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第七讲
函数的概念
【学习目标】
l.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；
2.掌握构成函数的三要素，会求判断相等的函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.能根据函数解析式求函数值
【知识要点】
1.函数的定义：
一般地,设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作，其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
2．函数的三要素：
定义域、值域、对应法则
3．f(x)与f(a)的区别：
f(a)表示当x=a时函数f
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)(x)的值（即函数值）。在一般情况下，f(x)是一个变量（随着x的值而变化），而f(a)是常量。通常求f(a)只需要令f(x)中的x=a并求出最后结果就行.
【新知探究】
探究：阅读下面材料，回答问题
（1）一枚炮弹发射后,经过落到地面击中目标.炮弹的射高为,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是.时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集.则有对应21教育网
（2）近几十年来,大气层的臭氧迅速减
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)少,因而出现了臭氧洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106
km2)随时间t(单位:年)从1991~2001年的变化情况.www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
图1
根据图1中的曲线,可知时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集,则有对应:
（3）国际上常用恩格尔系数反映一个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.2·1·c·n·j·y
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
恩格尔系数y
53.8
52.9
50.1
49.9
49.921世纪教育网
48.6
46.4
44.5
41.9
39.2
37.921世纪教育网
根据上表,可知时间t的变化范围是数集A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数y的变化范围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应:21世纪教育网版权所有
思考：分析归纳以上三个实例，他们有什么共同特点？
函数的定义
一般地,设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作,其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
说明:
①A、B是非空数集.
并且对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.21cnjy.com
②函数的三要素:函数是由
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定义域、值域以及定义域到值域的对应法则三部分组成的映射，故称定义域、值域、对应法则为函数的三大要素。21世纪教育网【来源：21·世纪·教育·网】
③函数值:
，则f(a)表示为函数值。函数的值域是指当x取遍定义域中所有的值求得的值的集合，
④f(x)是表示关于变量x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的函数,又可以表示自变量x对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f(x)没有什么意义.符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.
f(a)表示当x=a时函数f(x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?))的值（即函数值）。在一般情况下，f(x)是一个变量（随着x的值而变化），而f(a)是常量。通常求f(a)只需要令f(x)中的x=a并求出最后结果就行
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【精讲精练】
一．函数的概念
例1
下列式子中不能表示函数的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】：
【解析】：由函数定义：对于每一个，有唯一与之对应
例2
下列图象可以作为函数的图象的是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】：
【解析】：由函数定义，做一条与轴垂直的直线与图像只有一个交点。
变式
下列图象是函数图象的有(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
图1
A．3个
B．4个
C．5个
D．7个
【答案】：
【解析】：由函数定义，做一条与轴垂直的直线与图像只有一个交点。
二．函数的三要素
例3
（1）判断与是否相等
（2），，是否相等，并说明理由
【答案】：（1）相等；（2）不相等
【解析】：（1）相等，函数三要素都相同；（2）不相等，定义域不同
例4
判断下列各组中的函数与是否相等，并说明理由．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），.21世纪教育网
（7）.
【答案】：相等：（3）（4）（6）
【解析】：（1）定义域不同；（2）解析式不同；（5）定义域不同；（7）定义域不同
变式
判断下列各组中的两个函数是同一函数的为
A．
B．
C．
D．
【答案】：
【解析】：定义域不同；解析式不同；定义域不同
三．求函数值
例5
已知
，则
（其中）
【答案】：，，
【解析】：，
变式
已知函数，
（1）若，求
（2）集合，则______
【答案】：（1）；（2）
【解析】：（1），；
（2），则的取值
例6
已知，则
【答案】：4
【解析】：
变式
设函数是π的小数点后的第n位数字,π=3.1415926535…,则.
【答案】：3
【解析】：
例7
已知，求，
【答案】：，
【解析】：，
变式
已知，，求，，，
【答案】：
【解析】：；；
；
【思维拓展】
1
已知函数满足:，
(均为整数)，求：
【答案】：
【解析】：；
同理：
∴原式=
【课外作业】
1．下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是（
）21·cn·jy·com
【答案】：
【解析】：由函数定义，做一条与轴垂直的直线与图像只有一个交点。
2．下列各组函数是同一函数的是（
）
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
【答案】：
【解析】：定义域不同；定义域不同；解析式不同
3．函数的图象与直线的公共点数目是（
）
A.
