高二数学期末考试试题
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高二数学期末考试试题
姓名： 班级： 学号：
一、选择题：(12×5=60分)
1．在12件同类产品中，有10件是一级品，2件是二级品，从中任意抽出3件，那么是必然事件的是（ ）
A．3件都是一级品 B．3件都是二级品
C．至少有1件是二级品 D．至少有1件是一级品
2．已知m、l是异面直线，那么：①必存在平面α过m且与l平行；②必存在平面β过m且与l垂直；③必存在平面γ与m、l都垂直；④必存在平面π与m、l距离都相等，其中正 确的结论为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
3．设展开式中的各项系数和为，其二项式系数和为，则=（ ）
A． B．－ C．0 D．－1
4．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率是，乙解出这个问题的概率是，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是（ ）
A． B． C． D．
5.从编号为1,2,3,…,10,11的11个球中,取出5个球,使这5个球的编号之和为奇数,其取法总数为 ( )
A.236 B.328 C.462 D.2640
6. 函数，已知在时取得极值，则=( )
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
7、直平行六面体ABCD－的棱长均为2，，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为（ ）
A、 B、 C、D、
8.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的小正方形的边长为（ ）cm.
A.6 B.8 C.10 D.12
9.只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（ ）
A.6个 B.9个 C.18个 D.36个
10.将4个不相同的球放入编号为1、2、3的3个盒子中，当某盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒，则恰好有2个和谐盒的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
11. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，
则导函数y=f (x)可能为 ( )
12.已知棱长为3的正方体ABCD—A1B1C1D1中，长为2的线段MN的一个端点在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 ( )
A. /6 B. /4 C. /3 D. /2
二、填空题：(4×4=16分)
13.函数的单调递减区间是_______________;
14、某年级一次数学考试成绩近似服从正态分布N（110、102），如果不低于120分的为优秀，则优秀的学生大致占总人数的______（已知φ(0.5)=0.6915，φ(1)=0.8413，φ(1.5)=0.9332）
15. 如图，电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是___________
16.设(x2+1) (x- 2 )9 = a0 + a1 (x-1) + a2 (x-1)2 + …+a11 (x-1)11,则a1+ a2+…+ a11=________
三、解答题（共6小题，17—21题每题12分，第22题14分，共74分）
17. (12分)某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中：
（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
18.已知（展开式中倒数第三项的系数为45。
求：（1）含x的项；
（2）系数最大的项。
19.(12分）某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两端与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
20. （12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，DE=，M是线段EF的中点。
（1）求证：AM⊥平面BDF
（2）求二面角A—DF—B的大小
（3）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60.
21. (12分)已知为实数，函数．
(1) 若，求函数在[－，1]上的极大值和极小值；
(2)若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围．
22.(14分)过点P(1,0)作曲线C:y=xk (x∈(0,+∞),k∈N*,k>1)的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1, 又过P1作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2 ,…, 依次下去得到一系列点Q1，Q2 ，Q3，…, Qn的横坐标为a n.
求a n=
求证：a ≥
求证：
参考答案
一、选择题（12×5=60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D B D A D D B C D D A
二、填空题：(4×4=16分)
13. （0，） 14. 15.87% 15. 16. 2
三、解答题:
17．解 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.85．
(1)
=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]
=(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85)
=0.003
答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．
(2)P()
= P(
=
=[1-P(A)]·P(B)·P(C)+P(A)·[1-P(B)]·P(C)+P(A)·P(B)·[1-P(C)]
=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85) =0.329．
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．
18.(1)T6+1=210x3 (2) T6=T5+1=252x
19、解：设矩形温室的左侧边长为，则后侧边长为.蔬菜的种植面积为
令，得.
在其定义域内只有一个极值，故当，即矩形温室的左侧边长为，后侧边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是.
