2.1.1平面
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(共21张PPT)
§2.1.1 平 面(1)
1、平面的概念
桌面
黑板面
平静的水面
平面的形象
几何里的平面是无限延展的.
2、平面的画法
常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形.
α
β
如果一个平面被另一个平面挡住，
则这遮挡的部分用虚线画出来.
A
B
C
D
α
3、平面的表示法
①平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表示
如平面α、平面β、平面γ；
②用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母
来表示，如平面ABCD或平面AC、平面BD.
４、点、直线与平面的关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.
A
B
α
点A在平面α内，记作A∈α
点B在平面α外，记作B α
B
·
·
A
·
.
.
m
直线 在平面α内表示为
直线 不在平面α内表示为
判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 ，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界； ( )
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2； ( )
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
练习
如果直线 与平面α有一个公共点，直线 是否在平面α内？如果直线 与平面α有两个公共点呢？
文字语言
图形语言
符号语言
m
B
·
错误
·
A
·
.
.
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内.
为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？
A
B
C
文字语言
图形语言
符号语言
公理2 过不在一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
α
·A
·B
·C
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
文字语言
图形语言
符号语言
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
α
β
·
P
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内.
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共 直线.
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面.
5、平面的基本性质
经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面
经过不共线的三点有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有一个平面
经过两条平行直线，有且只有一个平面
②四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？
为什么？
练习
①三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？
③用符号表示下列语句，并画出图形：
⑴点A在平面α内，点B在平面α外；
⑵直线 在平面α内，直线m不在平面α内；
⑶平面α和β相交于直线 ；
⑷直线 经过平面α外一点P和平面α内一点Q ；
⑸直线 是平面α和β的交线，直线m在平面α内,
和 相交于点P.
证明三线共面,可先证其中两条直线共面,再证第三条直线也在此平面内.
例1.一条直线和两条平行线都相交,求证:这三条直线共面.
α
B
A
a
b
l
已知:如图,a∥b,l∩ a =A, l ∩b =B
求证:a,b,l三线共面
证明:∵ a∥b,由公理2推论3有
直线a,b确定一个平面α
∴ a,b,l三线共面于α
又A∈a,a α,∴ A∈ α,同理B∈α,
由公理1有:l α
例2.已知:如图D,E分别是ΔABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
α
A
B
C
D
E
P
(2)求证:D,E,P三点共线.
例3.如图,P,Q是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC的中点,过P,Q,D1作一个平面,画出此平面截正方体的截面.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
（一） 操 作 方 法
1. 平面的特点 4. 三种语言转换
2. 平面的画法 5. 三公理三推论
3. 平面的表示方法
课堂小结
图形 符号语言 文字语言(读法)
点A在直线a上
点A不在直线a上
点A在平面α内
点A不在平面α内
直线a、b交于点A
总结：点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示：
（2）集合关系：
点A、
线a、
面
图形 符号语言 文字语言(读法)
直线a在平面 内
直线a与平面
无公共点
直线a与平面
交于点A
平面 与
相交于直线
§2.1.1 平 面(1)
1、平面的概念
桌面
黑板面
平静的水面
平面的形象
几何里的平面是无限延展的.
2、平面的画法
常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形.
α
β
如果一个平面被另一个平面挡住，
则这遮挡的部分用虚线画出来.
A
B
C
D
α
3、平面的表示法
①平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表示
如平面α、平面β、平面γ；
②用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母
来表示，如平面ABCD或平面AC、平面BD.
４、点、直线与平面的关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.
A
B
α
点A在平面α内，记作A∈α
点B在平面α外，记作B α
B
·
·
A
·
.
.
m
直线 在平面α内表示为
直线 不在平面α内表示为
判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 ，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界； ( )
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2； ( )
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
练习
如果直线 与平面α有一个公共点，直线 是否在平面α内？如果直线 与平面α有两个公共点呢？
文字语言
图形语言
符号语言
m
B
·
错误
·
A
·
.
.
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内.
为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？
A
B
C
文字语言
图形语言
符号语言
公理2 过不在一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
α
·A
·B
·C
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
文字语言
图形语言
符号语言
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
α
β
·
P
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内.
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共 直线.
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面.
5、平面的基本性质
经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面
经过不共线的三点有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有一个平面
经过两条平行直线，有且只有一个平面
②四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？
为什么？
练习
①三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？
③用符号表示下列语句，并画出图形：
⑴点A在平面α内，点B在平面α外；
⑵直线 在平面α内，直线m不在平面α内；
⑶平面α和β相交于直线 ；
⑷直线 经过平面α外一点P和平面α内一点Q ；
⑸直线 是平面α和β的交线，直线m在平面α内,
和 相交于点P.
证明三线共面,可先证其中两条直线共面,再证第三条直线也在此平面内.
例1.一条直线和两条平行线都相交,求证:这三条直线共面.
α
B
A
a
b
l
已知:如图,a∥b,l∩ a =A, l ∩b =B
求证:a,b,l三线共面
证明:∵ a∥b,由公理2推论3有
直线a,b确定一个平面α
∴ a,b,l三线共面于α
又A∈a,a α,∴ A∈ α,同理B∈α,
由公理1有:l α
例2.已知:如图D,E分别是ΔABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
α
A
B
C
D
E
P
(2)求证:D,E,P三点共线.
例3.如图,P,Q是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC的中点,过P,Q,D1作一个平面,画出此平面截正方体的截面.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
（一） 操 作 方 法
1. 平面的特点 4. 三种语言转换
2. 平面的画法 5. 三公理三推论
3. 平面的表示方法
课堂小结
图形 符号语言 文字语言(读法)
点A在直线a上
点A不在直线a上
点A在平面α内
点A不在平面α内
直线a、b交于点A
总结：点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示：
（2）集合关系：
点A、
线a、
面
图形 符号语言 文字语言(读法)
直线a在平面 内
直线a与平面
无公共点
直线a与平面
交于点A
平面 与
相交于直线