解析几何复习题
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解析几何复习题
命题：艾简书 审核：郑和斌 2006.1.10
班级 学号 姓名
一、选择题
1．已知点Fl，点P到F与l距离之比为常数k，当点P的轨迹分别是椭圆、双曲线、抛物线时，则k的分别属于（ ）
A．(0，1)，（1，+∞），{1} B．(1，+∞)，(0，1)，{1}
C．{1}，(0，1)，(1，+∞) D．(1，+∞)，{1}，(0，1)
2．在正方体A1B1C1D1—ABCD中，P是面BB1C1C内一动点，若P到直线C1D1的距离等于P到面ABCD的距离，则P的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
3．已知点P在定圆O的圆内或圆周上，动圆C过点P且与定圆O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是（ ）
A．圆或椭圆或双曲线 B．两条射线或圆或抛物线
C．两条射线或圆或抛物线 D．椭圆或双曲线或抛物线
4．以下四个结论中正确的个数有（ ）
①圆x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的圆心是②椭圆5x2 + 4y2 = 20的一个焦点是（1，0）
③双曲线5x2 – 4y2 = –1的一个焦点是（0，1）④抛物线y =的焦点是（0，1）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．双曲线(a＞0，b＞0)的两焦点分别为F1F2 ，以F1F2 为边作正三角形，若双曲线恰好平分三角形另两边，则双曲线离心率为（ ）
A． B．4+ C．1 + D．
6．若双曲线= 1的一条准线与抛物线y2 = 8x的准线重合，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．4 D．
7．已知双曲线的一个焦点为F (，0)，直线y = x – 1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线= 1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于A，△OAF面积为（0为原点），则两条渐近线夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x – 2y = 0，F1 ，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1| = 3，则|PF2|等于（ ）
A．1或5 B．6 C．7 D．9
10．若动点(x，y)满足= 1（b＞0），则x2 + 2y的最大值是（ ）
A． B． C． D．2b
二、填空题
11．如果过两点A (a, 0)，B (0, a)的直线与抛物线y = x2 – 2x – 3没有交点，那么a的取值范围是 .
12．化为
普通方程是 .
13．若双曲线的渐近线方程为y =±3x，它的一个焦点是，则双曲线方程是 .
14．已知A(–2，0)，B (3，0)，动点P (x, y)满足，则点P的轨迹方程是 .
15．以下四个命题：
设A，B为两个定点，若(k非零常数)，则动点P的轨迹是双曲线
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，若，则动点P的轨迹为椭圆
③方程2x2 – 5x + 2 = 0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
④双曲线与椭圆有相同焦点，其中真命题的序号是 .
三、解答题：
16．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，它截得到的弦长，求双曲线方程.
解析：将代入等轴双曲线，得 即，
先由两点间距离公式得出以下弦长公式：
==，
解得，∴双曲线方程为
17．已知直线与椭圆，交于、两点，且（为原点），，求椭圆方程.
．解析：由椭圆与直线联立消去，得，设、，∵，
∴又，，①
由韦达定理得，
1，
∴②
由①②联立解得
，
∴，
解得，同理解得，故所求椭圆方程为或
18．设椭圆方程为过点M（0，1）的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点满足 当绕点旋转时，求：动点的轨迹方程 .
18．直线过点，设其斜率为，则的方程为.
记由题设可得A、B的坐标、是方程组
的解，将①代入②并化简得，，所以
于是）
.设点点的坐标为，则消去参数得 ③
当不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点的轨迹方程为
19．已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F (–m, 0) (m是大于0的常数). （1）求椭圆的方程；（2）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的斜率.
19．（1）设椭圆方程为.
∵ ，∴ c = m, a = 2c = 2m.由a2 = b2 + c2，得b2 = 3m2.
∴椭圆方程为
（2）设Q (x0，y0)，l : y = k (x + m)，则M (0，km).
∵，∴.
当 时，，
.∴，且.
∴，即.由点Q在椭圆上，得.
当时，同理可得k = 0.
故直线l的斜率为0或.
注：要注重解析几何与平面向量的综合.
20．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F (c, 0) (c＞0)的准线l与x轴相交于点A，|OF| = 2|FA|，过点A的曲线与椭圆相交于P、Q两点.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若= 0，求直线PQ的方程；
（3）设，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：
解:（1）设椭圆方程为.
由得.
∴椭圆方程为，离心率.
（2）由（1）得A (3，0)，设
PQ : y = k (x– 3)，代入，得.
由△＞0，得.
由韦达定理，得.
∴ .
∵，∴，
联立解得.∴PQ : 或.
（3），.
