2019-2020学年黑龙江省大庆市肇源县八年级下学期期末数学试卷（五四学制） （Word版 含解析）

2019-2020学年黑龙江省大庆市肇源县八年级第二学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题
1．下面说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．矩形的对角线互相垂直且相等
D．正方形的对角线相等
2．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是（　　）
A．∠BAC＝90° B．BC＝2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC
3．如图所示，该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．某公园有A、B、C、D四个入口，每个游客都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝32
6．若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，则m的值等于（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
7．如图所示，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，1.2m长的竹竿垂直地面，影长为2m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m，则这棵树高约有多少米（　　）
A．6.4米 B．5.4米 C．4.4米 D．3.4米
8．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（　　）
A．反比例函数y2的解析式是y2＝﹣
B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）
C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2
D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
9．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
二、填空题（本题8小题，共24分）
11．如果＝，那么＝　 　．
12．一元二次方程（2x+1）2＝（2x+1）（x﹣1）的解为　 　．
13．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　
14．如果点（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是反比例函数y＝图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是　 　．
15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为　 　cm．
16．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB＝　 　．
17．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC为　 　．
18．如图，菱形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD边上的动点，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；其中正确结论的序号有　 　．
三、解答题（本题10小题，共66分）
19．已知三角形的一边长为7，另两边长为方程x2﹣8x+15＝0的两个根，求该三角形的周长．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若a为符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣3x+2a+1＝0的两个根为x1，x2，求x12x2+x1x22的值．
21．为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率；
（2）如果每年的增长率相同，预计2018年图书借阅总量是多少本？
22．如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
23．一个不透明的布袋中装有1个黄球和2个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）任意摸出一个球，记下颜色后放回，摇均匀再任意摸出一个球，求两次摸到球的颜色相同的概率；
（2）现将n个蓝球放入布袋，搅匀后任意摸出一个球，记录其颜色后放回，重复该实验．经过大量实验后，发现摸到蓝球的频率稳定于0.7附近，求n的值．
24．如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时大华的影长GH＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．
25．如图，△ABC的面积为36cm2，边BC＝12cm，矩形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，E，F在BC上，若EF＝2DE，求DG的长．
26．如图，一次函数y＝mx+5的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAM的面积S；
（3）在y轴上求一点P，使PA+PB最小．
27．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始，沿AB边以1cm/s的速度向点B运动：点Q从点B开始，沿BC边以2cm/s的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P、Q分别从A、B两点同时出发．
（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
（2）几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
28．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（本题10小题，共30分）
1．下面说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．矩形的对角线互相垂直且相等
D．正方形的对角线相等
【分析】根据菱形的判定定理，正方形的性质定理以及矩形的性质定理判断即可．
解：A、四边相等的四边形是菱形，故正确，故不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故不符合题意；
C、矩形的对角线互相平分且相等，故符合题意；
D、正方形的对角线相等，正确，故不符合题意；
故选：C．
2．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是（　　）
A．∠BAC＝90° B．BC＝2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC
【分析】首先证出四边形ADEF是平行四边形，再根据矩形和菱形的判定，即可得出结论．
解：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
若∠BAC＝90°，或BC＝2AE，或DE平分∠AEB，
则四边形ADEF是矩形；
若AE⊥BC，则AB＝AC，
∴四边形ADEF是菱形，
故选：D．
3．如图所示，该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可．
解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形．
故选：C．
4．某公园有A、B、C、D四个入口，每个游客都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中确定出甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果数，再利用概率公式计算可得．
解：画树状图如下：
由树状图知共有16种等可能结果，其中甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果有4种，
所以甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率为＝，
故选：B．
5．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝32
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：B．
6．若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，则m的值等于（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【分析】根据方程的两根互为倒数结合根的判别式以及根与系数的关系，即可得出关于m的一元二次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，
∴，
解得：m＝2．
故选：B．
