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第23章 图形的相似
23.3
相似三角形
3.相似三角形的性质
1．[2019·常州]若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为( )
A．2∶1
B．1∶2
C．4∶1
D．1∶4
2．[2019·巴中]如图，在?ABCD中，F为BC中点，延长AD至点E，使DE∶AD＝1∶3，连接EF交DC于点G，则S△DEG∶S△CFG等于( )
A．2∶3
B．3∶2
C．9∶4
D．4∶9
3．[2019·枣庄]如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9，若AA′＝1，则A′D等于( )
A．2
B．3
C．4
D.
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD＝1，BC＝4，则△AOD与△BOC的面积比等于( )
?A?.
?B?.
?C?.
?D?.
5．[2019·淄博]如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为( )
A．2a
B.a
C．3a
D.a
6．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．
7．如图，在△ABC中，点D在AB上，AD＝1，点E在AC上，满足∠AED＝∠B.若S△ADE∶S△ABC＝4∶25，求AC的长．
8．[2019·常德]如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是( )
A．20
B．22
C．24
D．26
9．一副三角板叠放如图，则△AOB与△DOC的面积之比为________．
10．如图，已知在△ABC中，PN∥BC，AD⊥BC交PN于点E，交BC于点D.
(1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18
cm2，求S△APN的值；
(2)若＝，求的值．
11．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP.
12．[2019秋·诸暨市期中]如图1，△ABC是一块等腰三角形的废铁片，其中AB＝AC＝10
cm，BC＝12
cm.利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．
图1
图2
(1)小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．请你帮小聪求出正方形的边长；
(2)小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是：
①在AB边上任取一点G′，如图2，作正方形G′D′E′F′；
②连接BF′并延长交AC于点F；
③过点F作FE∥F′E′交BC于点E，FG∥F′G′交AB于点G，GD∥G′D′交BC于点D，则四边形DEFG即为所求的正方形．你认为小明的作法正确吗？请说明理由．
13．(数学建模和逻辑推理)若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形．如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB，则称四边形ABCD为方形．
(1)设a、b是方形的一组邻边，写出a、b的值(一组即可)；
(2)在△ABC中，将AB、AC分为五等份，连结两边对应的等分点，以这些连线为一边作矩形，使得这些矩形的边B1C1、B2C2、B3C3、B4C4的对边分别在B2C2、B3C3、B4C4、BC上，如图2所示．
①若BC＝25，BC边上的高为20，判断以B4C4为一边的矩形是不是方形，为什么？
②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．
图1
图2
参考答案
1．
B
【解析】
本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知△ABC与△A′B′C′的周长的比为1∶2，因此本题选B.
2．
D
【解析】
因为DE∶AD＝1∶3，F为BC中点，所以DE∶CF＝2∶3，?ABCD中DE∥CF，所以△DEG∽△CFG，相似比为2∶3，所以S△DEG∶S△CFG＝4∶9.
3．
B
【解析】
由平移，可得△ABC∽△A′MN，设相似比为k，∵S△ABC＝16，S△A′MN＝9，∴k2＝16∶9，∴k＝4∶3.∵AD和A′D分别为两个三角形的中线，∴AD∶A′D＝k＝4∶3.∵AD＝AA′＋A′D，∴AA′∶A′D＝1∶3.∵AA′＝1，∴A′D＝3.
4．D
5．C
【解析】
在△BAC和△ADC中，∵∠C是公共角，∠CAD＝∠B.，∴△BAC∽△ADC，∴＝2，∴＝＝4.又∵△ADC的面积为a，∴△ABC的面积为4a，∴△ABD的面积为3a.
6．
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴＝＝.
又∵∠D＝∠A，
∴△DEF∽△ABC，相似比为，
∴＝＝，C△DEF＝12；
＝＝，S△DEF＝12.
7．解：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝＝，
∴AC＝AD＝.
8．
D
【解析】
∵图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，∴最小的三角形与△ABC的相似比为，∵△ADE∽△ABC，∴＝.∵＝4×＝，∴＝＝，∴S△ADE＝×42＝16，∴四边形DBCE的面积SDBCE＝S△ABC－S△ADE＝26，故选项D正确．
9．
1∶3
10．解：(1)∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝＝＝＝，
即S△APN＝×18＝2
cm2；
(2)∵＝，∴＝.
又∵AD⊥BC，PN∥BC，
∴AE⊥PN，∴＝＝.
11．解：(1)∵S△PQC＝S四边形PABQ，且S△PQC＋S四边形PABQ＝S△ABC，
∴S△PQC∶S△ABC＝1∶2.
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC.
∴S△PQC∶S△ABC＝＝1∶2，
∴PC2＝42×，
∴PC＝2；
(2)∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，
∴PC＋CQ＋PQ＝PA＋AB＋QB＋PQ，
∴PC＋CQ＝PA＋AB＋QB，
又∵PC＋CQ＋PA＋AB＋QB＝AC＋BC＋AB，
∴PC＋CQ＝PA＋AB＋QB＝(AB＋BC＋AC)＝6，
∴CQ＝6－CP.
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∴＝＝＝，解得CP＝.
12．解：(1)设正方形的边长为x，作△ABC的高AH.
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝10
cm，BC＝12
cm，
∴BH＝CH＝BC＝6
cm，
∴AH＝＝8
cm.
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝，
解得x＝，
∴正方形的边长为.
(2)正确，
由已知可知，四边形GDEF为矩形，
∵FE∥F′E′，
∴△BE′F′∽△BEF，
∴＝，
同理＝，
∴＝，
∴FE＝FG，
∴矩形GDEF为正方形．
13．解：(1)答案不唯一，如a＝3，b＝6；
(2)①根据题意，得＝，
∴B4C4＝25×＝20.
又∵20÷5＝4≠10，
∴以B4C4为边的矩形不是方形．
②设BC边上的高为h，
根据题意，得＝.
若B3C3＝2×h，则＝；
若B3C3＝×h，则＝.
综上所述，BC与BC边上的高之比为或.
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数学HS版九年级上
第23章
23.3.3
第23章
图形的相似
23.3
相似三角形
3
相似三角形的性质
相似比的平方
相似比
相似比
相似比
B
4∶9
A
1∶2
2∶3
2∶3
2∶3
B
D
B
D
D
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20
12
B
E
B
A组·基础达标
B
M
DNC
B
B
B组·能力提升
B
C
A
O
B
A
C
Q
A
B
