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第八讲
函数的定义域与值域（一）
【学习目标】
1．会求一些简单函数的定义域和值域
2．理解实际问题的定义域与值域21世纪教育网
3．理解“区间”这种表示方法
【知识要点】21世纪教育网
1．区间的概念和记号
在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.
设a,bR
,且a①满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；21世纪教育网
②满足不等式a③满足不等式ax或a,(a，b].21世纪教育网版权所有
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：21教育网
定
义
名
称
符
号
数
轴
表
示
{x|axb}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|ax左闭右开区间
[a，b）
{x|a左开右闭区间
(a，b]
这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足xa，x>a，xb，x注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；
②有两个区间端点，且左端点小于右端点；
③两个端点之间用“，”隔开.
2．函数的定义域
（1）定义域的概念与表示
（2）确定函数定义域的原则：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合.21·cn·jy·com
（3）确定函数定义域的依据：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.
⑥的定义域为．
3．求简单函数（一次函数、反比例函数、二次函数）值域的常用方法
（1）一次函数求值域：观察法、直接法、单调法；
（2）反比例函数求值域：单调法、分离常数法、逆求法；
（3）二次函数求值域：配方法.
【精讲精练】
一．求函数的定义域
例1
求下列函数的定义域
（1）
（2）
【答案】：（1）；（2）
【解析】：（1）
∴
（2）
∴且
变式
求下列函数的定义域
（1）；（2）
【答案】：（1）；（2）
【解析】：（1）
∴；
（2）
∴
二．求应用题函数的定义域
例2用长为l的铁丝变成下部为矩形，上部为半圆形的框架，如图所示.若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y关于x的函数解析式，并求出它的定义域。
【答案】：21世纪教育网
【解析】：周长
∴
面积（）
三．求函数的值域：直接法、配方法
例3
求下列函数的值域：
（1）
（2）
（3）（）
（4）
【答案】：（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】：（1）值域为；
（2）对称轴，开口向下
∴值域为
（3）对称轴，开口向下
∴值域为
（4）定义域，对称轴，开口向上
∴值域为
变式
求下列函数的值域：
（1）
（）
（2）（）
（3）
（4）
（）
【答案】：（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】：（1）值域为；（2）值域为；
（3）定义域为，值域为；
（4）开口向下，对称轴为，值域为
【思维拓展】
1.
若函数的定义域是全体实数，求实数a的取值范围
【答案】：
【解析】：定义域解集为全体实数。
，得：
【课外作业】
1．函数的定义域是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】：
【解析】：，解集：
2．函数的定义域是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】：
【解析】：，解集：
3.函数的定义域是________
【答案】：
【解析】：定义域，即21世纪教育网
4.
求下列函数的值域：
（1）
（）
（2）
（）
（3）
（4）
（）
【答案】：（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】：（1）值域为；（2）值域为
（3）值域为；（4）开口向上，对称轴，值域为
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精品试卷·第
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第八讲
函数的定义域与值域（一）
【学习目标】
1．会求一些简单函数的定义域和值域
2．理解实际问题的定义域与值域
3．理解“区间”这种表示方法
【知识要点】
1．区间的概念和记号
在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.
设a,bR
,且a①满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
②满足不等式a③满足不等式ax或a,(a，b].21教育网
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：21cnjy.com
定
义
名
称
符
号
数
轴
表
示
{x|axb}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|ax左闭右开区间
[a，b）
{x|a左开右闭区间
(a，b]
这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足xa，x>a，xb，x注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；
②有两个区间端点，且左端点小于右端点；
③两个端点之间用“，”隔开.
2．函数的定义域
（1）定义域的概念与表示
（2）确定函数定义域的原则：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合.21·cn·jy·com
（3）确定函数定义域的依据：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；21世纪教育网
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；21世纪教育网www.21-cn-jy.com
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.
⑥的定义域为．
3．求简单函数（一次函数、反比例函数、二次函数）值域的常用方法
（1）一次函数求值域：观察法、直接法、单调法；
（2）反比例函数求值域：单调法、分离常数法、逆求法；
（3）二次函数求值域：配方法.
【精讲精练】
一．求函数的定义域
例1
求下列函数的定义域
（1）
（2）
变式
求下列函数的定义域
（1）21世纪教育网
（2）
二．求应用题函数的定义域
例2用长为l的铁丝变成下部为矩形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，上部为半圆形的框架，如图所示.若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y关于x的函数解析式，并求出它的定义域。
三．求函数的值域：直接法、配方法
例3
求下列函数的值域：
（1）
（2）
（3）（）
（4）
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变式
求下列函数的值域：
（1）
（）
（2）（）
（3）
（4）
（）
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【思维拓展】
1.若函数的定义域是全体实数，求实数a的取值范围
【课外作业】
1．函数的定义域是(
)
A.
B.
C.
D.
2．函数的定义域是(
)
A.
B.
C.
D.
3．函数的定义域是________
4.
求下列函数的值域：
（1）
（）
（2）
（）
（3）
（4）
（）
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