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数学HS版九年级上
第23章
23.3.2.2
第23章
图形的相似
归
类
探
究
当
堂
测
评
分
层
作
业
23.3
相似三角形
学
习
指
南
知
识
管
理
2
相似三角形的判定
第2课时
相似三角形的判定定理2、3
学
习
指
南
知
识
管
理
也找不到时
夹角相等
成比例
当两个三角形一对角相等
归
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当
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A
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C
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A
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第23章 图形的相似
23.3
相似三角形
2.相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定定理1
[学生用书P50]
1．[2019·赤峰]如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是______________(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)．
3．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
4．如图，在△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△ADE.
5．如图，D是△ABC的边AC上的一点，连结BD.已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4.求线段CD的长．
6．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1＝∠2＝∠3.求证：△BCD∽△CDE.
7．[2019·南昌二模]如图，在?ABCD中，E是BC延长线上的一点，AE与CD交于点F.求证：△ADF∽△EBA.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE，求证：△DEF∽△BDE.
9．如图，AD、BE是钝角△ACB的边BC、AC上的高，求证：＝.
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
(2)选择(1)中一对加以证明．
11．如图，B、C、D三点在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N.求证：
(1)AD＝BE;
(2)△ABF∽△ADB.
12．(逻辑推理)如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC交于点G，连结CF.求证：
(1)△DAE≌△DCF；
(2)△ABG∽△CFG.
参考答案
[学生用书P50]
1．
C
2．
AB∥DE(答案不唯一)
3．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG.
4．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE.
又∵∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE.
5．解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴＝，
即＝，
∴AC＝9，
∴CD＝AC－AD＝9－4＝5.
6．证明：∵∠DEC＝∠1＋∠A，∠BDC＝∠3＋∠A，
又∵∠1＝∠3，
∴∠BDC＝∠DEC.
又∵∠2＝∠3，
∴△BCD∽△CDE.
7．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAE，
∴△ADF∽△EBA.
8．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵DE∥BC，
∴∠ABC＋∠BDE＝180°，
∠ACB＋∠CED＝180°，
∴∠BDE＝∠CED.
又∵∠EDF＝∠ABE，
∴△DEF∽△BDE.
9．证明：在△ACD和△BCE中，
∵∠ACD＝∠BCE，
∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝.
10．(1)解：△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD.
(2)证明：①∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
∵BD为角平分线，
∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A.
在△ADE和△BDE中，
∴△ADE≌△BDE(AAS)．
②∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
∵BD为角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°＝∠A.
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD.
11．证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠ACE＝∠ACE＋∠DCE，
即∠BCE＝∠ACD.
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD＝BE；
(2)由(1)知△BCE≌△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD.
又∵∠BMC＝∠AMF，
∴∠AFB＝∠ACB＝60°＝∠ABC.
又∵∠BAF＝∠DAB，
∴△ABF∽△ADB.
12．证明：(1)在等腰直角三角形DEF，正方形ABCD中有DE＝DF，DC＝DA，∠B＝∠EDF＝∠ADC＝90°，∠EFD＝∠DEF＝45°.
∵∠CDF＋∠ADF＝∠ADE＋∠ADF＝90°，
∴∠CDF＝∠ADE.
在△DAE和△DCF中，
∴△DAE≌△DCF(SAS)．
(2)由(1)知∠DFC＝∠DEF＝45°.
∵∠EFD＝45°，∠DFC＝45°，
∴∠CFG＝∠DFC＋∠DFE＝90°，
∴∠CFG＝∠B.
又∵∠CGF＝∠AGB，
∴△ABG∽△CFG.
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数学HS版九年级上
第23章
23.3.2.1
第23章
图形的相似
归
类
探
究
当
堂
测
评
分
层
作
业
23.3
相似三角形
学
习
指
南
知
识
管
理
2
相似三角形的判定
第1课时
相似三角形的判定定理1
学
习
指
南
知
识
管
理
对应相等
归
类
探
究
当
堂
测
评
C
C
△ACB
C
相似三角形
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两
角对应相等，那么这两个三角形相似
两角对应相等的两个三角形相似
分
层
作
业
C
AB∥DE(答案不唯一)
分
层
作
业
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B
A组·基础达标
E
D
B
G
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C
B
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人
2
B
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B组·能力提升
G
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B
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M
B
D
A
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第23章 图形的相似
23.3
相似三角形
2.相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定定理2、3
1．下列各条件中，能判断△ABC∽△A′B′C′的是( )
?A．AB＝3A′B′，∠A＝∠A′
?B.＝，∠B＝∠B′
?C.＝，∠A＋∠C＝∠A′＋∠C′
?D．∠A＝40°，∠B＝80°，∠A′＝80°，∠B′＝70°
2．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )
?A．∠ABD＝∠ACB
?B．∠ADB＝∠ABC
?C．AB2＝AD·AC
?
