3.2复数代数形式的四则运算(4课时)

(共56张PPT)
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减 运算及其几何意义
复习巩固
1.复数的代数形式是什么？在什么条件下，复数z为实数、虚数、纯虚数？
代数形式：z＝a＋bi（a，b∈R）.
当b＝0时z为实数；
当b≠0时，z为虚数；
当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.
2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应复平面内的点Z的坐标是什么？复数z可以用复平面内哪个向量来表示？
对应点Z（a，b），
用向量 表示.
x
y
O
(a，b)
提出问题
3.两个实数可以进行加、减运算，两个向量也可以进行加、减运算，根据类比推理，两个复数也可以进行加、减运算，我们需要研究的问题是，复数的加、减运算法则是什么？
提出问题
1、设向量m＝(a，b)，n＝(c，d)则向量m＋n的坐标是什么？
m＋n＝(a＋c，b＋d)
问题探究
2、设向量 ， 分别表示复数z1，z2，那么向量 表示的复数应该是什么？
z1＋z2
问题探究
3、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为 ， ，那么向量 ， 的坐标分别是什么？
＝(a，b)，
＝(c，d)，
＝(a＋c，b＋d).
问题探究
4、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则复数z1＋z2等于什么？
z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i.
问题探究
5、(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋ (b＋d)i就是复数的加法法则，如何用文字语言表述这个法则的数学意义？
两个复数的和仍是一个复数. 两个复数的和的实部等于这两个复数的实部之和，两个复数的和的虚部等于这两个复数的虚部之和.
问题探究
6、两个实数的和仍是一个实数，两个复数的和仍是一个复数，两个虚数的和仍是一个虚数吗？
不一定.
问题探究
7、复数的加法法则满足交换律和结合律吗？
z1＋z2＝z2＋z1，
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
问题探究
8、规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数z＝z1－z2，则复数z1等于什么？
z1＝z＋z2
9、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z＝x＋yi，代人z1＝z＋z2，由复数相等的充要条件得x，y分别等于什么？
x＝a－c，y＝b－d.
问题探究
10、根据上述分析，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1－z2等于什么？
z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i
问题探究
复数的减法法则：
2、两个复数的差仍是一个复数. 两个复数的差的实部等于这两个复数的实部之差，两个复数的差的虚部等于这两个复数的虚部之差.
形成结论
1、(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)+(b-d)i
1、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为 ， ，则复数z1－z2对应的向量是什么？|z1－z2|的几何意义是什么？
复数z1，z2对应复平面内的点之间的距离.
x
y
O
Z1
Z2
问题探究
2、设a，b，r为实常数，且r＞0，则满足|z－(a＋bi)|＝r的复数z对应复平面上的点的轨迹是什么？
以点(a，b)为圆心，r为半径的圆.
x
y
O
r
Z
Z0
问题探究
3、满足|z－(a＋bi)|＝|z－(c＋di)|的复数z对应复平面上的点的轨迹是什么？
x
y
O
Z2
Z1
Z
点(a，b)与点(c，d)的连线段的垂直平分线.
问题探究
4、设a为非零实数，则满足|z－a|＝|z＋a|，|z－ai|＝|z＋ai|的复数z分别具有什么特征？
若|z－a|＝|z＋a|，则z为纯虚数或零；
若|z－ai|＝|z＋ai|，则z为实数.
问题探究
例1 计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i).
－11i
例2 如图，在矩形OABC中，|OA|＝2|OC|点A对应的复数为 ，求点B和向量 对应的复数.
x
y
O
C
B
A
典例讲评
1.复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算.
2.在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理.
课堂小结
3. 在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二者对立统一.
课堂小结
P109练习：1，2.
P112习题3.2A组：2，3.
布置作业
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
1.设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则 z1＋z2，z1－z2分别等于什么？
z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i.
z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i
2.设z1，z2为复数，则|z1－z2|的几何意义是什么？
复数z1，z2对应复平面内的点之间的距离.
