2012届高考数学文科一轮复习精选课件（新人教a版）：7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
文档属性
| 名称 | 2012届高考数学文科一轮复习精选课件（新人教a版）：7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 815.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-06-15 18:30:57 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
学案3 空间点、直线、平面
之间的位置关系
考点1
考点2
考点3
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
考 纲 解 读
考 向 预 测
考点4
返回目录
考 纲 解 读
空间点、直线、平面之间的位置关系 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.
2.了解可以作为推理依据的公理和定理.
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
空间点、线、面的位置关系的判断与证明几乎每年高考都要考查，题型以选择题和解答题为主，验证度不大，同时还要注意异面直线的判定与证明.
考 向 预 测
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1.三个公理
公理1 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2 ,有且只有一个平面，也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面.
两点
过不在一条直线上的三点
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公理3 如果两个不重合的平面 ，那么它们有且只有 .
2.符号语言与数学语言的关系
有一个公共点
一条过该点的公共直线
数学符号语言 数学表达语言
点A在直线a上
点A在直线a外
点A在平面α内
点A在平面α外
直线a在平面α内
直线a,b相交于点A
平面α,β相交于直线a
α∩β=a
A∈a
A?a
A∈a
A?a
a?α
a∩b=A
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3.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面
(1)相交直线: ;
(2)平行直线: ;
(3)异面直线: .
4.判定异面直线的方法
(1)利用定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平
面内不经过该点的直线是异面直线.
在同一平面内，有且只有一个公共点
在同一平面内，没有公共点
不同在任何一个平面内（或者说，异面直线既 不相交又不平行的两条直线），没有公共点
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(2)利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾.
5.公理4
——空间平行线的传递性.
6.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .
平行于同一条直线的两条直线互相平行
相等或互补
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7.异面直线所成的角
设a,b是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a,b′∥b，把直线a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
8、空间直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种：
（1）直线在平面内： ；
（2）直线与平面相交： ；
（3）直线与平面平行： ，
锐角(或直角)
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
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直线与平面相交或平行的情况统称 .
9、平面与平面的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有两种：
（1）两个平面平行： ；
（2）两个平面相交： .
有一条公共直线
直线在平面外
没有公共点
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在正方体ABCD—A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.
考点1 点共线问题
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【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线,再证明其余点也在该直线上.
【证明】如图,∵A1A∥C1C,
∴A1A,C1C确定平面A1C.
∵A1C?平面A1C,O∈A1C,
∴O∈平面A1C,而O=平面BDC1∩线A1C,
∴O∈平面BDC1,
∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上.
∵AC∩BD=M,∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C,∴平面BDC1∩平面A1C=C1M,
∴O∈CM,即M,O,C1三点共线.
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证明若干点共线也可用基本性质3为依据,找出两个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共点.
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如图所示,已知△ABC在平面α外,AB,BC,AC的延长线分别交平面α于P,Q,R三点.求证:P,Q,R三点共线.
证明:设△ABC所在平面为β,因为AP∩α=P,AP?β,所以β与α相交于过点P的直线l,即P∈l.因为BQ∩α=Q,BQ?β,所以Q∈β,Q∈α.所以Q∈l.同理可证R∈l.所以P,Q,R三点共线.
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【分析】(1)只需证BC GH.
(2)先证四边形BEFG为平行四边形,再证明EF∥CH即得.
考点2 共面问题
如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°,BC AD,BE FA,G,H分别为FA，FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面 为什么
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【解析】如图，(1)证明:由已知FG=GA,FH=HD,可得
GH AD.又BC AD,∴EH BC,
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)C,D,F,E四点共面,证明如下:
由BE AF,G为FA中点知,
BE FG,∴四边形BEFG为平行四边形,
∴EF∥BG.
由(1)知BG∥CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.
又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.
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证明点线共面的常用方法：
(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α,β重合.
如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点.且CG= BC，CH= DC.求证：
（1）E，F，G，H
四点共面；
（2）三直线FH，EG，
AC共点.
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（1）连接EF，GH.
由E,F分别为AB,AD中点，
∴EF BD,由CG= BC
CH= DC，
∴HG BD，
∴EF∥HG且EF≠HG.
∵EF,HG可确定平面α,
∴E,F,G,H四点共面.
＝
∥
＝
∥
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（2）由（1）知,EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG.
∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG=O，
∵点O∈直线FH，直线FH ?面ACD，
∴点O∈平面ACD.同理点O∈平面ABC.
又面ACD∩面ABC=AC，∴点O∈直线AC（公理2）.
∴三直线FH，EG，AC共点.
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如图所示，正方体ABCD
—A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：
（1）AM和CN是否是异面直线？
（2）D1B和CC1是否是异面直
线？请说明理由.
考点3 异面直线的判定和证明
【分析】（1）由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线.（2）由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法.
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【解析】（1）不是异面直线.理由如下：
∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点,
∴MN∥A1C1，
又∵A1A D1D,而D1D C1C，
∴A1A C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形.
∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，
∴A,M,N,C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.
