选修4-4第二讲参数方程（教案）
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文档简介
二.曲线的参数方程
2．1.1 参数方程的概念
一、学习目标
1、通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义；
2、理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标。
二、问题导学
【问题1】：课本21页探究：一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？（重力加速度）
解：在经过飞行航线且垂直于地面的平面上建立
平面直角坐标系，其中x轴为地面与这个平面的交线，
y轴经过物资投出机舱点A.设物资投出机舱时为时刻0，
在时刻t时物资的位置为M（x,y）则
当y=0时，，解得t=10;将t=10代入x=100t,得x=1000.
因此，飞行员在救援点的水平距离约为1000米时投放物资，可以使其准确落在指定地点。
【问题2】参数方程的概念：
一般地，在平面直角坐标中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变数t的函数
①
并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点Ｍ（x、y）都 在这条直线上 ，则方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫作 参变数，简称 参数 .
——<分析>：（1）方程①中有 3 个变量；
（2）x、y表示 点的坐标；t表示 参数 ；
（3）x、y分别是t的 函数 。
【问题3】：曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系：
曲线的方程 x,y的关系 变量 变量的关系
普通方程 直接 x,y 一个自由变量，另一个由此确定
参数方程 间接（由t联系） x,y,t 一个自由变量，另两个由此确定
三、即时训练
1、一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1000m时投放救灾物资（不计空气阻力，重力加速度）问此时飞机的飞行高度是多少？
解：在经过飞行航线且垂直于地面的平面上建立平面直角坐标系，其中x轴为地面与这个平面的交线，
y轴经过物资投出机舱点A.设飞机飞行的高度为hm,物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资的位置为M（x,y），则
由题意的1000=100t,解得t=10,则，所以h=500。
因此，飞机的飞行高度是500米。
2、已知参数方程 [0,2)，判断点A(1, )和B(2,1)是否在方程的曲线上.
解： ，
将A(1, )代入，左边=1+3=4=右边
将B(2,1) 代入，左边=4+1=5右边
因此，点A(1, ) 在方程的曲线上，点B(2,1)不在方程的曲线上。
四、课时训练
动点M做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为3m/s和4m/s，直角坐标系的长度单位是1m，点M的起始位置在点处，求点M（x,y）的轨迹的参数方程。
解：设动点M(x,y)从处开始的运动时间为ts,
则点M（x,y）的轨迹的参数方程
五、作业
2．1．2 圆的参数方程
一、学习目标：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。
二、复习旧知：
1、圆的直角坐标方程：（1）圆的标准方程：
（2）圆的一般方程：
3）圆的标准方程与一般方程的互化：圆的标准方程 展 开 圆的一般方程
圆的一般方程 配方 圆的标准方程
2、圆的极坐标方程：（1）圆心 为极点 半径为 r 的圆：
（2）圆心 （a,0） 半径为 a 的圆：
（3）圆心 (a, ) 半径为 a 的圆：
三、问题导学：
【问题1】：圆心在原点半径为r的圆的参数方程：
——<即时训练2>：填空：已知圆O的参数方程是 (0≤ ＜2 )
（1）如果圆上点P所对应的参数，则点P的坐标为 ；
（2）如果圆上点Q所对应的坐标为，则Q点对应的参数等于。
【问题2】：圆心在点（a，b）半径为r的圆的参数方程：
解：
由圆心在原点的圆的参数方程得
故
——<即时训练2>：已知圆方程，将它化为参数方程。
解：将化为标准方程为：
所以圆的参数方程为：
【问题3】：如图，已知点P是圆上的一个动点，点A(6,0).是x轴上的定点，当点P在圆上运动时，求线段PA中点M的轨迹的参数方程。
解：因为点P是圆上的一个动点，所以设
点P的坐标为（，M（x,y）,
由于M为线段PA中点，故
所以线段PA中点M的轨迹的参数方程
四、课时训练：
已知M是正三角形ABC外接圆上的任意一点，求证：为定值。
解：设正三角形ABC外接圆半径为1，以外接圆圆心为坐标原点，点C在y轴的正半轴上建立平面直角坐标系，则C（0，1），A(,设M（
=
所以为定值
2．1．3参数方程与普通方程的互化
教学目标：掌握参数方程与普通方程的互化的方法与技巧
重点：参数方程与普通方程的互化法则，常见问题的消参方法对常用的消参方法有一定的感知和体会（有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法）
难点：在将两种方程互化的过程中，要注意两种方程（在表示同一曲线的）等价性，即注意参数的取值范围对x，y的取值范围的影响。
疑点：参数方程与普通方程的区别与联系，普通方程的唯一性与参数方程的多样性．
教程：新课引入：
一. 参数方程与普通方程的定义：
1、普通方程的定义：前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
2、参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y都是某个变数t的函数，即：并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。
3、参数方程（所表示的曲线是圆，该圆的圆心为 （0,0），半径为 2
讲授新课：
将参数方程（的参数消掉化为普通方程。