D.＝
3．[2019·雅安]如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C
1相似的是( )
A
B
C
D
4．如图，已知正方形ABCD的边长AD＝4，PC＝1，CQ＝DQ＝2.求证：△ADQ∽△QCP.
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连结DE，且BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.
6．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB2＝BD·CE，求证：△ABD∽△ECA.
7．[2019·下城区期末]如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形．请在图中找出与△HBC相似的三角形，并说明它们相似的理由．
8．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
9．[2019秋·浦东新区校级月考]如图，BD、CE为△ABC的高，求证：△AED∽△ACB.
10．[2019秋·宝应县期中]如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE.求证：
(1)△ABC∽△ADE；
(2)△AEF∽△BCF.
11．[2018·普陀区一模]如图，已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD＝DC，DC2＝DE·DB.求证：
(1)△BCE∽△ADE；
(2)AB·BC＝BD·BE.
12．(逻辑推理)[2018·浦东新区一模]如图，已知在锐角△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，连结BD交CE于点F，且EF·FC＝FB·DF.
(1)求证：BD⊥AC；
(2)连结AF，求证：AF·BE＝BC·EF.
参考答案
1．
C
2．
D
3．
B
4．证明：∵＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.
5．证明：∵在Rt△ABC中，
∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∴DB＝AD－AB＝5，
∴DB∶AB＝1∶2.
又∵EB＝CE－BC＝3，
∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB.
又∵∠DBE＝∠ABC，∴△ABC∽△DBE.
6．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵AB2＝BD·CE，
∴＝，即＝，
∴△ABD∽△ECA.
7．解：△DBH∽△HBC.
理由：∵四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，
∴A、B、C、D在一条直线上，∠A＝90°，
设AB＝x，则AH＝BC＝CD＝x，
∴BH＝x，BD＝2x，
∴＝.
又∵∠DBH＝∠HBC，
∴△DBH∽△HBC.
8．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【解析】
∵∠A＝∠A，分两种情况：①当＝时，△ADE∽△ABC，如答图1，即＝，∴AE＝；②当＝时，△ADE∽△ACB，如答图2，即＝，∴AE＝.综上所述，当AE＝或时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
答图1
答图2
9．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，且∠EAC＝∠BAD，
∴△ADB∽△AEC，
∴＝.
又∵∠EAD＝∠CAB，
∴△AED∽△ACB.
10．解：(1)∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，＝，
∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE.
(2)∵△ABC∽△ADE，∴∠C＝∠E.
在△AEF和△BCF中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF∽△BCF.
11．证明：(1)∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA.
∵DC2＝DE·DB，∴＝.
又∵∠CDE＝∠BDC，∴△CDE∽△BDC，
∴∠EBC＝∠DCE＝∠DAE.
又∵∠BEC＝∠AED，∴△BCE∽△ADE；
(2)∵DC2＝DE·DB，AD＝DC，
∴AD2＝DE·DB，∴＝.
又∵∠ADE＝∠BDA，∴△ADE∽△BDA.
∵△BCE∽△ADE，∴△BCE∽△BDA，
∴＝，即AB·BC＝BD·BE.
12．证明：(1)∵EF·FC＝FB·DF，
∴＝.
又∵∠EFB＝∠DFC，
∴△EFB∽△DFC，
∴∠FEB＝∠FDC.
∵CE⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠FDC＝90°，
∴BD⊥AC；
(2)∵△EFB∽△DFC，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵CE⊥AB，
∴∠FEB＝∠AEC＝90°，
∴△AEC∽△FEB，
∴＝，
∴＝.
又∵∠AEC＝∠FEB＝90°，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝，
∴AF·BE＝BC·EF.
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