2012届高考数学文科一轮复习精选课件（新人教a版）：7.2 空间几何体的表面积与体积

(共26张PPT)
学案2 空间几何体的表面
积与体积
考点1
考点2
考点3
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
考 纲 解 读
考 向 预 测
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考 纲 解 读
空间几何体的表面积与体积 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.
简单的组合体的面积与体积的计算，以及平面图形的折叠问题是常考的内容，尤其是在解答题中，多涉及位置关系的证明，面积或体积的计算，着重考查学生识图，用图及空间想象能力，有时也与三视图结合考查.
考 向 预 测
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1.设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面面积计算公式:S直棱柱侧= .即直棱柱的侧面积等于它的 .
2.设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积的计算公式:S正棱锥侧= ,即正棱锥的侧面积等于它的 .
ch
底面周长和高的乘积
nah′= ch′
底面的周长和斜高乘积的一半
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3.设棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式:S正棱台侧= .
4.棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于 .
5.半径为R的球的表面积公式:S球= ，即球面面积等于它的 .
大圆面积的四倍
n(a+a′)h′= (c+c′)h′
侧面积与底面积的和
4πR2
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6.柱、锥、台的侧面积公式的内在联系.
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7.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的 ,即V柱体= .底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱= .
8.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体= .
如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积V圆锥= .
9.如果一个台体（棱台、圆台）的上、下底面的面积分别是S′,S，高是h，那么它的体积V台体= h(S+ +S′).
如果圆台的上、下底面的半径分别是r′,r，高是h，则它的体积是V圆台= πh(r′2+r′r+r2).
底面积S和高h的乘积
Sh
πr2h
Sh
πr2h
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10.如果球的半径为R，则它的体积V球= πR3.
11.柱、锥、台的体积公式的内在联系.
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［2009年高考海南·宁夏卷］一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为( )
A.48+12 B.48+24
C.36+12 D.36+24
考点1 几何体的表面积问题
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【解析】该几何体是一个底面为直角三角形的三棱锥,如图,SE=5,SD=4,AC=6 ,AB=BC=6,
∴S全=S△ABC+2S△SAB+S△ASC
= ×6×6+2× ×5×6+
×6 ×4=48+12 .
故应选A.
【分析】由三视图还原几何体，根据各面的特征分别求面积，再求表面积.
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（1）多面体的表面积是各个面的面积之和.
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形，其表面积为侧面积与底面积之和.
（2）组合体的表面积要注意重合部分的处理.
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［2010年高考安徽卷］一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )
A.280 B.292
C.360 D.372
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【解析】由三视图可知该几何是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体.
∵下面长方体的表面积为8×10×2+2×8×2+10×2×2=232，上面长方体的表面积为8×6×2+2×8×2+2×6×2=152，
又∵长方体表面积重叠一部分，
∴几何体的表面积为232+152-2×6×2=360.
故应选C.
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［2010年高考天津卷］一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .
【分析】由三视图判断几何体的构成，根据所给数据求出有关量，并求体积.
考点2 几何体的体积
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【解析】该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥,下面是底面边长为1,高为2的正四棱柱的组合体,其体积为
V=1×1×2+ ×22×1= .
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（1）三棱锥体积的计算与等体积法
对于三棱锥的体积计算时，三棱锥的顶点和底面是相对的，可以变换顶点和底面，使体积容易计算.
（2）求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法.
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B.
C. 1 D.2
［2010年高考陕西卷］若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
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【解析】由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和 ，三棱柱的高为 ，所以该几何体的体积V= ×1× × =1.
故应选C.
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［2010年高考辽宁卷］已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC= ，则球O的表面积等于( )
A.4π B.3π C.2π D.π
【分析】根据条件，确定球O的位置，并求出球半径.
考点3 球的表面积、体积
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【解析】如图所示，A,B,C三点在一小圆面上，
∵AB⊥BC,AC为斜边，
∴小圆的圆心为AC的中点D.
∵SA=AB=1,BC=2,
∴AC= ,AD= .
∵S,A,B,C都在球面上，取SC的中点O，则OD∥SA.
∵SA⊥平面ABC,∴OD⊥平面ABC,
∴O为球心，SO为半径.
∵SC= =2,∴SO=1,
∴球O的表面积为4π.
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本题考查球的几何性质及表面积公式，考查运算求解能力，考查数形结合、转化与化归思想，难度较大.
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在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2.求球的表面积.
【解析】如图为球的轴截面,由球的截面性质知,AO1∥BO2,且O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2,设球的半径为R.
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∵π·O2B2=49π,∴O2B=7（cm）.
∵π·O1A2=400π,∴O1A=20(cm).
设OO1=x cm,则OO2=(x+9) cm.
在Rt△OO1A中，R2=x2+202.
在Rt△OO2B中，R2=(x+9)2+72,
∴x2+202=72+(x+9)2,
解得x=15,
∴R2=x2+202=252,∴R=25.
∴S球=4πR2=2 500π(cm2).
∴球的表面积为2 500π cm2.
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1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大.
2.要注意将空间问题转化为平面问题.
3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利.
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4.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形 ， 明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图 ，如球内切于正方体 ，切点为正方体各个面 的 中心，正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图.
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