20.解：(I)AM⊥FO
AM⊥BD
(Ⅱ)设AM∩OF=G，过G作GH⊥FD,交FD于H ∵AM⊥面BFD
∴∠AHG为二面角A-DF-B的平面角 ……5分
AG=AM= Rt△AFD中，AH===
Sin∠AHG=== ∴∠AHG=60° …………7分
(Ⅲ)过P作PQ∥BC，交AB于Q，连PF、FQ，则∠FPQ=60°
设AQ=x 则PQ=x AP=x PF2=1+2x2 FQ2=1+x2
又FQ2= PF2+PQ2-2PF·PQcos60° ∴1+x2=1+2x2+x2-2··xcos60°
解得：x= 即P为0点，Q为AB中点。 ……12分
21．解：(Ⅰ)∵，∴，即．
∴． … 2分
由，得或；
由，得． … 4分
因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为．
在取得极大值为；在取得极小值为． … 8分
(Ⅱ) ∵，∴．
∵函数的图象上有与轴平行的切线，∴有实数解． … 10分
∴，∴，即 ．
因此，所求实数的取值范围是． … 12分
22．解：(1)y’=kxk-1 ,若切点是Qn（a n，a nk ），
则切线方程为y - a nk =k a nk-1(x- a n)……………………………………..………….2分
当n=1 时，切线过点P(1, 0) 即0- a 1 k=k a 1k-1(1-a1).得a 1=
当n>1 时，切线过点Pn-1(an-1, 0) 即0- a n k=k ank-1 (an-1- an). 得 .
∴数列{ an }是首项为 ，公比为 的等比数列。∴an= …..6分
(2) an= = =Cn0 + Cn1 + Cn2 + …+Cnn
≥Cn0 + Cn1 =1+ . ………………………………………………………10分
(3)记Sn= , 则 Sn=
两式相减(1 - ) Sn= <
∴ Sn< =(k-1)[1- ( ) n ]
∵k∈N*, k>1, ∴ SnA1
D1
C1
D
A
B
C
B1
y=f(x)
x
y
O
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
k
k – 1
( )n
n
k – 1
1 +
i
ai
∑
i=1
n
k2- k
<
AM⊥平面BDF ……2分
k
k – 1
k
k – 1
an
an-1
=
k
k – 1
( )n
k
k – 1
k
k – 1
1
k – 1
( )n
1
k – 1
( )2
1
k – 1
1
k – 1
(1+ )n
k
k – 1
( )n
n
k – 1
1
k – 1
1
a2
2
a3
n-1
an
n
an+1
+
+…+
+
1
a1
2
a2
3
a3
n-1
an-1
n
an
+
+
+…+
+
k
k – 1
k
k – 1
1
an
1
a1
+
1
a2
1
a3
+
+…+
1
a1
+
1
a2
1
a3
1
an
n
an+1
+
+…+
-
k
k – 1
k
k – 1
k
k – 1
1-
k
k – 1
[1-( )n]
1
k
k
k – 1
1
k
姓名： 班级： 学号：
一、选择题：(12×5=60分)
1．在12件同类产品中，有10件是一级品，2件是二级品，从中任意抽出3件，那么是必然事件的是（ ）
A．3件都是一级品 B．3件都是二级品
C．至少有1件是二级品 D．至少有1件是一级品
2．已知m、l是异面直线，那么：①必存在平面α过m且与l平行；②必存在平面β过m且与l垂直；③必存在平面γ与m、l都垂直；④必存在平面π与m、l距离都相等，其中正 确的结论为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
3．设展开式中的各项系数和为，其二项式系数和为，则=（ ）
A． B．－ C．0 D．－1
4．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率是，乙解出这个问题的概率是，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是（ ）
A． B． C． D．
5.从编号为1,2,3,…,10,11的11个球中,取出5个球,使这5个球的编号之和为奇数,其取法总数为 ( )
A.236 B.328 C.462 D.2640
6. 函数，已知在时取得极值，则=( )
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
7、直平行六面体ABCD－的棱长均为2，，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为（ ）
A、 B、 C、D、
8.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的小正方形的边长为（ ）cm.
A.6 B.8 C.10 D.12
9.只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（ ）
A.6个 B.9个 C.18个 D.36个
10.将4个不相同的球放入编号为1、2、3的3个盒子中，当某盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒，则恰好有2个和谐盒的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
11. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，
则导函数y=f (x)可能为 ( )
12.已知棱长为3的正方体ABCD—A1B1C1D1中，长为2的线段MN的一个端点在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 ( )
A. /6 B. /4 C. /3 D. /2
二、填空题：(4×4=16分)
13.函数的单调递减区间是_______________;
14、某年级一次数学考试成绩近似服从正态分布N（110、102），如果不低于120分的为优秀，则优秀的学生大致占总人数的______（已知φ(0.5)=0.6915，φ(1)=0.8413，φ(1.5)=0.9332）
15. 如图，电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是___________
16.设(x2+1) (x- 2 )9 = a0 + a1 (x-1) + a2 (x-1)2 + …+a11 (x-1)11,则a1+ a2+…+ a11=________
三、解答题（共6小题，17—21题每题12分，第22题14分，共74分）
17. (12分)某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中：
（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
18.已知（展开式中倒数第三项的系数为45。
求：（1）含x的项；
（2）系数最大的项。
19.(12分）某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两端与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
20. （12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，DE=，M是线段EF的中点。
（1）求证：AM⊥平面BDF
（2）求二面角A—DF—B的大小
（3）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60.