B.
C.
或
D.
或
【答案】：
【解析】：由函数定义，做一条与轴垂直的直线与图像最多只有一个交点。
4．已知函数
（1）点在的图象上吗
（2）当时，求的值
（3）当时，求的值
【答案】：（1）不在；（2）；（3）
【解析】：（1）令，得；（2）令，得
（3）由，得。
1
2
3
3
2
1
5．已知函数，分别由下表给出
1
2
3
2
1
1
则的值为
；当时，
．
【答案】：；
【解析】：；，得
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第七讲
函数的概念
【学习目标】
l.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；
2.掌握构成函数的三要素，会求判断相等的函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.能根据函数解析式求函数值
【知识要点】
1.函数的定义：
一般地,设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作，其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
2．函数的三要素：
定义域、值域、对应法则
3．f(x)与f(a)的区别：
f(a)表示当x=a时函数f(x)的值（即函数值）。在一般情况下，f(x)是一个变量（随着x的值而变化），而f(a)是常量。通常求f(a)只需要令f(x)中的x=a并求出最后结果就行.
【新知探究】
探究：阅读下面材料，回答问题
（1）一枚炮弹发射后,经过落到地面击中目标.炮弹的射高为,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是.时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集.则有对应21世纪教育网版权所有
（2）近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)出现了臭氧洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106
km2)随时间t(单位:年)从1991~2001年的变化情况.21教育网
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图1
根据图1中的曲线,可知时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面积S的变化范围是数集,则有对应:
（3）国际上常用恩格尔系数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.21世纪教育网21·cn·jy·com
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
恩格尔系数y
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
46.4
44.5
41.9
39.2
37.9
根据上表,可知时间t的变化范围是数集A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数y的变化范围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应:www.21-cn-jy.com
思考：分析归纳以上三个实例，他们有什么共同特点？
函数的定义
一般地,设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作,其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.21世纪教育网
说明:
①A、B是非空数集.
并且对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.2·1·c·n·j·y
②函数的三要素:函数是由定义域、值域以及定义域到值域的对应法则三部分组成的映射，故称定义域、值域、对应法则为函数的三大要素。【来源：21·世纪·教育·网】
③函数值:
，则f(a)表示为函数值。函数的值域是指当x取遍定义域中所有的值求得的值的集合，
④f(x)是表示关于变量x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的函数,又可以表示自变量x对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f(x)没有什么意义.符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.
f(a)表示当x=a时函数f(x)的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)值（即函数值）。在一般情况下，f(x)是一个变量（随着x的值而变化），而f(a)是常量。通常求f(a)只需要令f(x)中的x=a并求出最后结果就行
【精讲精练】
一．函数的概念
例1
下列式子中不能表示函数的是(
)
A．
B．
C．
D．
例2
下列图象可以作为函数的图象的是(
)
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变式
下列图象是函数图象的有(
)
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图1
A．3个
B．4个
C．5个
D．7个
二．函数的三要素
例3
（1）判断与是否相等
（2），，是否相等，并说明理由
例4
判断下列各组中的函数与是否相等，并说明理由．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），.
（7）.
变式
判断下列各组中的两个函数是同一函数的为
A．
B．
C．
D．
三．求函数值
例5
已知
，则
（其中）
变式
已知函数，
（1）若，求
（2）集合，则______
例6
已知，则
变式
设函数是π的小数点后的第n位数字,π=3.1415926535…,则.
例7
已知，求，
变式
已知，，求，，，
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【思维拓展】
1
已知函数满足:，
(均为整数)，求：
【课外作业】
1．下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是（
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2．下列各组函数是同一函数的是（
）
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
3．函数的图象与直线的公共点数目是（
）
A.
B.
C.
或
D.
或
4．已知函数
（1）点在的图象上吗
（2）当时，求的值
（3）当时，求的值
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1
2
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5．已知函数，分别由下表给出
1
2
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1
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则的值为
；当时，
．
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