解：由参数方程得：，于是
显然，参数方程与普通方程的最明显的区别是其方程形式上的区别，更大的区别是普通方程反映了曲线上任一点坐标x，y的直接关系，而参数方程则反映了x，y的间接关系。将曲线的参数方程化为普通方程最大的好处是 有利于识别曲线的类型。
2、参数方程与普通方程的联系，这种联系表现在两方面：
（1）这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方面；（2）这两种方程之间可以进行互化，通过消参可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程。
3、参数方程与普通方程互化需注意的问题：
在将两种方程互化的过程中，要注意两种方程（在表示同一曲线的）等价性，即注意参数的取值范围对x，y的取值范围的影响。
即时训练：一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
（1） （t为参数） （2） （
解：由得，代入，得到
又因为，所以与参数方程等价的普通方程是：（），
这是一条以（1,1）为端点的一条射线（包括端点）。
（2）把平方后减去，得到，
又因为，所以
所以与参数方程等价的普通方程是：，。这是抛物线的一部分。
结论：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有
（1）代入消去法、求出t再代入另一式；
（2）加减消去法：参数方程的普通方程是
(3)利用代数恒等式或三角恒等式．
把下列参数方程化为普通方程：
解：（1）(x
（2）
A. 双曲线 B. 双曲线的上支 C. 双曲线下支 D. 圆
即时训练二：化普通方程为参数方程：求椭圆的参数方程：
设为参数 (2)设为参数
解：（1）把代入得，，于是
即，由参数的任意性，可取。因此椭圆的参数方程为：
（2）把代入得，，于是，
因此椭圆的参数方程为：和
总结： 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y=(t)），再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=(t)（或x=f(t)）。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。
课时训练： 2）
2.2.1椭圆的参数方程
教学目标：会求椭圆的参数方程 ，加深对参数方程的理解，体会参数法解决问题的优点。
重点：感受曲线的参数方程在代数“消元”变形中的重要作用。
难点：椭圆参数方程中的参数的正确理解。
教程：
一、课前复习：1、参数方程x=cos2α, y=sin2α(α为参数)化为普通方程，结果是 。
2．将参数方程化为普通方程（ D ）
（A）xy＝1 （B）xy＝1 （xy>0） （C）y＝ （D）y＝ (x>0)
3 、在方程（为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为 （ C ）
A B C D
4、 已知某条曲线的参数方程为 则该曲线是（ A ）
A 线段 B 圆弧 C 双曲线的一支 D 射线
5、直线与圆（为参数）的位置关系是（ D ）
A 相切 B 相离 C 直线过圆心 D 相交但直线不过圆心。
6、普通方程与参数方程互化应注意的事项：
必须使x,y的取值范围保持一致。
二、椭圆的参数方程的推导
1、在椭圆中，设，求该椭圆的参数方程。
设M（x,y）,大圆和小圆的半径分别为a,b,则A的横坐标为，B的纵坐标为，因此
2、类比圆的参数方程中的参数的意义，说明上述椭圆的参数方程中的参数的意义：点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（点M的离心角），不是OM的旋转角。
三、椭圆参数方程的应用
例1、在椭圆上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离。
解：因为椭圆的参数方程为，所以可设点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为：
（其中满足）
由三角函数性质知，当时，d取最小值，此时。因此，当点M位于时，点M与直线x+2y-10=0的距离最小为
即时训练：求椭圆上的点到直线的最大距离和最小距离。
解：设椭圆上任意点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为：
当，此时，M（-2,3）
当，此时，M（2,-3）
课时训练：已知x,y满足方程，求z=x-2y的最大值和最小值。
解：设椭圆上任意点M的坐标为所以。
2.2.2双曲线的参数方程
教学目标：会求双曲线的参数方程 ，加深对参数方程的理解，体会参数法解决问题的优点。
重点：感受曲线的参数方程在代数“消元”变形中的重要作用。
难点：双曲线参数方程中的参数的正确理解。
教程、
复习
1、在椭圆中，椭圆的参数方程为：。
2、求椭圆。
解:设椭圆上任意点P的坐标为，点P到点（1,0）的距离为d，
则=
当时，
双曲线的参数方程：
1、。
解：设,大圆半径OA=a,小圆半径OB=b,点M的坐标为（x,y）,那么点，由圆的参数方程得点A的坐标为所以，
因为
解得；
因为点在角的终边上，由三角函数的定义有。
所以点M的轨迹的参数方程为
其中：
2、类比椭圆的参数方程中的参数的意义，说明上述椭圆的参数方程中的参数的意义：参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角（称为点M的离心角），而不是OM的旋转角。
三、双曲线参数方程的应用
例1、设M为双曲线上任意一点，O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
课时训练：则d1d2的值为( B )．
2.2.3抛物线的参数方程
教学目标：会求抛物线的参数方程 ，加深对参数方程的理解，体会参数法解决问题的优点。
重点：感受曲线的参数方程在代数“消元”变形中的重要作用。
难点：抛物线参数方程中的参数t的含义。
教程：
一、复习引入：
1、椭圆的参数方程为：
参数的意义为：参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角（称为点M的离心角），而不是OM的旋转角。
