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第二讲
一元二次方程
【学习目标】
1．能用十字相乘法、配方法、公式法解一元二次方程
2．掌握韦达定理并利用韦达定理解题
3．理解“设而不求”的数学思想
【知识要点】
1．一元二次方程
（1）定义：含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程
（2）一般形式：
2．解一元二次方程的常用方法
①韦达定理；②直接开平方法；③配方法；④因式分解法；
⑤公式法（求根公式）；⑥换元法等。
3．根的判别式
一元二次方程的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
对于一元二次方程，有21世纪教育网
（1）
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x1，2＝；
（1）
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，；
（1）
当Δ＜0时，方程没有实数根．
4．韦达定理（根与系数的关系）
若一元二次方程的两根分别是，那么，x1·x2
这一关系也被称为韦达定理．
5．以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x?2)x＋x1·x2＝0．
6．一元二次方程的两根之差的绝对值（求根公式或韦达定理）21世纪教育网
若x1和x2分别是一元二次方程两根，则（其中
）．
【精讲精练】
一．一元二次方程的解法
例1判定关于x的方程：x2－ax＋(a－1)＝0
的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
21教育网
【答案】：当时，两个相等实数根：1
当时，两个不等实数根：1，
【解析】：十字相乘，
当时，两个相等实数根：1
当时，两个不等实数根：1，
变式
判定关于x的方程：x2－2x＋a＝0
的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．21cnjy.com
【答案】：，两不等实数根；，两相等实数根1；，无实数根。
【解析】：（1）当，即时，有两个不等实数根：
（2）当，即时，有两个相等实数根：1
（3）当，即时，没有实数根
21世纪教育网
二．韦达定理
例2
以－3和1为根的一元二次方程是
．
【答案】：
【解析】：由韦达定理，得，不妨设
变式
已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
【答案】：
【解析】：由，即求的两根。
三．“设而不求”思想（韦达定理的应用）
例3
若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于
．
21·cn·jy·com
【答案】：2006
【解析】：由韦达定理，得，原式=
变式1
已知是一元二次方程的两根，试用a表示代数式
【答案】：
【解析】：由韦达定理，得，则
原式=
例4
已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x+k(k+1)=0的两实根的平方和为9，求实数k的值.www.21-cn-jy.com
【答案】：
【解析】：设方程的两个实数根为，则有，
得：
又，得，∴
变式
已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．2·1·c·n·j·y
【答案】：
【解析】：设方程的两个实数根为，则有，
得：
又，得，∴
四．一元二次方程解的情况的判断
例5
若关于x的方程mx2＋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（
）
A.
B
C.
且
D
且
【答案】：
【解析】：，得且
变式1
关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)
x＋1＝0
（1）试判定当m取何值时，该方程有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
（2）试判定当m取何值时，该方程有两个相等的正根？
【答案】：（1），两不等实根；，两相等实根；，无实数根
（2）
【解析】：（1）当，即时，有两个不等实数根
当，即时，有两个相等实数根
当，即时，无实数根
（2）由题意得：，得
【思维拓展】
1.
已知两不等实数a，b满足，，求的值.
【答案】：
【解析】：是一元二次方程的不等实根
则有
原式=
【课外作业】
1．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（
）21世纪教育网版权所有
A.
B.
3
C.
6
D.
9
【答案】：21世纪教育网
【解析】：斜边长
2.
如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是
．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】：
【解析】：由韦达定理，得：
原式=
。
21世纪教育网
3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个
不相等的实数根？
【答案】：且
【解析】：由题意，得
，即且。
4.关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值．
【答案】：
【解析】：，得
5．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果，求实数k的取值范围
【答案】：（1）略；（2）
【解析】：（1），∴方程有两个不相等的实数根
（2），即
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
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第二讲
一元二次方程
【学习目标】
1．能用十字相乘法、配方法、公式法解一元二次方程
2．掌握韦达定理并利用韦达定理解题
3．理解“设而不求”的数学思想
【知识要点】
1．一元二次方程
（1）定义：含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程
（2）一般形式：
2．解一元二次方程的常用方法
①韦达定理；②直接开平方法；③配方法；④因式分解法；
⑤公式法（求根公式）；⑥换元法等。
3．根的判别式
一元二次方程的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
对于一元二次方程，有
（1）
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x1，2＝；
（1）
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，；
（1）
当Δ＜0时，方程没有实数根．
4．韦达定理（根与系数的关系）
若一元二次方程的两根分别是，那么，x1·x2
这一关系也被称为韦达定理．
5．以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x?2)x＋x1·x2＝0．
6．一元二次方程的两根之差的绝对值（求根公式或韦达定理）
若x1和x2分别是一元二次方程两根，则（其中
）．
【精讲精练】
一．一元二次方程的解法
例1判定关于x的方程：x2－ax＋(a－1)＝0
的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
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变式
判定关于x的方程：x2－2x＋a＝0
的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．www.21-cn-jy.com
二．韦达定理
例2
以－3和1为根的一元二次方程是
．
变式
已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
三．“设而不求”思想（韦达定理的应用）
例3
若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于
．
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变式1
已知是一元二次方程的两根，试用a表示代数式
例4
已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x+k(k+1)=0的两实根的平方和为9，求实数k的值.21cnjy.com
变式
已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．21·cn·jy·com
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四．一元二次方程解的情况的判断
例5
若关于x的方程mx2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＋
(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（
）
A.
B
C.
且
D
且
变式1
关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)
x＋1＝0
（1）试判定当m取何值时，该方程有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
（2）试判定当m取何值时，该方程有两个相等的正根？
【思维拓展】
1.
已知两不等实数a，b满足，，求的值.
【课外作业】
1．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（
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A.
B.
3
C.
6
D.
9
2.
如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是
．【来源：21·世纪·教育·网】
3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个
不相等的实数根？
4．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值．
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5．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；21世纪教育网
（2）设方程的两根为x1和x2，如果，求实数k的取值范围
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