（2）此数表中的四个数满足
= .
4.（2010年安徽蚌埠中考题）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。
如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同
的向量:、、、、 、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）。
⑴ 作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
⑵ 作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
…
共n个正方形
⑶ 作个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
图
图三
⑷ 作个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为，试求的值。
【答案】
1. 24
2. 210
3. （1）0 （2）0
4. ⑴
⑵
⑶ =34
⑷ =2（）+4（）
第二部分 练习部分
1.（2010 年广东珠海中考题）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数
（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2,
(1011)2换算成十进制数应为：
按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________.
2.（2010年贵州铜仁中考题）定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy－1，则(2@3)@4＝__ __．
3.（2010年安徽蚌埠中考题）若表示不超过的最大整数（如等），则
_________________。
4.（2010 年山东东营中考题）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )
(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分
(C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行
5.（2010年江苏常州中考题）小明在研究苏教版《有趣的坐标系》后，得到启发，针对正六边形OABCDE，自己设计了一个坐标系如图，该坐标系以O为原点，直线OA为轴，直线OE为轴，以正六边形OABCDE的边长为一个单位长。坐标系中的任意一点P用一有序实数对（）来表示，我们称这个有序实数对（）为点P的坐标。坐标系中点的坐标的确定方法如下：
（ⅰ）轴上点M的坐标为（），其中为M点在轴上表示的实数；
（ⅱ）轴上点N的坐标为（），其中为N点在）轴上表示的实数；
（ⅲ）不在、轴上的点Q的坐标为（），其中为过点Q且与轴平行的直线与轴的交点在轴上表示的实数，为过点Q且与轴平行的直线与轴的交点在轴上表示的实数。
则：（1）分别写出点A、B、C的坐标
（2）标出点M（2，3）的位置；
（3）若点为射线OD上任一点，求与所满足的关系式。
6.（2010年 浙江台州中考题）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（）=1．
若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为．
解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．
（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”
{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”
{3，1}平移，最后的位置还是点B吗 在图1中画出四边形OABC.
②证明四边形OABC是平行四边形.
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
7.（2010 年江苏连云港中考题）（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ABE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
8.（2010年浙江宁波中考题）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 ▲
长方体 8 6 12
正八面体 ▲ 8 12
正十二面体 20 12 30
(1) 根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 ▲ ；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ▲ ；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱. 设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.
【答案】
1.9
2.19
3.2000
4.B
5.
（1）由图示可知各点的坐标为：A（1，0），B（2，1），C（2，2）；（2）如图：
（3）设射线OD上点K的横、纵坐标满足的关系式为y=kx；
由图知：D（1，2），则：k=2，即x与y所满足的关系式为：y=2x．
6.
（1）{3，1}+{1，2}={4，3}．
{1，2}+{3，1}={4，3}．
（2）①画图
最后的位置仍是B．
② 证明：由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2）
∴OC=AB==，OA=BC==，
∴四边形OABC是平行四边形．
（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0, 0}．
7.
8.
解：(1) 6， 6 ,
(2)20
(3)这个多面体的面数为，棱数为条，
根据可得 ，
∴.
C
B
A
x
1
1
O
y
四面体 长方体 正八面体 正十二面体
图2
DQFEBAD
CFEBAD
BAD
AD
图1
DQFEBAD
CFEBAD
EBAD
BAD
AD
x
x
1
1
图1
O
y
P（2, 3）
Q（5, 5）
图2
O
y
（第22题）
图四
共n个正方形相连
共
m
个正方形相连
图二
图一
1 2 3 4 3 2 1
2 3 4 5 4 3 2
3 4 5 6 5 4 3
4 5 6 7 6 5 4
5 6 7 8 7 6 5
6 7 8 9 8 7 6
7 8 9 10 9 8 7
图3
第21题图
x
B
O
y
A
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 12 页） 版权所有@21世纪教育网
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