2、为：
参数的意义为：参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角（称为点M的离心角），而不是OM的旋转角。
3、参数方程在求解距离问题中的优点：把距离问题转化为求函数的最值问题或函数的值域问题。
二、新课：
1、探究：抛物线表示焦点到准线的距离）会有什么样的参数方程？参数的几何意义是什么？
解：为参数），
参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
2、类比：抛物线的参数方程为：为参数）
抛物线的参数方程为：为参数）
抛物线的参数方程为：为参数）
特点：一次项对应的参数为二次，二次项对应的参数为一次。
3、应用：
即时训练：抛物线上的动点P与直线上的点之间的距离的最小值是多少？
解：设P的坐标为（，点P到直线的距离，所以当时，。
课时训练：
如图O为直角坐标原点，A，B是抛物线且并且与AB相交于点M，（1）求点M的轨迹方程。
解：根据条件，设点M,A,B的坐标分别为则
,
即，
所以（1）
,即，
所以 （2）
因为，且A,M,B三点共线，所以，化简得
将（1）（2）代入上式得到，即
上式即为点M的轨迹方程。
探究：上面的例题中：点A，B在什么位置时，的面积最小？最小值是多少？
解：因为，所以
同理
所以
当时，三角形ABC的面积最小为。
2.3.1直线的参数方程（1）
教学目标：会求直线的参数方程 ，加深对参数方程的理解，体会参数法解决问题的优点。
重点：感受直线的参数方程在求解距离问题中的重要作用。
难点：直线的参数方程中的参数t的几何意义。
教程：
一、复习引入：
1、椭圆的参数方程为：
2、为：
3、抛物线的参数方程为：为参数）
二、新课：
1、直线参数方程的推导：
直线是我们最熟悉的几何图形，直线的点斜式方程是： ，
如图：直线经过点M0并且倾斜角为，则与该直线平行的
单位向量e= ,已知M0（x0,y0）,设M(x,y)为直线上任意一点,那么向量,则存在实数t,使把上式转化为向量的坐标表示为：
，
从而得到直线的参数方程为：
2、直线的参数方程中的参数t的几何意义：
表示： 直线上任意一点M到定点M0的距离； M在 M0上方 ，t取正数；M在 M0下方 ，t取负数。
3、直线的参数方程的其它表示形式：（t为参数，a,b为常数，而且），则该式中的参数t没有明确的几何意义，但是该直线的斜率为。
二、即时训练：
1、设直线经过点M0（1,5）、倾斜角为。（1）求直线的参数方程；（2）求直线和直线的交点到点M0的距离；
解：（1）直线经过点M0（1,5）、倾斜角为的参数方程为，
即，
(2)把代入直线得t=
由参数t的几何意义可得两直线的交点到点M0的距离为。
例题讲解：例1、已知直线：x+y-1=0与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长和点M（-2,3）到A，B两点的距离之积。
解：因为直线：x+y-1=0过点M（-2,3）且直线的倾斜角为，所以它的参数方程为，即
把上式代入抛物线，整理得
解得：，
由参数t的几何意义可得：，
三、探究：直线与曲线两点，对应的参数分别为，（1）曲线的弦的长是多少？（
（2）线段的中点M对应的参数t的值是多少？
（3）线段的两个三等分点对应的参数t的值分别是多少？
2.3.1直线的参数方程（2）
复习巩固：
直线的参数方程为：
直线的参数方程中的参数t的几何意义：表示 直线上任意一点M到定点M0的距离；
3、上节课探究中的结论：
二、即时训练：
1、设直线经过点M0（1,5）、倾斜角为，求直线的两个交点到点M0的距离的和与积。
解：直线经过点M0（1,5）、倾斜角为的参数方程为，
即，把代入，
整理得：，设是方程的两根，则
所以，设直线的两个交点分别为
由参数t的几何意义可得：
，
例题分析：
经过点M（2,1）作直线，交椭圆两点。如果点M恰好为线段AB的中点，求直线的方程。
解：设直线的参数方程为：，
将上式代入椭圆方程得：，
整理得，设是方程的两根，
所以，
由参数t的几何意义可得：线段AB的中点M对应的参数t==0,所以，，故直线的方程为：
即：
变式：已知经过点P（2,0），斜率为的直线和抛物线相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标。
解: 由题意得直线AB的参数方程为：，
将上式代入抛物线方程整理得：，设是方程的两根，
则由参数t的几何意义可得：线段AB的中点M对应的参数t==，
将上式代入直线AB的参数方程为：得,
故点M的坐标为
例2、当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向西偏北45°方向移动，已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？
答案在教材37页
例4、如图，AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P。两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为，且。求证：
答案在教材38页
四、课时训练：
1、（2010上海）直线的参数方程是：,则的方向向量d可以是（ C ）
A、（1,2） B、（2,1） C 、（-2,1） D、（1，-2）
2、若直线与直线4x+ky=1(k为常数)平行，则k的值为( D )
A 、 B、 C、2 D、
3、直线与直线的交点为（ A ）
A、（） B、（2,1） C 、（1，） D、（1，2）
4、求直线与直线的交点P的坐标及点Q（1，-5）的距离。
解：直线可化为(1)，
将上式代入直线，整理得，
由参数t的几何意义可得：.
5、直线过点P0 （2,4），倾斜角为，试求直线上与点P0 （2,4）的距离为4的点的坐标。
解：由题意得直线的参数方程为，由参数t的几何意义可得：
所求的点所对应的参数t为，
当t=4时，
当t=- 4时，
所以，所求点的坐标为或。
2.4.1 圆的渐开线
一、教学目标：
知识与技能：了解圆的内渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.
