沪科版七年级数学上册3.1 一元一次方程及其解法 教案(共3课时)

第3章
一次方程与方程组
3.1
一元一次方程及其解法
第1课时
一元一次方程
【教学目标】
【知识与技能】
1.经历对实际问题中数量关系的分析，建立一元一次方程的过程，体会学习方程的意义在于解决实际问题.
2.通过观察，归纳一元一次方程的概念.
3.理解等式的基本性质，并利用等式的基本性质解一元一次方程.
4.初步认识方程模型，体会数学模型思想，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力.
【过程与方法】
从一个学生熟悉的实例引入一元一次方程，并通过各种师生活动加深学生对“一元一次方程”的概念和等式的基本性质的理解；并使学生会利用等式的基本性质解方程，逐步提高学生解决问题的能力.
【情感态度】
从学生的生活实际中提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，培养学生思维严谨的良好素养.
【教学重点】
重点是对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程.
【教学难点】
难点是对等式基本性质的理解与运用.
【教学过程】
一、情境导入,初步认识
【情境1】
实物投影，并呈现问题：判断下列各式是不是方程？
（1）m＝0；
（2）-2+5=3；
（3）x>3；
（4）x＋y＝8；
（5）2a+b;
(6)2x2-4x＋1=0.
你能说出什么是方程吗？
【情境2】
实物投影，并呈现问题：（1）情境漫画：好马和劣马沿同一条路径旅行，好马每天走240里，劣马每天走150里，劣马先走12天，好马若干天可以追上劣马.你能列出相应的方程吗？（2）学生问老师多少岁，老师说我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就41岁了.请你算算老师、学生各多少岁？你能列出方程吗？你能说出以上两个方程的共同点吗？
【教学说明】
学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确地列出方程，从而得出一元一次方程的概念.情境1中（1）（4）（6）是方程，含有未知数的等式叫做方程.情境2中（1）设好马x天追上劣马，列方程240x=150×12+150x；（2）学生15岁，老师28岁.设学生x岁，则老师（2x-2）岁，列出方程2x-2+x-2=41.两个方程都含有一个未知数，未知数的次数是1，且方程的两边都是整式.
【教学说明】
通过现实情景再现，让学生体会到数学模型的意义，发展学生的应用意识.通过前面的情景引入，激发学生的探究欲望，并使学生获得大量的感性材料，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣.
二、思考探究，获取新知
1.一元一次方程
问题1什么是一元一次方程？
问题2什么是一元一次方程的解？
【教学说明】
学生通过阅读教材和观察生活，在经过观察、分析后能得出结论.
【归纳结论】
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.一元一次方程的解也叫一元一次方程的根.
2.等式的基本性质
问题1等式的基本性质的内容是什么？
问题2什么是等量代换？
【教学说明】
一方面让学生经历用字母表示数，在用字母表示数和数量关系的过程中体会用字母表示数的意义，另外发展学生运用符号的意识.
【归纳结论】
等式的基本性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.用式子形式表示为：
如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a-c＝b-c.
性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式.用式子形式表示为：如果a＝b，那么ac＝bc，
(c≠0).性质3：如果a＝b，那么b＝a.(对称性).性质4：如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(传递性).在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换.
三、运用新知，深化理解
1.下列各式哪些是一元一次方程(
).
A.S＝ab
B.x-y＝0
C.x＝0
D.
＝1
E.3-1＝2
F.4y-5＝1
G.2x2＋2x＋1＝0
H.x＋2.
2.说明下列变形是根据等式的哪一条基本性质得到的？
（1）如果5x+3=7，那么5x=4
（2）如果-8x=16，那么x=-2
（3）如果3x=2x+1，那么x=1
（4）如果-8＝y，那么y＝-8.
3.检验下列各数是不是方程4x+1=9的解.
（1）x=2
（2）x=3.
4.利用等式的性质解方程：
（1）2x-4=18
（2）2y+8=5y
【教学说明】
通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识.
【答案】
1.C
F
2.（1）等式的基本性质1
（2）等式的基本性质2
（3）等式的基本性质1
（4）等式的基本性质3
3.（1）把x=2分别代入方程的左边和右边，得左边=4×2+1=9，右边=9，因为左边=右边，所以x=2是方程4x+1=9的解.
（2）把x=3分别代入方程的左边和右边，得左边＝4×3+1=13，右边=9，因为左边≠右边，所以x=3不是方程4x+1=9的解.
4.（1）x=11（2）y=
四、师生互动，课堂小结
1.什么叫一元一次方程？等式的基本性质是什么？
2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.
