2012届高考数学文科一轮复习精选课件（新人教a版）：第5章 不等5.1 不等关系与不等式

(共32张PPT)
学案1 不等关系与不等式
考点1
考点2
考点3
考点4
知识网络构建
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
考 纲 解 读
考 向 预 测
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考 纲 解 读
不等关系与不等式 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.
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考 向 预 测
纵观近三年新课标区高考可以发现，由于新课程标准对不等式的性质要求不高，高考也几乎没有单独命题，作差法比较两实数大小也仅是解决问题的工具，一般不单独命题，高考对本学案知识的考查往往结合函数的性质，利用函数中的不等关系比较实数的大小.
1.实数大小的比较
(1)设a,b∈R,则
①a＞b? ;
②a=b? ;
③a＜b? .
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a-b＞0
a-b=0
a-b＜0
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3.不等式的性质
(1) a＞b? （对称性）.
(2) a＞b,b＞c? (传递性).
(3)a＞b? ;
(4) a＞b,c＞0? ;
a＞b,c＜0? ;
(5)a＞b ,c＞d ;
b＜a
a＞c
a+c＞b+c
a+c＞b+d
ac＜bc
ac＞bc
(6) a>b>0,c＞d＞0 (可乘性).
(7) a＞b＞0? (n∈N*)（乘方性）.
(8) a＞b＞0= (n∈N*)（开方性）.
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an＞bn
ac>bd
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考点1 不等式的概念与性质
［2010年高考江西卷］对于实数a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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【分析】本题利用不等式的性质及充要条件的判定直接作出判断.
【解析】a>b?/ ac2>bc2，原因是c可能为0，而若ac2>bc2,则可推出a>b.
故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件.
故应选B.
（1）准确记忆各性质成立的条件， 是正确应用性质的前提.
（2）在不等关系的判断中，特殊值法也是非常有效的方法.
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［2010年高考广东卷］“x>0”是“ ”成立的 ( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.非充分非必要条件 D.充要条件
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【答案】A
【解析】因为当x>0时，一定有 ，但当 时，x<0也成立，因此x>0是 成立的充分不必要条件.
故应选A.
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考点2 应用不等式表示不等关系
某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元，90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式.
【分析】把握关键点，不超过1 000万元，且A,B两种车型分别至少5辆，6辆，则不等关系不难表示，要注意取值范围.
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【解析】设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，则 40x+90y≤1 000
x≥5
y≥6
x,y∈N+,
4x+9y≤100
x≥5
y≥6
x,y∈N+.
即
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注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关系强调的是关系，可用“>”“<”“≥”“≤”“≠”表示，不等式则是表现不等关系的式子，对于实际问题中的不等式关系可以从“不超过”“至少”“至多”等关键词上去把握，并考虑到实际意义.
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某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.该车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式.
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【解析】设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，根据题意，应有如下的不等关系：
（1）甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；
（2）车队每天至少要运360 t矿石；
（3）甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆.
用关于x,y的不等式表示上述不等关系即可.
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5x+4y≥30
0≤x≤4
0≤y≤7
x,y∈N.
即
x+y≤9
10×6x+6×8y≥360
0≤x≤4
0≤y≤7
x,y∈N,即x+y≤9
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考点3 大小比较
设x+y<0,试比较（x2+y2）(x-y)与（x2+y2）· （x+y）
的大小；
(2)已知a>0,b>0,且a≠b,试比较aabb与（ab） 的大小.
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【分析】比较两数（或两式）的大小，一般用比较法，具体用作差比较还是用作商比较应由数（或式）特点而定.
【解析】 (1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)［(x2+y2)-(x+y)2］
=-2xy(x-y).
∵x∴-2xy(x-y)>0,
∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).
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(2)若a＞b＞0,则 ＞1,a-b＞0.
由指数函数的性质 ＞1.
若b＞a＞0,则0＜ ＜1，a-b＜0.
由指数函数的性质 ＞1.
∴ ＞1, ∴ .
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（1）比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负.
（2）作商比较通常适用于两代数式同号的情形.
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比较下列各组中两个代数式的大小:
(1)(x-3)2与(x-2)(x-4);
(2)当x>1时,x3与x2-x+1;
(3) + 与2+ .
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【解析】 (1)(x-3)2-(x-2)(x-4)=x2-6x+9-(x2-6x+8)=1>0,
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
(2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1
=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),
∵x>1,∴x3-(x2-x+1)>0,∴当x>1时,x3>x2-x+1.
(3)∵ ,
∴ =
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考点4 范围问题
已知-1＜a+b＜3且2＜a-b＜4,求2a+3b的取值范围.
【分析】将2a+3b用a+b和a-b表示出来，再利用不等式的性质求解2a+3b的范围.
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【解析】设2a+3b=m（a+b）+n（a-b），
∴ m+n＝２
m-n=3，
∴m= ，n= .
∴2a+3b= （a+b） （a-b）.
∵-1＜a+b＜3,2＜a-b＜4,
∴ ＜ (a+b)< ,-2＜ (a-b)＜-1,
∴ ＜ (a+b) (a-b)＜ ,
即 ＜2a+3b＜ .
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由a＜f1(x1,y1)＜b,c＜f2(x1,y1)＜d,求g（x1，y1）的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g（x1，y1）=pf1（x1，y1）+qf2（x1，y1），用恒等变形求得p，q，再利用不等式的性质求得g（x1，y1）的范围.此外，本题也可用线性规划的方法来求解.
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设f（x）=ax2+bx且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f（-2）的取值范围.
【解析】解法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
m+n=4
n-m=-2,
m=3
n=1,
解得
于是得
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∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
解法二:由 f(-1)=a-b
f(1)=a+b,
a= ［f(-1)+f(1)］
b= ［f(1)-f(-1)］,
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
得
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∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
解法三：由 1≤a-b≤2
2≤a+b≤4 确定的平面区域如图.
当f(-2)=4a-2b过点A ( ) 时,
取得最小值4× -2× =5,
当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时，
取得最大值4×3-2×1=10,
∴5≤f(-2)≤10.
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1.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a＞b,ab＞0? ,不能弱化条件得a＞b ,也不能强化条件得a＞b＞0? .
2.要正确处理带等号的情况.如由a＞b,b≥c或a≥b,b＞c均可得出a＞c;而由a≥b,b≥c可能有a＞c,也可能有a=c，当且仅当a=b且b=c时，才会有a=c.
3.两不等式相加的前提是两不等式必须同向，如“＞”与“＞”,“＞”与“≥”均可理解成同向；两不等式相乘除了要同向外，还必须满足各数均是非负的.原则上不等式不能相减或相除.