过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：复习：
（1）圆心为原点，半径为r的圆的参数方程是：
（2）圆心为（a,b）,半径为r的圆的参数方程是：
（二）、新课探析：
1、渐开线定义：把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上，拉开绳子的一端并拉直，使绳子与圆周始终相切。绳子端点的轨迹是一条曲线。这条曲线叫做圆的渐开线 ( http: / / wenwen. / z / Search.e sp=S%E6%B8%90%E5%BC%80%E7%BA%BF&ch=w.search.yjjlink&cid=w.search.yjjlink" \t "_blank )。这个定圆叫做渐开线的基圆。
2、设基圆圆心为O，半径为r，细绳外端的初始位置为A。以O为原点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )，有向直线OA为x轴，建立平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )。设M(x,y)是圆的渐开线上任一点，MB是⊙O的切线，B为切点，∠AOB=φ（弧度）是以OA为始边，OB为终边的正角。
取φ为参数，圆的渐开线的参数方程 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )是
3、渐开线的形状仅取决于基圆的大小，基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直；基圆为无穷大时，渐开线为斜直线。
4、即时训练：
例1、 求半径为4的圆的渐开线参数方程：
解：
变式训练1:当时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。
解：
∴,故
变式训练2 求圆的渐开线上当对应的点的直角坐标。
解：时，
∴对应的点的直角坐标为（
2.4.2 圆的摆线
1、摆线的定义： 摆线 (Cycloid) 被定义为一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。
一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹。又称旋轮线。圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。当圆滚动j 角以后，圆上定点从 O 点位置到达P点位置。当圆滚动一周，即 j从O变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。 再向前滚动一周， 动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的 ，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。摆线有一个重要性质，即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时，若沿着A，B间的摆线，滑落所需时间最短，因此摆线又称最速降曲线。
2、摆线的性质
到17 世纪，人们发现摆线具有如下性质：
（1）．它的长度等于旋转圆直径的 4 倍．尤为令人感兴趣的是，它的长度是 一个不依赖于π的有理数．
（2）．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍．
（3）．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的．
（4）．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部
3、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为：
即时训练： 求半径为2的圆的摆线的参数方程
解：
变式训练3： 求摆线 与直线y=1的交点的直角坐标.
解：把y=1代入y=1-cost得cost=0, ∴
当时，；
当时，
∴交点的直角坐标为（
例3、设圆的半径为8，沿轴正向滚动，开始时圆与轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标的最大值，说明该曲线的对称轴。
解：
当
（四）、小结：本节课学习了以下内容：
1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程；
2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。
( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )【摆线的相关故事】
■时钟与摆线
时钟已变成现代人不可或少的必备工具之一,没有时钟,人们将不知时间,许多重要的约会便会错过,当各位在看表的时候,不知可曾想过,时钟里面隐藏了些甚么道理,一砂一世界,许多我们视为理所当然的事都是先民流血流汗一点一滴累积而成的.
在时钟里面到底隐藏了甚么东西 将这些理论写出来可是厚厚的一大本呢!回想以前的中世纪航海时代,时间的掌握是关乎全船人生命安危的大事,想要和大海搏斗,时间是不可或缺的因数,古时候是以沙漏水钟来计时,但这些计时工具相当不准确,为了增加船员生存的机会,发明精确的计时器变成了当时科学界的当务之急.
那时在意大利有一位年青科学家伽利略,有一次在比萨斜塔处意外地发现一个有趣的现象,教堂的吊灯来回摆动时,不管摆动的幅度大还是小,每摆动一次用的时间都相等.当时,他是以自己的心跳脉搏来计算时间的.从此以后,伽利略便废寝忘食的研究起物理和数学来.他曾用自行制的滴漏来重新做单摆的试验,结果证明了单摆摆动的时间跟摆幅没有关系,只跟单摆摆线的长度有关.这个现象使伽利略想到或许可以利用单摆来制作精确的时钟,但他始终并没有将理想付之实行.
伽利略的发现振奋了科学界,可是不久便发现单摆的摆动周期也不完全相等.原来,伽利略的观察和实验还不够精确.实际上,摆的摆幅愈大,摆动周期就愈长,只不过这种周期的变化是很小的.所以,如果用这种摆来制作时钟,摆的振幅会因为摩擦和空气阻力而愈来愈小,时钟也因此愈走愈快.
过了不久,荷兰科学家决定要做出一个精确的时钟来.伽利略的单摆是在一段圆弧上摆动的,所以我们也叫做圆周摆.荷兰科学家想要找出一条曲线,使摆沿着这样的曲线摆动时,摆动周期完全与摆幅无关.这群科学家放弃了物理实验,纯粹往数学曲线上去研究,经过不少次的失败,这样的曲线终於找到了,数学上把这种曲线叫做“摆线”，“等时曲线”或“旋轮线”
如果你用硬纸板剪一个圆,在圆的边缘固定一枝铅笔,当这圆沿一条直线滚动时,铅笔便会画出一条摆线来.相信这样的玩具许多人都已经看过玩过,以前的街上,常会看到街边小贩再兜售这种摆线玩具,许多人赞叹摆线的美丽,但却不知摆线与时钟的相关性.钟表店里面那些有钟摆的时钟,都是利用摆线性质制作出来的.由于摆线的发现,使的精确时钟的制作不是梦想.这也使人类科技向前迈进一大步.