＝
∥
＝
∥
＝
∥
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（2）是异面直线，证明如下：
假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，
则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.
∴BC?平面CC1D1，
这与正方体ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾.
∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.
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对异面直线的定义的理解
(1)“既不相交也不平行”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线不同在任何一个平面内.
(2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线.
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如图所示，E,F在AD上，G,H在BC上，图中8条线段所在的直线，哪些直线互为异面直线？
【解析】先找规律性较强的直线，如AB与CD，AC与BD，AD与BC互为异面直线，然后再把EG添入，那么易得EG分别与AB,AC,BD,DC成异面直线.同理，FH也与它们分别成异面直线，EG与FH也互为异面直线.每两条异面直线称为“一对”，则共有12对异面直线.
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【分析】 先由公理1判定FG?平面ABCD,再由平行公理证明线线平行.
考点4 空间中两直线位置关系的判定与证明
如图所示，在正方体AC1中,E是CD的中点,连结AE并延长与BC的延长线交于点F,连结BE并延长交AD的延长线于点G,连结FG.
求证:直线FG?平面ABCD且直线FG∥直线A1B1.
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【证明】由已知得E是CD的中点,在正方体中,有A∈面ABCD,E∈面ABCD,
所以AE?面ABCD.又AE∩BC=F,
所以F∈AE,从而F∈面ABCD.
同理,G∈面ABCD,所以FG?面ABCD.
因为EC AB,故在Rt△FBA中,CF=BC,
同理,DG=AD.又在正方形ABCD中,BC AD,所以CF DG.
所以四边形CFGD是平行四边形.
所以FG∥CD.又CD∥AB,AB∥A1B1,
所以直线FG∥直线A1B1.
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判断空间中直线的位置关系主要依据平面的基本性质及几何体内线面之间的位置关系.将公理1,2,3与平面几何知识相结合,解答一些常规题目.
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已知E和F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点,且AE=C1F,求证:四边形EBFD1是平行四边形.
【证明】如图所示,在DD1上取一点G,使D1G=A1E,则易知
A1E D1G,
∴四边形A1EGD1为平行四边形,
∴EG A1D1,
∴四边形A1EGD1为平行四边形，
∴EG A1D1.
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又∵A1D1 B1C1,B1C1 BC,
∴EG BC(公理4），
∴四边形GEBC是平行四边形，
∴EB GC.又∵D1G FC,
∴四边形D1GCF是平行四边形，
∴GC D1F,∴EB D1F(公理4），
∴四边形EBFD1是平行四边形.
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（1）点共线问题
证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理2证明这些点都在这两个平面的交线上.
（2）线共点问题
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上.
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（3）证明点线共面的常用方法
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后确定证明平面α,β重合.
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学案3 空间点、直线、平面
之间的位置关系
考点1
考点2
考点3
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
考 纲 解 读
考 向 预 测
考点4
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考 纲 解 读
空间点、直线、平面之间的位置关系 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.
2.了解可以作为推理依据的公理和定理.
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
空间点、线、面的位置关系的判断与证明几乎每年高考都要考查，题型以选择题和解答题为主，验证度不大，同时还要注意异面直线的判定与证明.
考 向 预 测
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1.三个公理
公理1 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2 ,有且只有一个平面，也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面.
两点
过不在一条直线上的三点
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公理3 如果两个不重合的平面 ，那么它们有且只有 .
2.符号语言与数学语言的关系
有一个公共点
一条过该点的公共直线
数学符号语言 数学表达语言
点A在直线a上
点A在直线a外
点A在平面α内
点A在平面α外
直线a在平面α内
直线a,b相交于点A
平面α,β相交于直线a
α∩β=a
A∈a
A?a
A∈a
A?a
a?α
a∩b=A
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3.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面
(1)相交直线: ;
(2)平行直线: ;
(3)异面直线: .
4.判定异面直线的方法
(1)利用定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平
面内不经过该点的直线是异面直线.
在同一平面内，有且只有一个公共点
在同一平面内，没有公共点
不同在任何一个平面内（或者说，异面直线既 不相交又不平行的两条直线），没有公共点
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(2)利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾.
5.公理4
——空间平行线的传递性.
6.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .
平行于同一条直线的两条直线互相平行
相等或互补
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7.异面直线所成的角
设a,b是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a,b′∥b，把直线a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
8、空间直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种：
（1）直线在平面内： ；
（2）直线与平面相交： ；
（3）直线与平面平行： ，
锐角(或直角)
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
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直线与平面相交或平行的情况统称 .
9、平面与平面的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有两种：
（1）两个平面平行： ；
（2）两个平面相交： .
有一条公共直线
直线在平面外
没有公共点
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在正方体ABCD—A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.
考点1 点共线问题
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【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线,再证明其余点也在该直线上.
【证明】如图,∵A1A∥C1C,
∴A1A,C1C确定平面A1C.
∵A1C?平面A1C,O∈A1C,
∴O∈平面A1C,而O=平面BDC1∩线A1C,
∴O∈平面BDC1,
∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上.