7．如图所示，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，1.2m长的竹竿垂直地面，影长为2m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m，则这棵树高约有多少米（　　）
A．6.4米 B．5.4米 C．4.4米 D．3.4米
【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的BE．BC是BE的影子，然后加上CD加上树高即可．
解：过点C作CE∥AD交AB于点E，
则CD＝AE＝2m，△BCE∽△B′BA′，
∴A′B′：B′B＝BE：BC，
即1.2：2＝BE：4，
∴BE＝2.4，
∴AB＝2.4+2＝4.4．
答：这棵树高约有4.4m．
故选：C．
8．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（　　）
A．反比例函数y2的解析式是y2＝﹣
B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）
C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2
D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），
∴正比例函数y1＝2x，反比例函数y2＝
∴两个函数图象的另一个交点为（﹣2，﹣4）
∴A，B选项错误
∵正比例函数y1＝2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2＝中，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴D选项错误
∵当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2
∴选项C正确
故选：C．
9．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，
∴，A错误；
∴，C错误；
∴，D正确；
不能得出，B错误；
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
【分析】求出BE＝2AE，根据翻折的性质可得PE＝BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE＝30°，然后求出∠AEP＝60°，再根据翻折的性质求出∠BEF＝60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF＝2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF＝PE，判断出②错误；求出BE＝2EQ，EF＝2BE，然后求出FQ＝3EQ，判断出③错误；求出∠PBF＝∠PFB＝60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确．
解：∵AE＝AB，
∴BE＝2AE，
由翻折的性质得，PE＝BE，
∴∠APE＝30°，
∴∠AEP＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BEF＝（180°﹣∠AEP）＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠EFB＝90°﹣60°＝30°，
∴EF＝2BE，故①正确；
∵BE＝PE，
∴EF＝2PE，
∵EF＞PF，
∴PF＜2PE，故②错误；
由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ＝∠EFB＝30°，
∴BE＝2EQ，EF＝2BE，
∴FQ＝3EQ，故③错误；
由翻折的性质，∠EFB＝∠EFP＝30°，
∴∠BFP＝30°+30°＝60°，
∵∠PBF＝90°﹣∠EBQ＝90°﹣30°＝60°，
∴∠PBF＝∠PFB＝60°，
∴△PBF是等边三角形，故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选：D．
二、填空题（本题8小题，共24分）
11．如果＝，那么＝　　．
【分析】直接利用已知得出x，y的关系，进而代入原式化简即可．
解：∵＝，则x＝y，
∴＝＝＝．
故答案为：．
12．一元二次方程（2x+1）2＝（2x+1）（x﹣1）的解为　x1＝﹣，x2＝﹣2　．
【分析】利用因式分解法求解可得．
解：∵（2x+1）2＝（2x+1）（x﹣1），
∴（2x+1）2﹣（2x+1）（x﹣1）＝0，
则（2x+1）（x+2）＝0，
∴2x+1＝0或x+2＝0，
解得x1＝﹣，x2＝﹣2，
故答案为：x1＝﹣，x2＝﹣2．
13．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　k≤0且k≠﹣1　
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k+1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0且k≠﹣1．
故答案为k≤0且k≠﹣1．
14．如果点（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是反比例函数y＝图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是　y2＞y3＞y1　．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可
解：∵1＞0，
∴反比例函数y＝图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0，
∴A点在第三象限，
∴y1＜0，
∵2＞1＞0，
∴B、C两点在第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∴y2＞y3＞y1．
故答案是：y2＞y3＞y1．
15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为　（5﹣5）　cm．
【分析】利用黄金分割的定义计算出AP即可．
解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB＝×10＝5﹣5（cm），
故答案为：（5﹣5）
16．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB＝　1：4　．
【分析】根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE＝BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．
解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴＝，△DOE∽△COB，
∴＝（）2＝（）2＝，
故答案为：．
17．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC为　1：6　．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，计算得到答案．
解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴＝＝，
∴AF：FC＝1：6，
故答案为：1：6．
18．如图，菱形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD边上的动点，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；其中正确结论的序号有　①②③　．
【分析】①可证明△BEC≌△AFC （SAS），正确；②由△BEC≌△AFC，得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，由∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，得∠ACF+∠ECA＝60，所以△CEF是等边三角形，正确；③因为∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG，∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，所以∠AGE＝∠AFC，故③正确．
解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAC＝∠CAD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠CAD＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴∠B＝∠CAD＝60°，BC＝AC，
∵BE＝AF，
∴△BEC≌△AFC （SAS），
故①正确；
②∵△BEC≌△AFC，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ACF+∠ECA＝60，
∴△CEF是等边三角形，
故②正确；
③∵∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；
∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，
∴∠AGE＝∠AFC，
故③正确正确．
故答案为：①②③．
三、解答题（本题10小题，共66分）