5、直线过点P0 （2,4），倾斜角为，试求直线上与点P0 （2,4）的距离为4的点的坐标。
M
500
y
O
x
M
O
y
x
x
M
P
A
y
O
2．1.1 参数方程的概念
一、学习目标
1、通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义；
2、理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标。
二、问题导学
【问题1】：课本21页探究：一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？（重力加速度）
解：在经过飞行航线且垂直于地面的平面上建立
平面直角坐标系，其中x轴为地面与这个平面的交线，
y轴经过物资投出机舱点A.设物资投出机舱时为时刻0，
在时刻t时物资的位置为M（x,y）则
当y=0时，，解得t=10;将t=10代入x=100t,得x=1000.
因此，飞行员在救援点的水平距离约为1000米时投放物资，可以使其准确落在指定地点。
【问题2】参数方程的概念：
一般地，在平面直角坐标中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变数t的函数
①
并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点Ｍ（x、y）都 在这条直线上 ，则方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫作 参变数，简称 参数 .
——<分析>：（1）方程①中有 3 个变量；
（2）x、y表示 点的坐标；t表示 参数 ；
（3）x、y分别是t的 函数 。
【问题3】：曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系：
曲线的方程 x,y的关系 变量 变量的关系
普通方程 直接 x,y 一个自由变量，另一个由此确定
参数方程 间接（由t联系） x,y,t 一个自由变量，另两个由此确定
三、即时训练
1、一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1000m时投放救灾物资（不计空气阻力，重力加速度）问此时飞机的飞行高度是多少？
解：在经过飞行航线且垂直于地面的平面上建立平面直角坐标系，其中x轴为地面与这个平面的交线，
y轴经过物资投出机舱点A.设飞机飞行的高度为hm,物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资的位置为M（x,y），则
由题意的1000=100t,解得t=10,则，所以h=500。
因此，飞机的飞行高度是500米。
2、已知参数方程 [0,2)，判断点A(1, )和B(2,1)是否在方程的曲线上.
解： ，
将A(1, )代入，左边=1+3=4=右边
将B(2,1) 代入，左边=4+1=5右边
因此，点A(1, ) 在方程的曲线上，点B(2,1)不在方程的曲线上。
四、课时训练
动点M做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为3m/s和4m/s，直角坐标系的长度单位是1m，点M的起始位置在点处，求点M（x,y）的轨迹的参数方程。
解：设动点M(x,y)从处开始的运动时间为ts,
则点M（x,y）的轨迹的参数方程
五、作业
2．1．2 圆的参数方程
一、学习目标：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。
二、复习旧知：
1、圆的直角坐标方程：（1）圆的标准方程：
（2）圆的一般方程：
3）圆的标准方程与一般方程的互化：圆的标准方程 展 开 圆的一般方程
圆的一般方程 配方 圆的标准方程
2、圆的极坐标方程：（1）圆心 为极点 半径为 r 的圆：
（2）圆心 （a,0） 半径为 a 的圆：
（3）圆心 (a, ) 半径为 a 的圆：
三、问题导学：
【问题1】：圆心在原点半径为r的圆的参数方程：
——<即时训练2>：填空：已知圆O的参数方程是 (0≤ ＜2 )
（1）如果圆上点P所对应的参数，则点P的坐标为 ；
（2）如果圆上点Q所对应的坐标为，则Q点对应的参数等于。
【问题2】：圆心在点（a，b）半径为r的圆的参数方程：
解：
由圆心在原点的圆的参数方程得
故
——<即时训练2>：已知圆方程，将它化为参数方程。
解：将化为标准方程为：
所以圆的参数方程为：
【问题3】：如图，已知点P是圆上的一个动点，点A(6,0).是x轴上的定点，当点P在圆上运动时，求线段PA中点M的轨迹的参数方程。
解：因为点P是圆上的一个动点，所以设
点P的坐标为（，M（x,y）,
由于M为线段PA中点，故
所以线段PA中点M的轨迹的参数方程
四、课时训练：
已知M是正三角形ABC外接圆上的任意一点，求证：为定值。
解：设正三角形ABC外接圆半径为1，以外接圆圆心为坐标原点，点C在y轴的正半轴上建立平面直角坐标系，则C（0，1），A(,设M（
=
所以为定值
2．1．3参数方程与普通方程的互化
教学目标：掌握参数方程与普通方程的互化的方法与技巧
重点：参数方程与普通方程的互化法则，常见问题的消参方法对常用的消参方法有一定的感知和体会（有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法）
难点：在将两种方程互化的过程中，要注意两种方程（在表示同一曲线的）等价性，即注意参数的取值范围对x，y的取值范围的影响。
疑点：参数方程与普通方程的区别与联系，普通方程的唯一性与参数方程的多样性．
教程：新课引入：
一. 参数方程与普通方程的定义：
1、普通方程的定义：前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
2、参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y都是某个变数t的函数，即：并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。
3、参数方程（所表示的曲线是圆，该圆的圆心为 （0,0），半径为 2
讲授新课：
将参数方程（的参数消掉化为普通方程。