21. (12分)已知为实数，函数．
(1) 若，求函数在[－，1]上的极大值和极小值；
(2)若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围．
22.(14分)过点P(1,0)作曲线C:y=xk (x∈(0,+∞),k∈N*,k>1)的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1, 又过P1作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2 ,…, 依次下去得到一系列点Q1，Q2 ，Q3，…, Qn的横坐标为a n.
求a n=
求证：a ≥
求证：
参考答案
一、选择题（12×5=60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D B D A D D B C D D A
二、填空题：(4×4=16分)
13. （0，） 14. 15.87% 15. 16. 2
三、解答题:
17．解 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.85．
(1)
=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]
=(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85)
=0.003
答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．
(2)P()
= P(
=
=[1-P(A)]·P(B)·P(C)+P(A)·[1-P(B)]·P(C)+P(A)·P(B)·[1-P(C)]
=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85) =0.329．
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．
18.(1)T6+1=210x3 (2) T6=T5+1=252x
19、解：设矩形温室的左侧边长为，则后侧边长为.蔬菜的种植面积为
令，得.
在其定义域内只有一个极值，故当，即矩形温室的左侧边长为，后侧边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是.
20.解：(I)AM⊥FO
AM⊥BD
(Ⅱ)设AM∩OF=G，过G作GH⊥FD,交FD于H ∵AM⊥面BFD
∴∠AHG为二面角A-DF-B的平面角 ……5分
AG=AM= Rt△AFD中，AH===
Sin∠AHG=== ∴∠AHG=60° …………7分
(Ⅲ)过P作PQ∥BC，交AB于Q，连PF、FQ，则∠FPQ=60°
设AQ=x 则PQ=x AP=x PF2=1+2x2 FQ2=1+x2
又FQ2= PF2+PQ2-2PF·PQcos60° ∴1+x2=1+2x2+x2-2··xcos60°
解得：x= 即P为0点，Q为AB中点。 ……12分
21．解：(Ⅰ)∵，∴，即．
∴． … 2分
由，得或；
由，得． … 4分
因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为．
在取得极大值为；在取得极小值为． … 8分
(Ⅱ) ∵，∴．
∵函数的图象上有与轴平行的切线，∴有实数解． … 10分
∴，∴，即 ．
因此，所求实数的取值范围是． … 12分
22．解：(1)y’=kxk-1 ,若切点是Qn（a n，a nk ），
则切线方程为y - a nk =k a nk-1(x- a n)……………………………………..………….2分
当n=1 时，切线过点P(1, 0) 即0- a 1 k=k a 1k-1(1-a1).得a 1=
当n>1 时，切线过点Pn-1(an-1, 0) 即0- a n k=k ank-1 (an-1- an). 得 .
∴数列{ an }是首项为 ，公比为 的等比数列。∴an= …..6分
(2) an= = =Cn0 + Cn1 + Cn2 + …+Cnn
≥Cn0 + Cn1 =1+ . ………………………………………………………10分
(3)记Sn= , 则 Sn=
两式相减(1 - ) Sn= <
∴ Sn< =(k-1)[1- ( ) n ]
∵k∈N*, k>1, ∴ Sn
D1
C1
D
A
B
C
B1
y=f(x)
x
y
O
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
k
k – 1
( )n
n
k – 1
1 +
i
ai
∑
i=1
n
k2- k
<
AM⊥平面BDF ……2分
k
k – 1
k
k – 1
an
an-1
=
k
k – 1
( )n
k
k – 1
k
k – 1
1
k – 1
( )n
1
k – 1
( )2
1
k – 1
1
k – 1
(1+ )n
k
k – 1
( )n
n
k – 1
1
k – 1
1
a2
2
a3
n-1
an
n
an+1
+
+…+
+
1
a1
2
a2
3
a3
n-1
an-1
n
an
+
+
+…+
+
k
k – 1
k
k – 1
1
an
1
a1
+
1
a2
1
a3
+
+…+
1
a1
+
1
a2
1
a3
1
an
n
an+1
+
+…+
-
k
k – 1
k
k – 1
k
k – 1
1-
k
k – 1
[1-( )n]
1
k
k
k – 1
1
k