12.3 角的平分线的性质课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
人教版
八年级数学上
12.3
角平分线的性质
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质和判定
定理.（难点）
2.能运用角的平分线性质和判定解决简单的几何问题.
（重点）
情境导入
思考1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
思考2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方
法得到木板、钢板的角平分线吗？
不能。
合作探究---作一个角的平分线
思考3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
B
C
(E)
D
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴
△ACD≌
△ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB
∴AC平分∠DAB
合作探究---作一个角的平分线
思考4：如果没有此仪器，我们用数学直尺、圆规作图工具，根据该仪器的设计思路，能作出一个角的平分线吗？
A
B
O
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
合作探究---作一个角的平分线
A
B
M
N
C
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
合作探究---角平分线的性质
1.
测量验证：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2.
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________
PD
PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
如图：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
合作探究---角平分线的性质
已知：如图，
∠AOC=
∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴
∠PDO=
∠PEO=90
°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=
∠PEO，
∠AOC=
∠BOC，
OP=
OP，
∴
△PDO
≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
3.推理证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
合作探究---角平分线的性质
归纳总结：
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
合作探究---角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP
是∠AOB的平分线，
∴PD
=
PE
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
角的平分线的性质：
典例精析
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,
DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明：
∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB,
DF⊥AC，
∴
DE=DF,
∠DEB=∠DFC=90
°.
在Rt△BDE
和
Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴
Rt△BDE
≌
Rt△CDF(HL).
∴
EB=FC.
小试牛刀
A
B
C
P
（2）求△APB的面积.
D
（3）求?PDB的周长.
·AB·PD
=28.
由垂直平分线的性质，
可知，PD=PC=4，
=
1、如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,
AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.
4
合作探究---角平分线的判定
思考：我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
猜测：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
合作探究---角平分线的性质
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB
角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO
中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD=
PE（已知
），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（
HL）.
∴∠AOP=∠BOP
合作探究---角平分线的判定
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P
在∠AOB的平分线上.
典例精析
例2：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm
,D即为所求.
O
知识点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
典例精析
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理，PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
例3、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
D
P
M
N
A
B
C
F
E
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
想一想，点p在角A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
小试牛刀
1、如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
A
小试牛刀
2.
如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
综合演练
1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC=6cm，则BD+DE的和为（　　）
A.
5cm
B.
6cm
C.
7cm
D.
8cm
B
2、如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（
）
A.
全部正确
B.
仅①和②正确
C.
仅①正确
D.
仅①和③正确
?
B
综合演练
3.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
综合演练
4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，
　　　　FG⊥AE，
FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
　　　　FH⊥AD，
FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
综合演练
5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与
∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵
AD∥BC，
∴
MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间
的距离.
∵
AP平分∠BAD,
PM⊥AD
,
PE⊥AB，
∴
PM=
PE.同理，
PN=
PE.
∴
PM=
PN=
PE=3.∴
MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
学以致用
如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
课堂小结
本节课你收获了什么知识？
1、尺规作图，作已知角的角平分线的步骤是什么？
2、角平分线的性质是什么？如何用几何语言来表示？判定呢？
3、角平分线的性质和判定的作用是什么？
课后作业
课本教材第51页：1、3、5题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php