复习巩固
1、设a，b，c，d∈R， 则(a＋b)(c＋d)怎样展开？
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
问题探究
1、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开，z1z2等于什么？
z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
形成结论
2、(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
1、复数的乘法是否满足交换律、结合律和对加法的分配律？
z1·z2＝z2·z1，
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
问题探究
2、对于复数z1，z2，|z1·z2|与|z1|·|z2|相等吗？
|z1·z2|＝|z1|·|z2|
问题探究
实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
3、在实数中， 与 互称为有理化因式，在复数中，a＋bi 与a－bi互称为共轭复数，一般地，共 轭复数的定义是什么？
问题探究
4、复数z的共轭复数记作 ，虚部不为零的两个共轭复数也叫做共轭虚数，那么z与 在复平面内所对应的点的位置关系如何？ 等于什么？
x
y
O
Z
关于实轴对称
问题探究
5、若复数z1＝z2·z，则称复数z为复数z1除以z2所得的商，即z＝z1÷z2. 一般地，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0），如何求z1÷z2？
问题探究
6、
就是复数的除法法则，并且两个复数相除（除数不为0），所得的商还是一个 复数，那么如何计算 ？
问题探究
7、怎样理解 ？
问题探究
例1 设z＝(1＋2i)÷(3－4i)×(1＋i)2求 .
例2 设复数 ，若z为纯虚
数，求实数m的值.
m＝－3
典例讲评
1.复数的乘法法则类似于两个多项式相乘，展开后要把i2换成－1，并将实部与虚部分别合并.若求几个复数的连乘积，则可利用交换律和结合律每次两两相乘.
课堂小结
2.复数的除法法则类似于两个根式的除法运算，一般先将除法运算式写成分式，再将分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母化为实数，分子按乘法法则运算.
课堂小结
3.对复数的乘法、除法运算要求掌握它们的算法，不要求记忆运算公式，对复数式的运算结果，一般要化为代数式.
课堂小结
P111练习：1，2，3.
布置作业
复数的概念与运算题型分析
第一课时
题型一：复数的混合运算
例1 计算：
－17－3i
例2 设复数z＝1－i，求
的值.
1－i
题型二：复数的变式运算
例3 已知复数z满足 ，
求 的值.
i
例4 已知复数z满足 ，
求 的值.
－1
题型三：求满足某条件的复数值
例5 已知复数z满足 为纯虚数，
且 ，求z的值.
例6 已知复数z满足
，求z的值.
题型三：求满足某条件的复数值
例7 已知复数z满足|z－2|＝2，且
，求z的值.
z＝4或 .
题型三：求满足某条件的复数值
P112习题3.2A组：4，5. P116复习参考题A组：2，3.
复数的概念与运算题型分析
第二课时
题型四：求复数式中的实参数值
例8 已知复数z＝1＋i，若
，求实数a，b的值.
a＝－1，b＝2.
题型四：求复数式中的实参数值
例9 已知复数z满足|z|＝1，且
,求m的值.
题型五：证明复数的有关性质
例10 已知复数z满足|z|＝1，求证：
.
例11 已知复数z1，z2满足z1·z2＝0，求证：z1＝0或z2＝0.
题型五：证明复数的有关性质
例12 求证：复数z为纯虚数的充要条件是z2＜0.
题型六：复数的几何意义及其应用
例13 已知复数z满足
，求复数z对应复平面内的点P的轨迹.
以点（1，0）为圆心，2为半径的圆.
例14 设复数z1，z2，z3分别对应复平面内的点A，B，C，若z1＋z2＋z3＝0，且|z1|＝|z2|＝|z3|＝1，求证:△ABC为正三角形.
题型六：复数的几何意义及其应用
例15 已知复数z满足:
，求|z＋i|的取值
范围.
[1，3]
题型六：复数的几何意义及其应用
P112习题3.2A组：6.
P116复习参考题B组：1，2，3.