2.2等差数列课件（苏教版必修5）
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(共12张PPT)
观察下列数列：
（1） 6，3，0，－3，－6，－9，…
（2） 1，11，21，31，41，…
（3） 1，1，1，1，…
请同学们仔细观察，看看以上三个数列有什么共同的特征？
共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数。
我们给具有这种特征的数列一个名字------等差数列
定义：如果一个数列从第 ___ 项起，每一项与它的 ___ __的差等于 _____ 一常数 d，这个数列叫做 __________ ，d 为此数列的 __________。
二
前一项
同
等差数列
公差
问题1：由数列的前几项（有限项）按定义作差都为同一常数，能否说明此数列为等差数列？
不能
问题2：公差d一定是由 项减 项所得。
后
前
问题3：判断数列为等差数列的方法：
a n －a n －1 = d ( n ≥ 2 )
或 a n + 1 －a n = d ( n ≥ 1 )
等差数列的通项公式如何求？
设等差数列 { a n }的公差为 d ，则有
a n －a n －1 = ____
a 2 －a 1 = _____
a 3 －a 2 = _____
a 4 －a 3 = _____
……
+ )
d
d
d
d
n－1个
a n －a 1 = ( n－1 ) d
—— 递推求和法
设等差数列 { a n }的公差为 d ，则有
a 2 = a 1 + ____
d
a 3 = a 2 + __ = a 1 + ___
d
2d
a 4 = a 3 + __ = a 1 + ___
d
3d
……
a n = a n －1 + _____ = a 1 + ______
d
（n-1)d
即：a n = a 1 + （n-1)d
—— 猜想论证法
等差数列的通项公式：
若等差数列 { a n } 的首项为 a 1，公差为 d ，则通项公式为
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +
等差数列中，a n 是 n 的 ____________，
图象特点 _________________________
一次函数
直线上的一些有规律的点
或 a n 是常数函数，公差为 d = _______
0
例1.(1)求等差数列8 , 5 , 2 ,…的第20项.
(2) － 401是不是等差数列－ 5, － 9, － 13, …的项 如果是,是第几项
解:(1)由a 1 = －1，公差 d = －3,n =20,
a20 =8 + (20 － 1) ×(－3)= －49
(2)由a 1 = －1，公差 d = －4,得数列的通项公式为
a n = － 5 －4 ( n－1 )
由 － 401 = － 5 －4 ( n－1 )
∴ n = 100
即－ 401是这个数列的第 100项
例2、在等差数列{ a n }中,已知a5=10 , a12 =31，求a1、d、 a20、an .
解：∵ a5=10 ， a12 =31，则
a1+4d = 10
a1+11d = 31
a1= － 2
d = 3
∴an =a1+(n － 1)d=3n － 5
a20 =a1+(20 － 1)d=55
例3 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。
解：设{ a n }表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。
由已知条件，
可知： a 1 =33， a 12 =110， n=12
∴ a 12 = a1+(12 － 1)d，即10=33+11 d
解得d=7
因此， a 2 =40， a 3 =47
…
答：梯子…
例4已知数列{ a n }的通项公式a n =pn+q，其中 p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定{ a n }是不是等差数列，只要看a n －a n －1 ( n ≥ 2 )是不是一个与n无关的常数。
解：当n ≥ 2时
a n －a n －1 = pn+q － [p（n － 1） +q]= p
这是一个与n无关的常数，所以数列{ a n }是等差数列，首项为p+q，公差为p。
注：（1）若p=0，则{ a n }为公差为0的等差数列，即为常数列q ， q ， q ， …
（2）若p≠0，则a n 是关于n的一次函数，
图象特点是表示数列的各点均在一次函数y =px+q的图象上，一次项的系数是公差。
（3）数列{ a n }为等差数列的充要条件是其通项a n =pn+q（ p、q是常数）
观察下列数列：
（1） 6，3，0，－3，－6，－9，…
（2） 1，11，21，31，41，…
（3） 1，1，1，1，…
请同学们仔细观察，看看以上三个数列有什么共同的特征？
共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数。
我们给具有这种特征的数列一个名字------等差数列
定义：如果一个数列从第 ___ 项起，每一项与它的 ___ __的差等于 _____ 一常数 d，这个数列叫做 __________ ，d 为此数列的 __________。
二
前一项
同
等差数列
公差
问题1：由数列的前几项（有限项）按定义作差都为同一常数，能否说明此数列为等差数列？
不能
问题2：公差d一定是由 项减 项所得。
后
前
问题3：判断数列为等差数列的方法：
a n －a n －1 = d ( n ≥ 2 )
或 a n + 1 －a n = d ( n ≥ 1 )
等差数列的通项公式如何求？
设等差数列 { a n }的公差为 d ，则有
a n －a n －1 = ____
a 2 －a 1 = _____
a 3 －a 2 = _____
a 4 －a 3 = _____
……
+ )
d
d
d
d
n－1个
a n －a 1 = ( n－1 ) d
—— 递推求和法
设等差数列 { a n }的公差为 d ，则有
a 2 = a 1 + ____
d
a 3 = a 2 + __ = a 1 + ___
d
2d
a 4 = a 3 + __ = a 1 + ___
d
3d
……
a n = a n －1 + _____ = a 1 + ______
d
（n-1)d
即：a n = a 1 + （n-1)d
—— 猜想论证法
等差数列的通项公式：
若等差数列 { a n } 的首项为 a 1，公差为 d ，则通项公式为
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +
等差数列中，a n 是 n 的 ____________，
图象特点 _________________________
一次函数
直线上的一些有规律的点
或 a n 是常数函数，公差为 d = _______
0
例1.(1)求等差数列8 , 5 , 2 ,…的第20项.
(2) － 401是不是等差数列－ 5, － 9, － 13, …的项 如果是,是第几项
解:(1)由a 1 = －1，公差 d = －3,n =20,
a20 =8 + (20 － 1) ×(－3)= －49
(2)由a 1 = －1，公差 d = －4,得数列的通项公式为
a n = － 5 －4 ( n－1 )
由 － 401 = － 5 －4 ( n－1 )
∴ n = 100
即－ 401是这个数列的第 100项
例2、在等差数列{ a n }中,已知a5=10 , a12 =31，求a1、d、 a20、an .
解：∵ a5=10 ， a12 =31，则
a1+4d = 10
a1+11d = 31
a1= － 2
d = 3
∴an =a1+(n － 1)d=3n － 5
a20 =a1+(20 － 1)d=55
例3 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。
解：设{ a n }表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。
由已知条件，
可知： a 1 =33， a 12 =110， n=12
∴ a 12 = a1+(12 － 1)d，即10=33+11 d
解得d=7
因此， a 2 =40， a 3 =47
…
答：梯子…
例4已知数列{ a n }的通项公式a n =pn+q，其中 p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定{ a n }是不是等差数列，只要看a n －a n －1 ( n ≥ 2 )是不是一个与n无关的常数。
解：当n ≥ 2时
a n －a n －1 = pn+q － [p（n － 1） +q]= p
这是一个与n无关的常数，所以数列{ a n }是等差数列，首项为p+q，公差为p。
注：（1）若p=0，则{ a n }为公差为0的等差数列，即为常数列q ， q ， q ， …
（2）若p≠0，则a n 是关于n的一次函数，
图象特点是表示数列的各点均在一次函数y =px+q的图象上，一次项的系数是公差。
（3）数列{ a n }为等差数列的充要条件是其通项a n =pn+q（ p、q是常数）