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第十一讲
单调性与最大(小)值（一）
【学习目标】
l.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤
2.会用图像求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力
3.掌握简单的含参数函数的单调性及单调性解简单的抽象不等式
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【知识要点】
l.函数的单调性的定义
增函数定义：一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数.
简称为：步调一致增函数.21cnjy.com
几何意义：增函数的从左向右看,
图象是上升的。
减函数定义：一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.21·cn·jy·com
几何意义：减函数的从左向右看,
图象是下降的.
2.单调性的证明方法
判断或证明在区间上的单调性应按以下步骤：
（1）取数：在该区间内的任取两个数，且
（2）作差：将函数值与作差
（3）变形：将上述差式通过因式分解、通分、有理化等方法，化为几个因式的乘积或商
（4）定号：对上述变形的结果的正、负加以判断
（5）判断：对的单调性作出结论
其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止．
3.单调性的判断方法：
（1）定义法：利用定义严格判断；
（2）图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间；
（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性．
【精讲精练】
一．函数单调性的定义
例1问题①:分别作出函数，，，的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.如图1所示:
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图1
问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
问题③:如图2是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
图2
问题④:如何从解析式的角度说明在［0,+∞)上为增函数？
问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
归纳总结：
1.函数单调性的几何意义：
2.函数单调性的定义：
二．图像法判断函数单调性
例2
如图3是定义在区间［－5，5］上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？21世纪教育网版权所有
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图3
三．定义法判断函数单调性
例3
物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.2·1·c·n·j·y
变式
证明函数在上是减函数；
例4
已知函数都是R上的增函数，求证：是R上的增函数
变式
已知函数是R上的增函数，是R上的减函数，求证：是R上的增函数
四．简单的含参函数的单调性21世纪教育网
例5
已知函数在区间上是减函数，求的取值范围．
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变式1
函数在上y随着x的增大而增大，则当时，求对应的函数值的取值范围.
五．利用单调性解抽象不等式
例6
已知函数是减函数，则与的大小关系是
变式
已知函数是减函数，解不等式
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【思维拓展】
1.已知是定义在(0,+∞)上的减函数，若成立，则a的取值范围是______.
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【课外作业】
1．下列函数中，在区间上为增函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当时，f(x)为增函数，当时，函数f(x)为减函数，则m等于(
)21教育网
A．－4
B．－8
C．8
D．无法确定
3．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
4．函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有(
)
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)www.21-cn-jy.com
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
5．设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；
③>0；④<0.
其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________.(填序号)
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第十一讲
单调性与最大(小)值（一）
【学习目标】
l.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤
2.会用图像求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力
3.掌握简单的含参数函数的单调性及单调性解简单的抽象不等式
【知识要点】
l.函数的单调性的定义
增函数定义：一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数.
简称为：步调一致增函数.21世纪教育网版权所有
几何意义：增函数的从左向右看,
图象是上升的。
减函数定义：一般地，设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.21教育网
几何意义：减函数的从左向右看,
图象是下降的.
2.单调性的证明方法
判断或证明在区间上的单调性应按以下步骤：
（1）取数：在该区间内的任取两个数，且
（2）作差：将函数值与作差
（3）变形：将上述差式通过因式分解、通分、有理化等方法，化为几个因式的乘积或商
（4）定号：对上述变形的结果的正、负加以判断
（5）判断：对的单调性作出结论
其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止．
3.单调性的判断方法：
（1）定义法：利用定义严格判断；
（2）图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间；
（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性．
【精讲精练】
一．函数单调性的定义
例1问题①:分别作出函数，，，的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.如图1所示:
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
图1
问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
问题③:如图2是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
图2
问题④:如何从解析式的角度说明在［0,+∞)上为增函数？
问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
归纳总结：
1.函数单调性的几何意义：
2.函数单调性的定义：21世纪教育网
二．图像法判断函数单调性
例2
如图3是定义在区间［－5，5］上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】：单调增区间：，
单调减区间：，
【解析】：由单调性定义可得。
三．定义法判断函数单调性
例3
物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.2·1·c·n·j·y
【答案】：略
【解析】：对于定义域内任意的，设
∴
即当体积减少时，压强将增大
∴函数为减函数
变式
证明函数在上是减函数；
【答案】：略
【解析】：对于上任意的，设
∴
∴函数在是减函数
例4
已知函数都是R上的增函数，求证：是R上的增函数
【答案】：略
【解析】：对于上任意的，设
则有，
∴
∴是上的增函数
变式
已知函数是R上的增函数，是R上的减函数，求证：是R上的增函数
【答案】：略
【解析】：对于上任意的，设
则有，
∴
∴是上的增函数
四．简单的含参函数的单调性
例5
已知函数在区间上是减函数，求的取值范围．
【答案】:
【解析】：对称轴
∴
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变式1
函数在上y随着x的增大而增大，则当时，求对应的函数值的取值范围.
【答案】：
【解析】：对称轴，∴，
∴
五．利用单调性解抽象不等式
例6
已知函数是减函数，则与的大小关系是
【答案】：
【解析】：
∴
变式
已知函数是减函数，解不等式
【答案】：
【解析】：∴
21世纪教育网
【思维拓展】
1.已知是定义在(0,+∞)上的减函数，若成立，则a的取值范围是______.
【答案】：
【解析】：
解得：或
【课外作业】
1．下列函数中，在区间上为增函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】：
【解析】：：一次函数，在上单减
对称轴，在单减
反比例函数在单减
2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当时，f(x)为增函数，当时，函数f(x)为减函数，则m等于(
)21cnjy.com
A．－4
B．－8
C．8
D．无法确定
【答案】：
【解析】：由题意得，是对称轴，∴
3．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】：
【解析】：，解得
4．函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有(
)21世纪教育网
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)21·cn·jy·com
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)21世纪教育网
【答案】：
【解析】：，∴；同理，
5．设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；
③>0；④<0.
其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________.(填序号)
【答案】：①③
【解析】：由单调性判定方法：同增异减
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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