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第一讲
因式分解
【学习目标】
1．进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法
2．提高因式分解的基本运算技能
3．能熟练使用几种因式分解方法的综合运用
【知识要点】
1．因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。21教育网
2．因式分解的方法：
（1）提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．
（2）公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．
（3）十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．
（4）分组分解法：根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）．21cnjy.com
（5）换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化
3．因式分解的步骤：一提，二用，三叉，四分组．
4．因式分解的常用公式：
（1）a2－b2=__；
（2）a2±2ab+b2=__；
（3）a3±b3=__；
（4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；
（6）x2+（a+b）x+ab=_；
（7）abx2+（ac+bd）x+cd=__．
5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则关于x的二次三项式ax2+bx+c可分解为a（x－x1）（x－x2）．21·cn·jy·com
【精讲精练】
一．提公因式法
例1
因式分解．
变式
．
例2
计算．
变式
．
二．公式法
例3
．
变式1
．
变式2
已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足，试判断△ABC的形状．
三．十字相乘法
例4
将下列各式分解因式
（1）；（2）．
变式
（1）；（2）．
四．分组分解法
例5
将下列各式分解因式
（1）；（2）．
变式
（1）；（2）．
五．换元法
例6
将下列各式分解因式
（1）；
（2）
变式
（1）x6－7x3－8（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1
【思维拓展】
1．设a【课外作业】
1．下列计算正确的是（
）
A．（-4x）（2x2+3x-1）=-8x3-12x2-4x
B．（x+y）（x2+y2）=x3+y3
C．（-4a-1）（4a-1）=1-16a2
D．（x-2y）2=x2-2xy+4y2
2．将多项式分解成因式的积，结果是（
）
A．
B．
C．
D．
3．要是二次三项式在整数范围内可因式分解，则正整数的取值可以有（
）
A．2个
B．3个
C．5个
D．6个
4．已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c=3，则（a+1）（b+1）（c+1）=_________．
5．因式分解=_________．
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第一讲
因式分解
【学习目标】
1．进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法
2．提高因式分解的基本运算技能
3．能熟练使用几种因式分解方法的综合运用
【知识要点】
1．因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。21教育网
2．因式分解的方法：
（1）提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．
（2）公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．
（3）十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．
（4）分组分解法：根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）．21cnjy.com
（5）换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化
3．因式分解的步骤：一提，二用，三叉，四分组．
4．因式分解的常用公式：
（1）a2－b2=__；
（2）a2±2ab+b2=__；
（3）a3±b3=__；
（4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；
（6）x2+（a+b）x+ab=_；
（7）abx2+（ac+bd）x+cd=__．
5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则关于x的二次三项式ax2+bx+c可分解为a（x－x1）（x－x2）．21·cn·jy·com
【精讲精练】
一．提公因式法
例1
因式分解．
【答案】原式=．
【解析】提取公因式，原式=．
变式
．
【答案】原式=．
【解析】提取公因式，原式=．
例2
计算．
【答案】987
【解析】原式=．
变式
．
【答案】0
【解析】原式=．
二．公式法
例3
．
【答案】原式=．
【解析】法一：原式=
法二：原式=．
变式1
．
【答案】原式=．
【解析】原式=
变式2
已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足，试判断△ABC的形状．
【答案】等边三角形
【解析】两边同乘2，得：
，即
，∴．
三．十字相乘法
例4
将下列各式分解因式
（1）；（2）．
【答案】（1）原式=；
（2）原式=．
【解析】十字相乘．
变式
（1）；（2）．
【答案】（1）原式=；
（2）原式=．
【解析】十字相乘
四．分组分解法
例5
将下列各式分解因式
（1）；（2）．
【答案】（1）原式=
（2）原式=
【解析】（1）原式=
；
（2）原式=．
变式
（1）；（2）．
【答案】（1）原式=
（2）原式=．
【解析】（1）原式=
（2）原式=
．
五．换元法
例6
将下列各式分解因式
（1）；
【答案】原式=
【解析】十字相乘
（2）
【答案】原式=；
【解析】原式=．
．
变式
（1）x6－7x3－8（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1
【答案】（1）原式=
（2）原式=
【解析】（1）原式=；
（2）原式=
．
【思维拓展】
1．设a【答案】
【解析】
，
．
综上：．
【课外作业】
1．下列计算正确的是（
）
A．（-4x）（2x2+3x-1）=-8x3-12x2-4x
B．（x+y）（x2+y2）=x3+y3
C．（-4a-1）（4a-1）=1-16a2
D．（x-2y）2=x2-2xy+4y2
【答案】C
【解析】完全平方公式．
2．将多项式分解成因式的积，结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】原式．
3．要是二次三项式在整数范围内可因式分解，则正整数的取值可以有（
）
A．2个
B．3个
C．5个
D．6个
【答案】B
【解析】6=1+5，6=2+4，6=3+3，∴．
4．已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c=3，则（a+1）（b+1）（c+1）=_________．
【答案】8
【解析】，
即，
∴．
5．因式分解=_________．
【答案】
【解析】原式=
．
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