由、及、，
并注意到，解得.∵F (2，0)、M (x1，– y1)，
∴又，
∴.
答 案
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．A 5．C
6．A 7．C 8．D 9．C 10．A
二、填空题
11． 12．
13． 14．
15．③④
16．
17．解析：由椭圆与直线联立消去，得，设、，∵，
∴又，，①
由韦达定理得，
1，
∴②
由①②联立解得
，
∴，
解得，同理解得，故所求椭圆方程为或
分析：圆锥曲线的统一定义：到定点与定直线距离之比为一个常数的点的轨迹。此题中定点F是焦点，定直线l是准线，常数k是离心率；椭圆与双曲线的离心率均是，抛物线的离心率为1。
知识与方法：记牢统一定义（第二定义），凡有“焦点”与“准线”，要自觉联想第二定义。
如图中，P到C1D1的距离是PC1，P到面ABCD的距离是PE，即P到点C1距离等于P到线BC的距离，符合抛物线的定义，选D
知识点：到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是抛物线。
分析:若P在圆O内部时：
CP+CO=CA+CO=R
点C的轨迹是以P、O为焦点的椭圆，当P、0重合时，点C的轨迹是圆；
若P在圆O上，则OPC三点共线，点C轨迹是直线OP除O、P之外的部份
知识点：到两个定点距离之和为一个常数,…….,则是椭圆
到两个定点距离之差的绝对值为一个常数,……..,则是双曲线
分析；圆方程配方后得（ EMBED Equation.3 ；
椭圆化成标准方程为：
双曲线化标准方程为：
抛物线先化成标准方程：
知识与方法：各种焦点要记牢（自查教材并默写）。椭圆与双曲线中a,b,c关系,利用图形来记会好些。
分析:先作出草图,有利于发现思路: 以点(c,0), (0,的中点坐标代入双曲线方程,可得到一个有a,b,c三个求知数的方程,消去b,得一个只有a,c的方程,各项均除以a,即可得
到一个有e的方程,解之,求出e.(若看不懂,你试着操作一次,保你成功)
知识与方法:求离心率e=,有时是解一个 含a,b,c三个求知数的方程,先消去b,再除以a
即得一个有关e的方程.
分析：抛物线y2 = 8x的准线方程是x= -2, 双曲线的准线是，故得c=4
离心率e= EMBED Equation.3 ,选A, 要求：各种准线方程先查教材，要记牢靠。
方法1:把直线与双曲线方程联立;由中点横坐标-,知x在联立方程中运用韦达定理,即可得.
解:把中,得
(B-A)x得 得5A=2B可知是选D
方法2:用两代一减方法,请查笔记或问同学,
方法1: 中点 x EMBED Equation.3 韦达定理
方法2: “两代一减”:两次用点代入方程,然后一减,得到一个弦的中点与斜率的关系式.
方法与思路:
按在题目中的各量的 “出场顺序”,依次写出各个量,最后列方程计算,
这是解析几何中最通用的方法.
解:右焦点F(c,0),右准线 一条渐近线是 的交点是A()
求三角形OAF面积得a=b,知一条渐近线为:y=x,由图知90
由图由
知识点:
由双曲线方程到渐近线方程的方法: “开方变0” (有同学还按书上的公式记,那不好记)
解:由渐近线3x-2y=0,化成 由双曲线方程得一条渐近线为,对比可知a=2. 看见PF1与PF2要想起第一定义:|PF1-PF2|=2a=4
知PF2=1或5.
知识点:三角换元法(有圆,椭圆,….等类型)
解:可设x=2cos,
x=4c+2bsin=-4s+4=f(s)
s当对称轴b /41时,知f(s)f(1)=2b 故选A(此处要一定二次函数,可画一个图象就清楚了)
知识点:直线与圆锥曲线的位置关系,此处可用判断式<0
解:直线方程是y=-x+a 代入y=x-2x-3中,得x-3x-3-a=0,由<0得
知识点:消参
解:(x-1)/2=cos, y/3=sin
上两式平方相加可消去
知识点:由渐近线到双曲线的简便方法:
解:由
c,得 代入上式双曲线方程可得答案:
解:用平面向量坐标代入等式中,化得可得
分析: ①在三角形中,两边之差要小于第三边,故k有一定范围限制才能成为双曲线;另外还有一个 “…….距离之差的绝对值为常数…..”才是双曲线的双运线的两支
②由向量条件知P是AB的中点,PA=半个弦长,即P到定点A的距离等于一个变数,故P的轨迹不是圆
③求出一根在(0,1),另一根大于1,正好是椭圆与双曲线的离心率的范围,正确.