【教学说明】
引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
【课后作业】
1.布置作业：从教材第87页“练习”和教材第90页“习题3.1”中选取.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
【教学反思】
本节课精心预设教学的各个环节，给学生提供了较大的思考空间，创设了多个贴近学生认知规律且适合学生学习的教学情境，使学生在现实情境中了解一元一次方程的概念和等式的基本性质.列出方程表示问题中的“等量关系”，体会建立数学模型的思想.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.
第2课时
解一元一次方程—移项与合并同类项
【教学目标】
【知识与技能】
1.理解移项的概念.
2.能够运用移项、合并同类项解一元一次方程.
3.进一步让学生体会转化的思想，培养学生独立思考问题的能力.
【过程与方法】
在学生掌握等式的基本性质的基础上，引入移项法解一元一次方程，并通过各种师生活动加深学生对“移项”的概念方法运用的理解；并使学生会用移项解一元一次方程，在解决问题的过程中体会转化的思想.
【情感态度】
从学生已有的知识中提出问题，既体现知识的连贯性，又体现知识的应用性，通过对移项法解方程的学习，培养学生的应用能力.同时还有利于激发学生的学习兴趣.
【教学重点】
重点是合并同类项、移项法解方程.
【教学难点】
难点是灵活运用合并同类项、移项法解方程.
【教学过程】
一、情境导入,初步认识
【情境1】
实物投影，并呈现问题：（1）合并同类项的法则是怎样的？（2）某校三年共买了新桌椅270套，去年买的数量是前年的2倍，今年又是去年的3倍，前年这个学校买了多少套桌椅？请你帮忙解决一下，你准备怎么做，谁能说一说自己的想法.请说出你的理由？
【情境2】
实物投影，并呈现问题：把若干本书发给学生，如果每人发4本，还剩下2本；如果每人发5本，还差5本，问这个班有多少名学生？
思考对于所列出的方程如何把它向x＝a的形式转化？在解方程的过程中，你们能发现什么？
【教学说明】
学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生设出未知数并列出方程.在学生解决问题的过程中，让学生自己在解决问题的过程中发现解决问题的方法，从而总结出移项时，要改变符号.情境1（1）合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变.（2）中设前年购买新桌椅x套，可以表示出：去年购买了2x套，今年购买了6x套.列出方程x＋2x＋6x＝270.方程的左边直接合并同类项，可得9x=270，利用等式的基本性质2求出方程的解x=30.情境2中设有x名学生，列出方程4x＋2＝5x-5.利用等式的基本性质，方程两边都减（4x＋2）再两边同时加7得出x=7.在利用等式的基本性质时，可以看做把方程的一边的某项变号后移到另一边.
【教学说明】
通过知识的回顾，让学生体会到数学知识的连贯性，同时让学生体验用已有知识解决新问题的成功感受.激发学生学习的兴趣，培养学生学习数学的自信心.
二、思考探究，获取新知
移项
问题1
什么是移项？移项的依据是什么？
问题2
移项的目的是什么？移项的过程是怎样的？
【教学说明】
学生通过回顾旧知识，在经过观察、分析、类比后能得出结论.
【归纳结论】
把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.移项的依据是等式的基本性质1.移项的目的是把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边.移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程.即对移动的项进行变号的过程，没有移动的项则不变号.
三、运用新知，深化理解
1.下列变形中属于移项的是（
）.
A.由=1得x=15
B.由3x=1得x=
C.由3x-2=0得3x=2
D.由-3+2x=7得2x-3=7
2.通过移项将方程变形，错误的是(
)
A.由3x-4＝-2x＋1，得3x-2x＝1＋4
B.由y＋3＝2y-4，得y-2y＝-4-3
C.由3x-2＝-8，得3x＝-8＋2
D.由y＋2＝3-3y，得y＋3y＝3-2
3.关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
4.在方程3x-=1，x+1=，6x-5=2x-3，x+=2x中与方程2x=1的解相同的方程有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.方程4x＋3＝-3x-1的解x＝_______.
6.解方程：（1）0.6x＝50＋0.4x
（2）4x-2＝3-x
（3）-10x+2=-9x+8
7.（1）当y是什么值时，5y-10与18-3y的值相等？（2）当y是什么值时，5y-10与18-3y的值互为相反数？
【教学说明】
通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.
【答案】
1.C
2.A
3.D
4.D
5.
6.解：（1）移项，得0.6x—0.4x=50
合并同类项，得0.2x=50
系数化1，得x=250
（2）移项，得4x+x=3+2
合并同类项，得5x=5
系数化为1，得x=1
（3）移项，得-10x+9x=8-2
合并同类项，得-x=6
系数化为1，得x=-6
7.（1）5y-10=18-3y解得y=
（2）5y-10+18-3y=0解得y=-4
四、师生互动，课堂小结
1.什么是移项？移项的过程是怎样的？
2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.