解：由参数方程得：，于是
显然，参数方程与普通方程的最明显的区别是其方程形式上的区别，更大的区别是普通方程反映了曲线上任一点坐标x，y的直接关系，而参数方程则反映了x，y的间接关系。将曲线的参数方程化为普通方程最大的好处是 有利于识别曲线的类型。
2、参数方程与普通方程的联系，这种联系表现在两方面：
（1）这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方面；（2）这两种方程之间可以进行互化，通过消参可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程。
3、参数方程与普通方程互化需注意的问题：
在将两种方程互化的过程中，要注意两种方程（在表示同一曲线的）等价性，即注意参数的取值范围对x，y的取值范围的影响。
即时训练：一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
（1） （t为参数） （2） （
解：由得，代入，得到
又因为，所以与参数方程等价的普通方程是：（），
这是一条以（1,1）为端点的一条射线（包括端点）。
（2）把平方后减去，得到，
又因为，所以
所以与参数方程等价的普通方程是：，。这是抛物线的一部分。
结论：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有
（1）代入消去法、求出t再代入另一式；
（2）加减消去法：参数方程的普通方程是
(3)利用代数恒等式或三角恒等式．
把下列参数方程化为普通方程：
解：（1）(x
（2）
A. 双曲线 B. 双曲线的上支 C. 双曲线下支 D. 圆
即时训练二：化普通方程为参数方程：求椭圆的参数方程：
设为参数 (2)设为参数
解：（1）把代入得，，于是
即，由参数的任意性，可取。因此椭圆的参数方程为：
（2）把代入得，，于是，
因此椭圆的参数方程为：和
总结： 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y=(t)），再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=(t)（或x=f(t)）。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。
课时训练： 2）
2.2.1椭圆的参数方程
教学目标：会求椭圆的参数方程 ，加深对参数方程的理解，体会参数法解决问题的优点。
重点：感受曲线的参数方程在代数“消元”变形中的重要作用。
难点：椭圆参数方程中的参数的正确理解。
教程：
一、课前复习：1、参数方程x=cos2α, y=sin2α(α为参数)化为普通方程，结果是 。
2．将参数方程化为普通方程（ D ）
（A）xy＝1 （B）xy＝1 （xy>0） （C）y＝ （D）y＝ (x>0)
3 、在方程（为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为 （ C ）
A B C D
4、 已知某条曲线的参数方程为 则该曲线是（ A ）
A 线段 B 圆弧 C 双曲线的一支 D 射线
5、直线与圆（为参数）的位置关系是（ D ）
A 相切 B 相离 C 直线过圆心 D 相交但直线不过圆心。
6、普通方程与参数方程互化应注意的事项：
必须使x,y的取值范围保持一致。
二、椭圆的参数方程的推导
1、在椭圆中，设，求该椭圆的参数方程。
设M（x,y）,大圆和小圆的半径分别为a,b,则A的横坐标为，B的纵坐标为，因此
2、类比圆的参数方程中的参数的意义，说明上述椭圆的参数方程中的参数的意义：点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（点M的离心角），不是OM的旋转角。
三、椭圆参数方程的应用
例1、在椭圆上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离。
解：因为椭圆的参数方程为，所以可设点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为：
（其中满足）
由三角函数性质知，当时，d取最小值，此时。因此，当点M位于时，点M与直线x+2y-10=0的距离最小为
即时训练：求椭圆上的点到直线的最大距离和最小距离。
解：设椭圆上任意点M的坐标为由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为：
当，此时，M（-2,3）
当，此时，M（2,-3）
课时训练：已知x,y满足方程，求z=x-2y的最大值和最小值。
解：设椭圆上任意点M的坐标为所以。
2.2.2双曲线的参数方程
教学目标：会求双曲线的参数方程 ，加深对参数方程的理解，体会参数法解决问题的优点。
重点：感受曲线的参数方程在代数“消元”变形中的重要作用。
难点：双曲线参数方程中的参数的正确理解。
教程、
复习
1、在椭圆中，椭圆的参数方程为：。
2、求椭圆。
解:设椭圆上任意点P的坐标为，点P到点（1,0）的距离为d，
则=
当时，
双曲线的参数方程：
1、。
解：设,大圆半径OA=a,小圆半径OB=b,点M的坐标为（x,y）,那么点，由圆的参数方程得点A的坐标为所以，
因为
解得；
因为点在角的终边上，由三角函数的定义有。
所以点M的轨迹的参数方程为
其中：
2、类比椭圆的参数方程中的参数的意义，说明上述椭圆的参数方程中的参数的意义：参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角（称为点M的离心角），而不是OM的旋转角。
三、双曲线参数方程的应用
例1、设M为双曲线上任意一点，O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
课时训练：则d1d2的值为( B )．
2.2.3抛物线的参数方程
教学目标：会求抛物线的参数方程 ，加深对参数方程的理解，体会参数法解决问题的优点。
重点：感受曲线的参数方程在代数“消元”变形中的重要作用。
难点：抛物线参数方程中的参数t的含义。
教程：
一、复习引入：
1、椭圆的参数方程为：
参数的意义为：参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角（称为点M的离心角），而不是OM的旋转角。