④正确
知识点:弦长公式 ==
①
②
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命题：艾简书 审核：郑和斌 2006.1.10
班级 学号 姓名
一、选择题
1．已知点Fl，点P到F与l距离之比为常数k，当点P的轨迹分别是椭圆、双曲线、抛物线时，则k的分别属于（ ）
A．(0，1)，（1，+∞），{1} B．(1，+∞)，(0，1)，{1}
C．{1}，(0，1)，(1，+∞) D．(1，+∞)，{1}，(0，1)
2．在正方体A1B1C1D1—ABCD中，P是面BB1C1C内一动点，若P到直线C1D1的距离等于P到面ABCD的距离，则P的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
3．已知点P在定圆O的圆内或圆周上，动圆C过点P且与定圆O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是（ ）
A．圆或椭圆或双曲线 B．两条射线或圆或抛物线
C．两条射线或圆或抛物线 D．椭圆或双曲线或抛物线
4．以下四个结论中正确的个数有（ ）
①圆x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的圆心是②椭圆5x2 + 4y2 = 20的一个焦点是（1，0）
③双曲线5x2 – 4y2 = –1的一个焦点是（0，1）④抛物线y =的焦点是（0，1）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．双曲线(a＞0，b＞0)的两焦点分别为F1F2 ，以F1F2 为边作正三角形，若双曲线恰好平分三角形另两边，则双曲线离心率为（ ）
A． B．4+ C．1 + D．
6．若双曲线= 1的一条准线与抛物线y2 = 8x的准线重合，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．4 D．
7．已知双曲线的一个焦点为F (，0)，直线y = x – 1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线= 1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于A，△OAF面积为（0为原点），则两条渐近线夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x – 2y = 0，F1 ，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1| = 3，则|PF2|等于（ ）
A．1或5 B．6 C．7 D．9
10．若动点(x，y)满足= 1（b＞0），则x2 + 2y的最大值是（ ）
A． B． C． D．2b
二、填空题
11．如果过两点A (a, 0)，B (0, a)的直线与抛物线y = x2 – 2x – 3没有交点，那么a的取值范围是 .
12．化为
普通方程是 .
13．若双曲线的渐近线方程为y =±3x，它的一个焦点是，则双曲线方程是 .
14．已知A(–2，0)，B (3，0)，动点P (x, y)满足，则点P的轨迹方程是 .
15．以下四个命题：
设A，B为两个定点，若(k非零常数)，则动点P的轨迹是双曲线
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，若，则动点P的轨迹为椭圆
③方程2x2 – 5x + 2 = 0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
④双曲线与椭圆有相同焦点，其中真命题的序号是 .
三、解答题：
16．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，它截得到的弦长，求双曲线方程.
解析：将代入等轴双曲线，得 即，
先由两点间距离公式得出以下弦长公式：
==，
解得，∴双曲线方程为
17．已知直线与椭圆，交于、两点，且（为原点），，求椭圆方程.
．解析：由椭圆与直线联立消去，得，设、，∵，
∴又，，①
由韦达定理得，
1，
∴②
由①②联立解得
，
∴，
解得，同理解得，故所求椭圆方程为或
18．设椭圆方程为过点M（0，1）的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点满足 当绕点旋转时，求：动点的轨迹方程 .
18．直线过点，设其斜率为，则的方程为.
记由题设可得A、B的坐标、是方程组
的解，将①代入②并化简得，，所以
于是）
.设点点的坐标为，则消去参数得 ③
当不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点的轨迹方程为
19．已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F (–m, 0) (m是大于0的常数). （1）求椭圆的方程；（2）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的斜率.
19．（1）设椭圆方程为.
∵ ，∴ c = m, a = 2c = 2m.由a2 = b2 + c2，得b2 = 3m2.
∴椭圆方程为
（2）设Q (x0，y0)，l : y = k (x + m)，则M (0，km).
∵，∴.
当 时，，
.∴，且.
∴，即.由点Q在椭圆上，得.
当时，同理可得k = 0.
故直线l的斜率为0或.
注：要注重解析几何与平面向量的综合.
20．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F (c, 0) (c＞0)的准线l与x轴相交于点A，|OF| = 2|FA|，过点A的曲线与椭圆相交于P、Q两点.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若= 0，求直线PQ的方程；
（3）设，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：
解:（1）设椭圆方程为.
由得.
∴椭圆方程为，离心率.
（2）由（1）得A (3，0)，设
PQ : y = k (x– 3)，代入，得.
由△＞0，得.
由韦达定理，得.
∴ .
∵，∴，
联立解得.∴PQ : 或.
（3），.
