高中数学精美可编辑课件：（3.1数系的扩充和复数的概念(2课时)）

(共43张PPT)
第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1.1 数系的扩充和复数
的概念
问题提出
1.数的概念产生和发展的历史进程：
正分数
正无理数
零和负数
N
Q＋
R＋
R
数系每次扩充的基本原则：
第一、增加新元素；
第二、原有的运算性质仍然成立；
第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.
2.若 ，则
对此你有什么困惑？
问题提出
3.唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发 展的根本动力.由于实数的局限性，导致 某些数学问题出现矛盾的结果，数学家 们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系.
问题提出
1、由 得 ，
这与 矛盾的原因是什么？
方程x2－x＋1＝0无实根
2、方程x2－x＋1＝0无实根的根本原因是什么？
－1不能开平方
问题探究
3、我们设想引入一个新数，用字母i表示，使这个数是－1的平方根，即 i2＝－1，那么方程x2－x＋1＝0的根是什么？
问题提出
4、若x4＝1，利用i2＝－1,则x等于什么？
1，－1，i，－i.
问题提出
5、满足i2＝－1的新数i显然不是实数， 称为虚数单位，根据数系的扩充原则， 应规定虚数单位i和实数之间的运算满 足哪些运算律？
乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.
问题探究
6、设a∈R，下列运算正确吗？
问题探究
1、虚数单位i与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？
a＋bi（a，b∈R）
2、把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，记作C，那么复数集如何用描述法表示？
C＝{a＋bi|a，b∈R}
问题探究
3、复数通常用字母z表示，即 z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部，那么复数 z＝ －3i的实部和虚部分别是什么？
实部为 ,虚部为－3.
问题探究
4、两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：a＋bi＝c＋di（a，b，c，d∈R）的充要条件是a＝c且b＝d，那么a＋bi＝0的充要条件是什么？
a＝b＝0
问题探究
5、对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）当b＝0时，z为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？
当b＝0时z为实数.
实数集R是复数集C的真子集.
问题探究
6、对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）当b≠0时，z叫做虚数，当a＝0且b≠0时，z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之间如何？
纯虚数集是虚数集的真子集.
问题探究
7、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？
复数
实数
虚数
纯虚数
问题探究
8、两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？
虚数不能比较大小.
例1 实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i分别是实数，虚数和纯虚数？
当m＝－1时，z是纯虚数.
典例讲评
当m＝1时，z是实数；
当m≠1时，z是虚数；
例2 设复数z1＝(x－y)＋(x＋3)i，z2＝(3x＋2y)－yi，若z1＝z2，求实数x，y的值.
x＝－9，y＝6.
典例讲评
1.将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支.
课堂小结
2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成 a＋bi（a，b∈R）的形式.
课堂小结
3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如x2≥0； 若x－y＞0，则x＞y等，今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题.
课堂小结
P104练习：1，2，3.
P106习题3.1A组：1，2.
布置作业
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义
1.虚数单位i的基本特征是什么？
（1）i2＝－1；
（2）i可以与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立.
复习巩固
2.复数的一般形式是什么？复数相等的充要条件是什么？
a＋bi（a，b∈R）；
实部和虚部分别相等.
复习巩固
3.实数、虚数、纯虚数的含义分别如何？
设z＝a＋bi（a，b∈R）.
当b＝0时z为实数；
当b≠0时，z为虚数；
当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.
复习巩固
4.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如何？
复数
实数
虚数
纯虚数
复习巩固
5.实数与数轴上的点一一对应，从而实数可以用数轴上的点来表示，这是实数的几何意义，根据类比推理，复数也应有它的几何意义.因此，探究复数的几何意义就成为一个新的学习内容.
提出问题
1、在什么条件下，复数z惟一确定？
给出复数z的实部和虚部
2、设复数z＝a＋bi（a，b∈R），以z的实部和虚部组成一个有序实数对（a，b），那么复数z与有序实数对（a，b）之间是一个怎样的对应关系？
一一对应
问题探究
3、有序实数对（a，b）的几何意义是什么？复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用什么几何量来表示？
复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用直角坐标系中的点Z（a，b）来表示.
x
y
O
a
b
Z：a＋bi
问题探究
用直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
形成结论
一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？
x
y
O
a
b
Z：a＋bi
实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，各象限内的点表示虚部不为零的虚数.
形成结论
1、用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？
有向线段的始点和终点.
2、用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？
以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画有向线段.
x
y
O
(a，b)
问题探究
3、在复平面内，复数z＝a＋bi（a，b∈R）用向量如何表示？
x
y
O
a
b
Z：a＋bi
以原点O为始点，点Z（a，b）为终点的向量 .
问题探究
4、复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用向量 表示，向量 的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，那么|a＋bi|的计算公式是什么？
x
y
O
a
b
Z：a＋bi
问题探究
5、设向量a，b分别表示复数z1，z2，若a＝b，则复数z1与z2的关系如何？
规定：相等的向量表示同一个复数.
6、若|z|＝1，|z|＜1，则复数z对应复平面内的点的轨迹分别是什么？
单位圆，单位圆内部.
问题探究
例1 已知复数
对应的点在直线x－2y＋1＝0上，求实数m
的值.
典例讲评
例2 若复平面内一个正方形的三个顶点对应的复数分别为z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，求这个正方形第四个顶点对应的复数.
x
y
O
Z1
Z2
Z3
Z4
z4＝2－i
典例讲评
例3 设复数 ，
若|z|≥5，求x的取值范围.
典例讲评
1.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即
复数z＝a＋bi 复平面内的点 Z（a，b）
一一对应
2.复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即
复数z＝a＋bi 复平面内的向量
一一对应
课堂小结
3.复数z＝a＋bi与复平面内的点 Z（a，b）和向量 是一个三角对应关系，即
复数z＝a＋bi
点Z(a，b)
向量
课堂小结
P105练习：1.
P106习题3.1A组：4，5，6.
布置作业