∵AC∩BD=M,∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C,∴平面BDC1∩平面A1C=C1M,
∴O∈CM,即M,O,C1三点共线.
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证明若干点共线也可用基本性质3为依据,找出两个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共点.
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如图所示,已知△ABC在平面α外,AB,BC,AC的延长线分别交平面α于P,Q,R三点.求证:P,Q,R三点共线.
证明:设△ABC所在平面为β,因为AP∩α=P,AP?β,所以β与α相交于过点P的直线l,即P∈l.因为BQ∩α=Q,BQ?β,所以Q∈β,Q∈α.所以Q∈l.同理可证R∈l.所以P,Q,R三点共线.
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【分析】(1)只需证BC GH.
(2)先证四边形BEFG为平行四边形,再证明EF∥CH即得.
考点2 共面问题
如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°,BC AD,BE FA,G,H分别为FA，FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面 为什么
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【解析】如图，(1)证明:由已知FG=GA,FH=HD,可得
GH AD.又BC AD,∴EH BC,
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)C,D,F,E四点共面,证明如下:
由BE AF,G为FA中点知,
BE FG,∴四边形BEFG为平行四边形,
∴EF∥BG.
由(1)知BG∥CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.
又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.
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证明点线共面的常用方法：
(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α,β重合.
如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点.且CG= BC，CH= DC.求证：
（1）E，F，G，H
四点共面；
（2）三直线FH，EG，
AC共点.
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（1）连接EF，GH.
由E,F分别为AB,AD中点，
∴EF BD,由CG= BC
CH= DC，
∴HG BD，
∴EF∥HG且EF≠HG.
∵EF,HG可确定平面α,
∴E,F,G,H四点共面.
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（2）由（1）知,EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG.
∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG=O，
∵点O∈直线FH，直线FH ?面ACD，
∴点O∈平面ACD.同理点O∈平面ABC.
又面ACD∩面ABC=AC，∴点O∈直线AC（公理2）.
∴三直线FH，EG，AC共点.
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如图所示，正方体ABCD
—A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：
（1）AM和CN是否是异面直线？
（2）D1B和CC1是否是异面直
线？请说明理由.
考点3 异面直线的判定和证明
【分析】（1）由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线.（2）由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法.
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【解析】（1）不是异面直线.理由如下：
∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点,
∴MN∥A1C1，
又∵A1A D1D,而D1D C1C，
∴A1A C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形.
∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，
∴A,M,N,C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.
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（2）是异面直线，证明如下：
假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，
则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.
∴BC?平面CC1D1，
这与正方体ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾.
∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.
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对异面直线的定义的理解
(1)“既不相交也不平行”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线不同在任何一个平面内.
(2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线.
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如图所示，E,F在AD上，G,H在BC上，图中8条线段所在的直线，哪些直线互为异面直线？
【解析】先找规律性较强的直线，如AB与CD，AC与BD，AD与BC互为异面直线，然后再把EG添入，那么易得EG分别与AB,AC,BD,DC成异面直线.同理，FH也与它们分别成异面直线，EG与FH也互为异面直线.每两条异面直线称为“一对”，则共有12对异面直线.
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【分析】 先由公理1判定FG?平面ABCD,再由平行公理证明线线平行.
考点4 空间中两直线位置关系的判定与证明
如图所示，在正方体AC1中,E是CD的中点,连结AE并延长与BC的延长线交于点F,连结BE并延长交AD的延长线于点G,连结FG.
求证:直线FG?平面ABCD且直线FG∥直线A1B1.
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【证明】由已知得E是CD的中点,在正方体中,有A∈面ABCD,E∈面ABCD,
所以AE?面ABCD.又AE∩BC=F,
所以F∈AE,从而F∈面ABCD.
同理,G∈面ABCD,所以FG?面ABCD.
因为EC AB,故在Rt△FBA中,CF=BC,
同理,DG=AD.又在正方形ABCD中,BC AD,所以CF DG.
所以四边形CFGD是平行四边形.
所以FG∥CD.又CD∥AB,AB∥A1B1,
所以直线FG∥直线A1B1.
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判断空间中直线的位置关系主要依据平面的基本性质及几何体内线面之间的位置关系.将公理1,2,3与平面几何知识相结合,解答一些常规题目.
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已知E和F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点,且AE=C1F,求证:四边形EBFD1是平行四边形.
【证明】如图所示,在DD1上取一点G,使D1G=A1E,则易知
A1E D1G,
∴四边形A1EGD1为平行四边形,
∴EG A1D1,
∴四边形A1EGD1为平行四边形，
∴EG A1D1.
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又∵A1D1 B1C1,B1C1 BC,
∴EG BC(公理4），
∴四边形GEBC是平行四边形，
∴EB GC.又∵D1G FC,
∴四边形D1GCF是平行四边形，
∴GC D1F,∴EB D1F(公理4），
∴四边形EBFD1是平行四边形.
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（1）点共线问题
证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理2证明这些点都在这两个平面的交线上.
（2）线共点问题
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上.
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（3）证明点线共面的常用方法
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后确定证明平面α,β重合.
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