由、及、，
并注意到，解得.∵F (2，0)、M (x1，– y1)，
∴又，
∴.
答 案
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．A 5．C
6．A 7．C 8．D 9．C 10．A
二、填空题
11． 12．
13． 14．
15．③④
16．
17．解析：由椭圆与直线联立消去，得，设、，∵，
∴又，，①
由韦达定理得，
1，
∴②
由①②联立解得
，
∴，
解得，同理解得，故所求椭圆方程为或
分析：圆锥曲线的统一定义：到定点与定直线距离之比为一个常数的点的轨迹。此题中定点F是焦点，定直线l是准线，常数k是离心率；椭圆与双曲线的离心率均是，抛物线的离心率为1。
知识与方法：记牢统一定义（第二定义），凡有“焦点”与“准线”，要自觉联想第二定义。
如图中，P到C1D1的距离是PC1，P到面ABCD的距离是PE，即P到点C1距离等于P到线BC的距离，符合抛物线的定义，选D
知识点：到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是抛物线。
分析:若P在圆O内部时：
CP+CO=CA+CO=R
点C的轨迹是以P、O为焦点的椭圆，当P、0重合时，点C的轨迹是圆；
若P在圆O上，则OPC三点共线，点C轨迹是直线OP除O、P之外的部份
知识点：到两个定点距离之和为一个常数,…….,则是椭圆
到两个定点距离之差的绝对值为一个常数,……..,则是双曲线
分析；圆方程配方后得（ EMBED Equation.3 ；
椭圆化成标准方程为：
双曲线化标准方程为：
抛物线先化成标准方程：
知识与方法：各种焦点要记牢（自查教材并默写）。椭圆与双曲线中a,b,c关系,利用图形来记会好些。
分析:先作出草图,有利于发现思路: 以点(c,0), (0,的中点坐标代入双曲线方程,可得到一个有a,b,c三个求知数的方程,消去b,得一个只有a,c的方程,各项均除以a,即可得
到一个有e的方程,解之,求出e.(若看不懂,你试着操作一次,保你成功)
知识与方法:求离心率e=,有时是解一个 含a,b,c三个求知数的方程,先消去b,再除以a
即得一个有关e的方程.
分析：抛物线y2 = 8x的准线方程是x= -2, 双曲线的准线是，故得c=4
离心率e= EMBED Equation.3 ,选A, 要求：各种准线方程先查教材，要记牢靠。
方法1:把直线与双曲线方程联立;由中点横坐标-,知x在联立方程中运用韦达定理,即可得.
解:把中,得
(B-A)x得 得5A=2B可知是选D
方法2:用两代一减方法,请查笔记或问同学,
方法1: 中点 x EMBED Equation.3 韦达定理
方法2: “两代一减”:两次用点代入方程,然后一减,得到一个弦的中点与斜率的关系式.
方法与思路:
按在题目中的各量的 “出场顺序”,依次写出各个量,最后列方程计算,
这是解析几何中最通用的方法.
解:右焦点F(c,0),右准线 一条渐近线是 的交点是A()
求三角形OAF面积得a=b,知一条渐近线为:y=x,由图知90
由图由
知识点:
由双曲线方程到渐近线方程的方法: “开方变0” (有同学还按书上的公式记,那不好记)
解:由渐近线3x-2y=0,化成 由双曲线方程得一条渐近线为,对比可知a=2. 看见PF1与PF2要想起第一定义:|PF1-PF2|=2a=4
知PF2=1或5.
知识点:三角换元法(有圆,椭圆,….等类型)
解:可设x=2cos,
x=4c+2bsin=-4s+4=f(s)
s当对称轴b /41时,知f(s)f(1)=2b 故选A(此处要一定二次函数,可画一个图象就清楚了)
知识点:直线与圆锥曲线的位置关系,此处可用判断式<0
解:直线方程是y=-x+a 代入y=x-2x-3中,得x-3x-3-a=0,由<0得
知识点:消参
解:(x-1)/2=cos, y/3=sin
上两式平方相加可消去
知识点:由渐近线到双曲线的简便方法:
解:由
c,得 代入上式双曲线方程可得答案:
解:用平面向量坐标代入等式中,化得可得
分析: ①在三角形中,两边之差要小于第三边,故k有一定范围限制才能成为双曲线;另外还有一个 “…….距离之差的绝对值为常数…..”才是双曲线的双运线的两支
②由向量条件知P是AB的中点,PA=半个弦长,即P到定点A的距离等于一个变数,故P的轨迹不是圆
③求出一根在(0,1),另一根大于1,正好是椭圆与双曲线的离心率的范围,正确.
④正确
知识点:弦长公式 ==
①
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