19．已知三角形的一边长为7，另两边长为方程x2﹣8x+15＝0的两个根，求该三角形的周长．
【分析】先利用因式分解法求出方程的解，从而得出三角形另外两边的长度，再根据周长公式求解可得．
解：∵x2﹣8x+15＝0，
∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝3，x2＝5，
则三角形的周长为7+3+5＝15．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若a为符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣3x+2a+1＝0的两个根为x1，x2，求x12x2+x1x22的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4（2a+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据（1）中a的范围确定a＝0，原方程化为x2﹣3x+1＝0，根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1?x2＝1，而x12x2+x1x22＝x1?x2（x1+x2），然后利用整体代入方法计算即可．
解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（2a+1）＞0，
解得a＜；
（2）∵a＜，
∴a的最大整数为0，
把a＝0代入原方程得x2﹣3x+1＝0，
则x1+x2＝3，x1?x2＝1
∴x12x2+x1x22＝x1?x2（x1+x2）＝1×3＝3．
21．为响应国家全民阅读的号召，社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率；
（2）如果每年的增长率相同，预计2018年图书借阅总量是多少本？
【分析】（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书7500（1+x）2本，即可列方程求解；
（2）根据增长率来求2018年图书借阅总量．
解：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得
7500（1+x）2＝10800，
即（1+x）2＝1.44，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）
答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；
（2）10800（1+0.2）＝12960（本）．
答：预计2018年图书借阅总量是12960本．
22．如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
【分析】由在△ABC和△ADE中，＝＝，可证得△ABC∽△ADE，即可证得∠BAD＝∠CAE，又由＝，即可证得：△ABD∽△ACE．
【解答】证明：∵在△ABC和△ADE中，＝＝，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，
∴，
∴△ABD∽△ACE．
23．一个不透明的布袋中装有1个黄球和2个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）任意摸出一个球，记下颜色后放回，摇均匀再任意摸出一个球，求两次摸到球的颜色相同的概率；
（2）现将n个蓝球放入布袋，搅匀后任意摸出一个球，记录其颜色后放回，重复该实验．经过大量实验后，发现摸到蓝球的频率稳定于0.7附近，求n的值．
【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到两次摸到球的颜色相同的结果数，再根据概率公式求解可得；
（2）根据概率公式列出关于n的方程，解之可得．
解：（1）画树状图如下：
由树状图知共有9种等可能结果，其中两次摸到球的颜色相同的有5种结果，
所以两次摸到球的颜色相同的概率为；
（2）根据题意，得：＝0.7，
解得：n＝7，
经检验：n＝7是原分式方程的解，
所以n＝7．
24．如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时大华的影长GH＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．
【分析】根据相似三角形的判定，由CD∥AB得△EAB∽△ECD，利用相似比有＝，同理可得＝，然后解关于AB和BD的方程组求出AB即可．
解：∵CD∥AB，
∴△EAB∽△ECD，
∴＝，即＝①，
∵FG∥AB，
∴△HFG∽△HAB，
∴＝，即＝②，
由①②得＝，
解得BD＝7.5，
∴＝，解得：AB＝7．
答：路灯杆AB的高度为7m．
25．如图，△ABC的面积为36cm2，边BC＝12cm，矩形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，E，F在BC上，若EF＝2DE，求DG的长．
【分析】作AH⊥BC于H，交DG于Q，如图，易得四边形DEHQ为矩形，则QH＝DE，利用三角形面积公式计算出AH＝6，设DE＝x，则QH＝x，DG＝EF＝2x，AQ＝AH﹣QH＝6﹣x，证明△ADG∽△ABC，利用相似比得到＝，然后求出x，从而得到DG的长．
解：作AH⊥BC于H，交DG于Q，如图，
易得四边形DEHQ为矩形，
∴QH＝DE，
∵△ABC的面积为36cm2，
∴AH?BC＝36，
∴AH＝＝6，
设DE＝x，则QH＝x，DG＝EF＝2x，AQ＝AH﹣QH＝6﹣x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝3，
∴DG＝2x＝6，
即DG的长为6cm．
26．如图，一次函数y＝mx+5的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAM的面积S；
（3）在y轴上求一点P，使PA+PB最小．
【分析】（1）根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可；
（2）根据反比例函数的性质，xy＝k＜直接求出面积即可；
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（﹣1，4），连接BN交y轴于点P，点P即为所求．
解：（1）将B（4，1）代入得：，
∴k＝4，
∴，
将B（4，1）代入y＝mx+5，
得：1＝4m+5，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣x+5，
（2）在中，令x＝1，
解得y＝4，
∴A（1，4），
∴S＝＝2，
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（﹣1，4），
连接BN交y轴于点P，点P即为所求．
设直线BN的关系式为y＝kx+b，
由，
得，
∴，
∴P（0，）
27．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始，沿AB边以1cm/s的速度向点B运动：点Q从点B开始，沿BC边以2cm/s的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P、Q分别从A、B两点同时出发．
（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
（2）几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【分析】（1）设t秒后△PBQ的面积等于8cm，此时，AP＝t，BP＝6﹣t，BQ＝2t，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP＝x，BP＝6﹣x，BQ＝2x，再分△BPQ∽△BAC与△BPQ∽△BCA两种情况进行讨论即可．
解：（1）设t秒后△PBQ的面积等于8cm，此时，AP＝t，BP＝6﹣t，BQ＝2t，
∵S△PBQ＝BP?BQ，即（6﹣t）×2t＝8，即t2+6t+8＝0，解得t1＝2，t2＝4．
∴2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP＝x，BP＝6﹣x，BQ＝2x，
①若△BPQ∽△BAC，则＝，即＝，解得x＝3；
②若△BPQ∽△BCA，则＝，即＝，解得x＝1.2．
综上所述，1.2秒或3秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
28．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF＝∠AEB及∠PFA＝∠ABE＝90°；故可得△PFA∽△ABE；
（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF＝∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF＝∠AEB．
∵∠PFA＝∠ABE＝90°，
∴△PFA∽△ABE．
（2）解：若△EFP∽△ABE，则∠PEF＝∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA＝EB＝2，即x＝2．
若△PFE∽△ABE，则∠PEF＝∠AEB．
∵∠PAF＝∠AEB，
∴∠PEF＝∠PAF．
∴PE＝PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE＝＝2，
∴EF＝AE＝．
∵，即，
∴PE＝5，即x＝5．
∴满足条件的x的值为2或5．