2、为：
参数的意义为：参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角（称为点M的离心角），而不是OM的旋转角。
3、参数方程在求解距离问题中的优点：把距离问题转化为求函数的最值问题或函数的值域问题。
二、新课：
1、探究：抛物线表示焦点到准线的距离）会有什么样的参数方程？参数的几何意义是什么？
解：为参数），
参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
2、类比：抛物线的参数方程为：为参数）
抛物线的参数方程为：为参数）
抛物线的参数方程为：为参数）
特点：一次项对应的参数为二次，二次项对应的参数为一次。
3、应用：
即时训练：抛物线上的动点P与直线上的点之间的距离的最小值是多少？
解：设P的坐标为（，点P到直线的距离，所以当时，。
课时训练：
如图O为直角坐标原点，A，B是抛物线且并且与AB相交于点M，（1）求点M的轨迹方程。
解：根据条件，设点M,A,B的坐标分别为则
,
即，
所以（1）
,即，
所以 （2）
因为，且A,M,B三点共线，所以，化简得
将（1）（2）代入上式得到，即
上式即为点M的轨迹方程。
探究：上面的例题中：点A，B在什么位置时，的面积最小？最小值是多少？
解：因为，所以
同理
所以
当时，三角形ABC的面积最小为。
2.3.1直线的参数方程（1）
教学目标：会求直线的参数方程 ，加深对参数方程的理解，体会参数法解决问题的优点。
重点：感受直线的参数方程在求解距离问题中的重要作用。
难点：直线的参数方程中的参数t的几何意义。
教程：
一、复习引入：
1、椭圆的参数方程为：
2、为：
3、抛物线的参数方程为：为参数）
二、新课：
1、直线参数方程的推导：
直线是我们最熟悉的几何图形，直线的点斜式方程是： ，
如图：直线经过点M0并且倾斜角为，则与该直线平行的
单位向量e= ,已知M0（x0,y0）,设M(x,y)为直线上任意一点,那么向量,则存在实数t,使把上式转化为向量的坐标表示为：
，
从而得到直线的参数方程为：
2、直线的参数方程中的参数t的几何意义：
表示： 直线上任意一点M到定点M0的距离； M在 M0上方 ，t取正数；M在 M0下方 ，t取负数。
3、直线的参数方程的其它表示形式：（t为参数，a,b为常数，而且），则该式中的参数t没有明确的几何意义，但是该直线的斜率为。
二、即时训练：
1、设直线经过点M0（1,5）、倾斜角为。（1）求直线的参数方程；（2）求直线和直线的交点到点M0的距离；
解：（1）直线经过点M0（1,5）、倾斜角为的参数方程为，
即，
(2)把代入直线得t=
由参数t的几何意义可得两直线的交点到点M0的距离为。
例题讲解：例1、已知直线：x+y-1=0与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长和点M（-2,3）到A，B两点的距离之积。
解：因为直线：x+y-1=0过点M（-2,3）且直线的倾斜角为，所以它的参数方程为，即
把上式代入抛物线，整理得
解得：，
由参数t的几何意义可得：，
三、探究：直线与曲线两点，对应的参数分别为，（1）曲线的弦的长是多少？（
（2）线段的中点M对应的参数t的值是多少？
（3）线段的两个三等分点对应的参数t的值分别是多少？
2.3.1直线的参数方程（2）
复习巩固：
直线的参数方程为：
直线的参数方程中的参数t的几何意义：表示 直线上任意一点M到定点M0的距离；
3、上节课探究中的结论：
二、即时训练：
1、设直线经过点M0（1,5）、倾斜角为，求直线的两个交点到点M0的距离的和与积。
解：直线经过点M0（1,5）、倾斜角为的参数方程为，
即，把代入，
整理得：，设是方程的两根，则
所以，设直线的两个交点分别为
由参数t的几何意义可得：
，
例题分析：
经过点M（2,1）作直线，交椭圆两点。如果点M恰好为线段AB的中点，求直线的方程。
解：设直线的参数方程为：，
将上式代入椭圆方程得：，
整理得，设是方程的两根，
所以，
由参数t的几何意义可得：线段AB的中点M对应的参数t==0,所以，，故直线的方程为：
即：
变式：已知经过点P（2,0），斜率为的直线和抛物线相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标。
解: 由题意得直线AB的参数方程为：，
将上式代入抛物线方程整理得：，设是方程的两根，
则由参数t的几何意义可得：线段AB的中点M对应的参数t==，
将上式代入直线AB的参数方程为：得,
故点M的坐标为
例2、当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向西偏北45°方向移动，已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？
答案在教材37页
例4、如图，AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P。两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为，且。求证：
答案在教材38页
四、课时训练：
1、（2010上海）直线的参数方程是：,则的方向向量d可以是（ C ）
A、（1,2） B、（2,1） C 、（-2,1） D、（1，-2）
2、若直线与直线4x+ky=1(k为常数)平行，则k的值为( D )
A 、 B、 C、2 D、
3、直线与直线的交点为（ A ）
A、（） B、（2,1） C 、（1，） D、（1，2）
4、求直线与直线的交点P的坐标及点Q（1，-5）的距离。
解：直线可化为(1)，
将上式代入直线，整理得，
由参数t的几何意义可得：.
5、直线过点P0 （2,4），倾斜角为，试求直线上与点P0 （2,4）的距离为4的点的坐标。
解：由题意得直线的参数方程为，由参数t的几何意义可得：
所求的点所对应的参数t为，
当t=4时，
当t=- 4时，
所以，所求点的坐标为或。
2.4.1 圆的渐开线
一、教学目标：
知识与技能：了解圆的内渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.
