3.4 基本不等式
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第3章 不等式
§3.4基本不等式
经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：，，不可能同时大于
1. 若，下列不等式恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2. 若且，则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a
3. 设x>0,则的最大值为 （ ）
Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．－1
4. 设的最小值是( )
A. 10 B. C. D.
5. 若x, y是正数，且，则xy有 （ ）
Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值
6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
7. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
8. a,b是正数，则三个数的大小顺序是 （ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
9. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
11. 函数的最大值为 .
12. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.
13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .
14. 若x, y为非零实数，代数式的值恒为正，对吗？答 .
15. 已知：, 求mx+ny的最大值.
16. 已知．若、, 试比较与的大小，并加以证明.
17. 已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值.
18. 设.证明不等式 对所有的正整数n都成立.
§3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题
经典例题：思路分析：主要是去绝对值，可以运用分类讨论思想依绝对值的定义去掉绝对值符号.也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题.
解法一：原不等式|x－2|+|y－2|≤2等价于
作出以上不等式组所表示的平面区域：它是边长为22的正方形，其面积为8.
解法二：∵|x－2|+|y－2|≤2是|x|+|y|≤2经过向右、向上各平移2个单位得到的，
∴|x－2|+|y－2|≤2表示的平面区域的面积等于|x|+|y|≤2表示的平面区域的面积，由于|x|+|y|≤2的图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域如下图所示的面积为2，故|x|+|y|≤2的面积为4×2=8.
∴所求面积为8.
当堂练习：
1.C; 2.B; 3. ; 4. 甲地运往B地300t，乙地运往A地200t，运往B地150t，运往C地400t，5650元;
5. 思路分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解：运用“直线定界，特殊点定域”的方法，先画出
直线x－y+5=0（画成实线），如下图，取原点（0，0），
代入x－y+5.∵0－0+5=5＞0，∴原点在x－y表示的
平面区域内，即x－y+5≥0表示直线x－y+5=0上及右
下方的点的集合，同理可得x+y≥0表示直线x+y=0
上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.
6. 思路分析：这是一个求最大利润问题，首先根据条件设种两种作物分别为x、y亩，根据条件列出不等式组和目标函数画图，即可得到最大利润.
解：如下图所示，设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得
而利润P=（3×400－240）x+（5×100－80）y
=960x+420y（目标函数），
可联立得交点B（1.5，0.5）.
故当x=1.5，y=0.5时，
Pmax=960×1.5+420×0.5=1650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大.
7. 思路分析：可以把a、b分别看成横坐标和纵坐标，根据不等式组画出可行域，然后求目标函数9x－y的最大值和最小值.
解：问题转化为在约束条件下，目标函数z=9a－b的取值范围.
画出可行域如下图所示的四边形ABCD及其内部.
由，解得得点A（0，1）.
当直线9a－b=t通过与可行域的公共点A（0，1）时，
使目标函数z=9a－b取得最小值为zmin=9×0－1=－1.
由解得得点C（3，7）.
当直线9a－b=t通过与可行域的公共点C（3，7）时，
使目标函数z=9a－b取得最大值为zmax=9×3－7=20.
∴9a－b的取值范围是［－1，20］.
8. 思路分析：本题考查逆向思维、数形结合的思想方法，利用图形的特性和规律，解决数的问题或将图形信息转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形问题转化为数量关系的讨论.
解：直线z=ax+y（a＞0）是斜率为－a，y轴上的截距为z的直线族，从题图可以看出，当－a小于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（1，4）；当－a大于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（5，2）；
只有当－a等于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，线段AC上的所有点都是最优解.直线AC的斜率为-，所以a=时，z的最大值为×1+4=.
9. 思路分析：本题可以使用线性规划的基本思路，像二元一次不等式所示的区域一样，我们仍然可以用“线定界，点定域”的方法来确定9x2-16y2+144≤0所表示的平面区域.
解：(1)将原点坐标代入9x2-16y2+144，其值为144>0，因此9x2-16y2+144≤0表示的平面区域如图所示的阴影部分，即双曲线-=1的含有焦点的区域.
(2)设P(x，y)为该区域内任意一点，由上图可知，当P与双曲线的顶点(0，±4)重合时，|OP|取得最小值4.所以，x2+y2=|OP|2=16.
(3)取Q(2，0)，则直线PQ的斜率为k=，其直线方程为y=k(x-2)，代入9x2-16y2+144=0得(9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0，由Δ=0得k=±，
由图可知k≥或k≤-.
故所求的取值范围是(-∞，- ］∪［，+∞).
