2012届高考数学文科一轮复习精选课件（新人教a版）：7.5 空间中的垂直关系

(共32张PPT)
学案5 空间中的垂直关系
考点1
考点2
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
考 纲 解 读
考 向 预 测
考点3
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考 纲 解 读
空间中的垂直关系 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.
考 向 预 测
1.在客观题、解答题中以特殊几何体为载体考查线面垂直、面面垂直关系以及逻辑推理能力.
2.近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究.立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个热点考向.
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1.直线与平面垂直
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作 .直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.
根据定义，过一点 直线与已知平面垂直；过一点 与已知直线垂直.
l⊥α
有且只有一条
有且只有一个平面
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2.判定定理和性质定理
（1）判定定理：
，则该直线与此平面垂直.
（2）性质定理： .
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直
垂直于同一个平面的两条直线平行
判定 性质
图形
条件 (b为a内的任一条直线)
结论
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3.直线和平面所成的角
一条直线PA和一个平面α相交， ，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的 ，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面平行,或在平面内，我们说它们所成的角是 的角.
4.二面角
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但不和这个平面垂直
射影所成的锐角
直角
0°
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内 ，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.
5.两个平面垂直的定义
一般地,两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.记作 .
6.两个平面垂直的判定与性质
（1）判定定理 ，
则这两个平面垂直.
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分别作垂直于棱的两条射线
直二面角
α⊥β
一个平面过另一个平面的垂线
（2）性质定理
两个平面垂直，则一个平面内 与另一个平面垂直.
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垂直于交线的直线
判定 性质
图形
条件 直二面角
结论
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如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,PA⊥面ABC,问:图中共有多少个Rt△
【分析】找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直.
考点1 线线垂直问题
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【解析】∵PA⊥面ABC,
∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.
∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.
又∵AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,
∴BC⊥面PAC.
∵PC?平面PAC,∴BC⊥PC.
故图中有四个直角三角形:△PAC,△PBC,△PAB,△ABC.
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线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.
如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F.
(1)求证:AF⊥SC;
(2)若平面AEF交
SD于G,求证:AG⊥SD.
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证明: (1)∵SA⊥平面AC,BC?平面AC,
∴SA⊥BC,
∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB,
∴BC⊥AE,又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC,
∴AE⊥SC,又EF⊥SC,
∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC,
又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG,
又由(1)有SC⊥平面AEF,AG?平面AEF,
∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,
∴AG⊥SD.
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如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA= ，
求证：MN ⊥ 平面PCD.
考点2 线面垂直
【分析】（1）因M为AB中点，只要证△ANB为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB.
（2）已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC，易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC.
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【证明】 (1)如图,连接AC，AN，BN，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，
在Rt△PAC中，N为PC中点，
∴AN= PC.
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，
∴BN= PC.∴AN=BN,∴△ABN为等腰三角形,
又M为底边的中点,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.
(2)连接PM,CM，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.
∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC，∴PA=BC.
又∵M为AB的中点，∴AM=BM.
而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.
又N为PC的中点，∴MN⊥PC.
由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,
∴MN⊥平面PCD.
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垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.
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如图所示,Rt△ABC的斜边为AB，过A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：PB⊥平面AEF.
证明：
AP⊥平面ABC?AP⊥BC
BC⊥AC
AP∩CA=A??
AF⊥PC AE⊥PB
BC⊥AF AF⊥面PBC AF⊥PB
BC∩PC=C? AF∩AE=A?
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BC⊥面APC
AF?面APC
PB⊥面AEF.
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［2009年高考山东卷］如图7-5-6，在直四棱柱ABCD
—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰
梯形，图AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,
AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点.
（1）设F是棱AB的中点，证明：
直线EE1∥平面FCC1;
（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.
考点3 面面垂直
【证明】（1）证法一：取A1B1的中点为F1.
连结FF1,C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1,
所以F1∈平面FCC1,
因此平面FCC1即为平面C1CFF1.
连结A1D,F1C, 由于A1F1 D1C1 CD,
所以四边形A1DCF1为平行四边形，
因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D,得EE1∥F1C.
而EE1?平面FCC1，F1C?平面FCC1，
故EE1∥平面FCC1.
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【分析】证明线面平行，可转化为证线线平行或面面平行，故由条件寻求转化的关系；而证明面面垂直，一般用判定定理证明.
证法二：因为F为AB的中点，CD=2,AB=4,AB∥CD,
所以CD AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.
又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC?平面FCC1,
CC1?平面 FCC1,AD∩DD1=D,
AD?平面ADD1A1,DD1?平面ADD1A1,
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1?平面ADD1A1，
所以EE1∥平面FCC1.
故平面D1AC⊥平面BB1C1C.
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(2)连结AC，在△FBC中，FC=BC=FB,
又F为AB的中点，所以AF=FC=FB.
因此∠ACB=90°,即AC⊥BC.
又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C,
所以AC⊥平面BB1C1C.
而AC?平面D1AC,
故平面D1AC⊥平面BB1C1C.
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证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决.
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如图,△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC且EC=CA=2BD,M为EA中点.求证：
（1）平面BDM⊥平面ACE；
（2）平面DEA⊥平面ECA.
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【证明】 (1)取CA中点N，连结MN,BN，在△ACE中，M,N分别为AE,AC中点，
∴MN∥EC，MN= EC.
而BD∥EC，BD= EC,
∴BD ∥ MN,∴B,D,M,N四点共面.
∵EC⊥平面ABC，BN?平面ABC，
∴EC⊥BN.
又∵BN⊥AC，BN⊥EC，AC∩EC=C,
∴BN⊥面ECA.
又BN?面BMD，∴平面BMD⊥平面ACE.
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(2)∵DM∥BN，BN⊥平面ACE,
∴DM⊥平面ACE.
又DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ACE.
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（1）空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直.它们之间存在相互转化关系：
直线与直 直线与平 平面与平
线垂直 面垂直 面垂直
性质
判定
性质
判定
（2）当有面面垂直时，一般是在一个面内找（作）交线的垂线，则有线垂直于面；在证面面垂直时，一般可先从现有的直线寻找平面的垂线，若没有，可作辅助线解决.
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