【教学说明】
引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
【课后作业】
1.布置作业：从教材第88页“练习”和教材第91页“习题3.1”中选取.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
【教学反思】
本节是用“移项”、“合并同类项法”来解一元一次方程.通过本节教学，使学生认识到方程是更方便、更有力的数学工具，体会解法中蕴涵的化归思想，这将为后面几节进一步讨论一元一次方程中的“去括号”和“去分母”的解法准备理论依据.因此这节课是一节承上启下的课.在解决问题的过程中使学生了解到数学的价值，发展“用数学”的信心，提高了学生的数学素养.
第3课时
解一元一次方程—去括号与去分母
【教学目标】
【知识与技能】
1.掌握方程变形中的去括号和去分母.
2.掌握解一元一次方程的一般步骤.
3.通过一元一次方程解法及步骤的探究，体会化归思想，发展学生解决问题和分析问题的能力，培养学习具体问题具体分析的科学态度.
【过程与方法】
从学生熟悉的移项、合并同类项解方程的基础上，引出通过去括号和去分母解一元一次方程，并通过各种师生活动加深学生对解一元一次方程步骤的理解；使学生在经历学习解方程的过程中，体会转化的思想.
【情感态度】
从学生已掌握的知识的基础上提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，培养学生思维严谨的良好素养.
【教学重点】
重点是灵活掌握和运用解一元一次方程的基本程序
【教学难点】
难点是解方程时如何去分母.（①不漏乘不含分母的项②注意给分子添加括号.）
【教学过程】
一、情境导入,初步认识
【情境1】
实物投影，并呈现问题：同学们，目前初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引入了未知数，建立方程，对未知数加以运算.而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学家——“代数学之父”丢番图.丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一又过十二分之一，两颊长胡.再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？
思考所列方程与已学方程有什么区别？你能否把它转化为已学方程的形式？
【情境2】
实物投影，并呈现问题：
解方程（1）4(2-x)-60＝3(x-1)
（2）
【教学说明】
学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确列出方程，发现所得方程与已学方程的不同，从而引导学生发现解决问题的方法.得出解一元一次方程的一般步骤.情境1中设丢番图去世时的年龄为x岁，得出方程方程中有分数，可以利用等式的性质2把方程中的分数转化为整数.情境2中（1）x=-7；（2）y=
【教学说明】
通过现实情景再现，让学生通过列方程，发现所列方程与已学方程的区别，将未知问题转化为已学的知识，培养学生分析和解决问题的能力.同时，在已有的知识中获得解决问题的方法，也激发了学生学习数学的信心.
二、思考探究，获取新知
解一元一次方程的一般步骤
问题1解一元一次方程的一般步骤是什么？
问题2每一步中的依据及应注意的问题是什么？
【教学说明】
学生通过回顾旧知识，在经过观察、分析、类比后能得出结论.
【归纳结论】
解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体见下表：
步骤
根据
注意事项
去分母
等式性质2
漏乘不含分母的项；②注意给分子添括号.
去括号
分配律、去括号法则
①不漏乘括号里的项；②括号前是“-”号，要变号.
移项
移项法则
移项要变号
合并同类项
合并同类项法则
系数相加，不漏项
系数化1
等式性质2
两边同除以未知数的系数或乘以未知数系数的倒数.
三、运用新知，深化理解
1.数学小诊所：小马虎的解法对吗？如果不对，应怎么改正？
解方程
解：去分母
2（2x-1）=1-4x-1
去括号
4x-1=1-4x-1
移项
4x+4x=1-1+1
合并
8x=1
系数化为1
x=8
【教学说明】
通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对单项式与多项式的概念，单项式的系数和次数、多项式的次数、常数项有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.
【答案】1.不对，应为：
去分母：2（2x-1）=6-（4x-1）
去括号：4x-2=6-4x+1
移项：4x+4x=6+1+2
合并：8x=9
系数化为1：x=
2.解：去括号，得x--3＝x＋1.
移项，合并同类项，得-x＝.
两边同除以-1，得x＝-.
3.解：(1)去分母：3(x+1)-(x+1)=6.
去括号：3x+3-x-1=6
移项：3x-x=6-3+1
合并同类项：2x=4
系数化1：x=2.
(2)分母小数化整：
去分母，得6(4x-90)-15(x-5)＝10(3+2x).
去括号，得24x-540-15x+75=30+20x.
移项，合并同类项，得-11x＝495.
系数化为1，得x＝-45.
四、师生互动，课堂小结
1.解一元一次方程的一般步骤是什么？
2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.
【教学说明】
引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
【课后作业】
1.布置作业：从教材第89、90页“练习”中选取.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
【教学反思】
本课从情境故事和回顾知识入手，让学生自主发现解决问题的方法.在引导学生进行观察分析、归纳总结、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，能激发学生的好奇心与求知欲，提高课堂效率.
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