§3.4基本不等式
经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：，，不可能同时大于
1. 若，下列不等式恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2. 若且，则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a
3. 设x>0,则的最大值为 （ ）
Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．－1
4. 设的最小值是( )
A. 10 B. C. D.
5. 若x, y是正数，且，则xy有 （ ）
Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值
6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
7. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
8. a,b是正数，则三个数的大小顺序是 （ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
9. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
11. 函数的最大值为 .
12. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.
13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .
14. 若x, y为非零实数，代数式的值恒为正，对吗？答 .
15. 已知：, 求mx+ny的最大值.
16. 已知．若、, 试比较与的大小，并加以证明.
17. 已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值.
18. 设.证明不等式 对所有的正整数n都成立.
§3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题
经典例题：思路分析：主要是去绝对值，可以运用分类讨论思想依绝对值的定义去掉绝对值符号.也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题.
解法一：原不等式|x－2|+|y－2|≤2等价于
作出以上不等式组所表示的平面区域：它是边长为22的正方形，其面积为8.
解法二：∵|x－2|+|y－2|≤2是|x|+|y|≤2经过向右、向上各平移2个单位得到的，
∴|x－2|+|y－2|≤2表示的平面区域的面积等于|x|+|y|≤2表示的平面区域的面积，由于|x|+|y|≤2的图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域如下图所示的面积为2，故|x|+|y|≤2的面积为4×2=8.
∴所求面积为8.
当堂练习：
1.C; 2.B; 3. ; 4. 甲地运往B地300t，乙地运往A地200t，运往B地150t，运往C地400t，5650元;
5. 思路分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解：运用“直线定界，特殊点定域”的方法，先画出
直线x－y+5=0（画成实线），如下图，取原点（0，0），
代入x－y+5.∵0－0+5=5＞0，∴原点在x－y表示的
平面区域内，即x－y+5≥0表示直线x－y+5=0上及右
下方的点的集合，同理可得x+y≥0表示直线x+y=0
上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.
6. 思路分析：这是一个求最大利润问题，首先根据条件设种两种作物分别为x、y亩，根据条件列出不等式组和目标函数画图，即可得到最大利润.
解：如下图所示，设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得
而利润P=（3×400－240）x+（5×100－80）y
=960x+420y（目标函数），
可联立得交点B（1.5，0.5）.
故当x=1.5，y=0.5时，
Pmax=960×1.5+420×0.5=1650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大.
7. 思路分析：可以把a、b分别看成横坐标和纵坐标，根据不等式组画出可行域，然后求目标函数9x－y的最大值和最小值.
解：问题转化为在约束条件下，目标函数z=9a－b的取值范围.
画出可行域如下图所示的四边形ABCD及其内部.
由，解得得点A（0，1）.
当直线9a－b=t通过与可行域的公共点A（0，1）时，
使目标函数z=9a－b取得最小值为zmin=9×0－1=－1.
由解得得点C（3，7）.
当直线9a－b=t通过与可行域的公共点C（3，7）时，
使目标函数z=9a－b取得最大值为zmax=9×3－7=20.
∴9a－b的取值范围是［－1，20］.
8. 思路分析：本题考查逆向思维、数形结合的思想方法，利用图形的特性和规律，解决数的问题或将图形信息转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形问题转化为数量关系的讨论.
解：直线z=ax+y（a＞0）是斜率为－a，y轴上的截距为z的直线族，从题图可以看出，当－a小于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（1，4）；当－a大于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（5，2）；
只有当－a等于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，线段AC上的所有点都是最优解.直线AC的斜率为-，所以a=时，z的最大值为×1+4=.
9. 思路分析：本题可以使用线性规划的基本思路，像二元一次不等式所示的区域一样，我们仍然可以用“线定界，点定域”的方法来确定9x2-16y2+144≤0所表示的平面区域.
解：(1)将原点坐标代入9x2-16y2+144，其值为144>0，因此9x2-16y2+144≤0表示的平面区域如图所示的阴影部分，即双曲线-=1的含有焦点的区域.
(2)设P(x，y)为该区域内任意一点，由上图可知，当P与双曲线的顶点(0，±4)重合时，|OP|取得最小值4.所以，x2+y2=|OP|2=16.
(3)取Q(2，0)，则直线PQ的斜率为k=，其直线方程为y=k(x-2)，代入9x2-16y2+144=0得(9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0，由Δ=0得k=±，
由图可知k≥或k≤-.
故所求的取值范围是(-∞，- ］∪［，+∞).