过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：复习：
（1）圆心为原点，半径为r的圆的参数方程是：
（2）圆心为（a,b）,半径为r的圆的参数方程是：
（二）、新课探析：
1、渐开线定义：把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上，拉开绳子的一端并拉直，使绳子与圆周始终相切。绳子端点的轨迹是一条曲线。这条曲线叫做圆的渐开线 ( http: / / wenwen. / z / Search.e sp=S%E6%B8%90%E5%BC%80%E7%BA%BF&ch=w.search.yjjlink&cid=w.search.yjjlink" \t "_blank )。这个定圆叫做渐开线的基圆。
2、设基圆圆心为O，半径为r，细绳外端的初始位置为A。以O为原点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )，有向直线OA为x轴，建立平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )。设M(x,y)是圆的渐开线上任一点，MB是⊙O的切线，B为切点，∠AOB=φ（弧度）是以OA为始边，OB为终边的正角。
取φ为参数，圆的渐开线的参数方程 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )是
3、渐开线的形状仅取决于基圆的大小，基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直；基圆为无穷大时，渐开线为斜直线。
4、即时训练：
例1、 求半径为4的圆的渐开线参数方程：
解：
变式训练1:当时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。
解：
∴,故
变式训练2 求圆的渐开线上当对应的点的直角坐标。
解：时，
∴对应的点的直角坐标为（
2.4.2 圆的摆线
1、摆线的定义： 摆线 (Cycloid) 被定义为一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。
一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹。又称旋轮线。圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。当圆滚动j 角以后，圆上定点从 O 点位置到达P点位置。当圆滚动一周，即 j从O变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。 再向前滚动一周， 动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的 ，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。摆线有一个重要性质，即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时，若沿着A，B间的摆线，滑落所需时间最短，因此摆线又称最速降曲线。
2、摆线的性质
到17 世纪，人们发现摆线具有如下性质：
（1）．它的长度等于旋转圆直径的 4 倍．尤为令人感兴趣的是，它的长度是 一个不依赖于π的有理数．
（2）．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍．
（3）．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的．
（4）．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部
3、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为：
即时训练： 求半径为2的圆的摆线的参数方程
解：
变式训练3： 求摆线 与直线y=1的交点的直角坐标.
解：把y=1代入y=1-cost得cost=0, ∴
当时，；
当时，
∴交点的直角坐标为（
例3、设圆的半径为8，沿轴正向滚动，开始时圆与轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标的最大值，说明该曲线的对称轴。
解：
当
（四）、小结：本节课学习了以下内容：
1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程；
2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。
( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )【摆线的相关故事】
■时钟与摆线
时钟已变成现代人不可或少的必备工具之一,没有时钟,人们将不知时间,许多重要的约会便会错过,当各位在看表的时候,不知可曾想过,时钟里面隐藏了些甚么道理,一砂一世界,许多我们视为理所当然的事都是先民流血流汗一点一滴累积而成的.
在时钟里面到底隐藏了甚么东西 将这些理论写出来可是厚厚的一大本呢!回想以前的中世纪航海时代,时间的掌握是关乎全船人生命安危的大事,想要和大海搏斗,时间是不可或缺的因数,古时候是以沙漏水钟来计时,但这些计时工具相当不准确,为了增加船员生存的机会,发明精确的计时器变成了当时科学界的当务之急.
那时在意大利有一位年青科学家伽利略,有一次在比萨斜塔处意外地发现一个有趣的现象,教堂的吊灯来回摆动时,不管摆动的幅度大还是小,每摆动一次用的时间都相等.当时,他是以自己的心跳脉搏来计算时间的.从此以后,伽利略便废寝忘食的研究起物理和数学来.他曾用自行制的滴漏来重新做单摆的试验,结果证明了单摆摆动的时间跟摆幅没有关系,只跟单摆摆线的长度有关.这个现象使伽利略想到或许可以利用单摆来制作精确的时钟,但他始终并没有将理想付之实行.
伽利略的发现振奋了科学界,可是不久便发现单摆的摆动周期也不完全相等.原来,伽利略的观察和实验还不够精确.实际上,摆的摆幅愈大,摆动周期就愈长,只不过这种周期的变化是很小的.所以,如果用这种摆来制作时钟,摆的振幅会因为摩擦和空气阻力而愈来愈小,时钟也因此愈走愈快.
过了不久,荷兰科学家决定要做出一个精确的时钟来.伽利略的单摆是在一段圆弧上摆动的,所以我们也叫做圆周摆.荷兰科学家想要找出一条曲线,使摆沿着这样的曲线摆动时,摆动周期完全与摆幅无关.这群科学家放弃了物理实验,纯粹往数学曲线上去研究,经过不少次的失败,这样的曲线终於找到了,数学上把这种曲线叫做“摆线”，“等时曲线”或“旋轮线”
如果你用硬纸板剪一个圆,在圆的边缘固定一枝铅笔,当这圆沿一条直线滚动时,铅笔便会画出一条摆线来.相信这样的玩具许多人都已经看过玩过,以前的街上,常会看到街边小贩再兜售这种摆线玩具,许多人赞叹摆线的美丽,但却不知摆线与时钟的相关性.钟表店里面那些有钟摆的时钟,都是利用摆线性质制作出来的.由于摆线的发现,使的精确时钟的制作不是梦想.这也使人类科技向前迈进一大步.
5、直线过点P0 （2,4），倾斜角为，试求直线上与点P0 （2,4）的距离为4的点的坐标。
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