2012届高考数学文科一轮复习精选课件（新人教a版）：第5章 不等5.5 不等式的应用

(共27张PPT)
学案5 不等式的应用
考点1
考点2
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
考 纲 解 读
考 向 预 测
考点3
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考 纲 解 读
不等式的应用 能够运用不等式的性质、定理、公式及不等式的解法解决函数、方程、解析几何、实际问题等的有关问题.
考 向 预 测
不等式是贯穿整个高中数学的一根主线,高考试题的解答题中,不等式与函数、方程、立体几何、解析几何、数列的综合题频频出现，近几年高考试题加强了对生产和生活密切联系实际的应用性问题的考查力度.
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1.利用基本不等式求最值:
若p,k为常数,且a,b∈(0,+∞),则
(1)a·b=k,当且仅当a=b时,a+b有最 值 ;
(2)a+b=p,当且仅当a=b时,a·b有最 值 .
运用以上结论求最值,要注意以下三个问题:
小
大
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(1)要求各数均为 ;
(2)要求和或积为 ;
(3)要注意是否具备 成立的条件.
2.不等式的的应用，主要表现在
(1)求函数的定义域、值域和 问题;
(2)判断函数的 及其相应的 ;
(3)利用不等式讨论方程的实根个数、 和解含
参数的方程；
等号
正数
定值
最大值、最小值
单调性
单调区间
分布范围
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(4)将不等式同数学其他分支结合起来，解决一些有
的综合题.
3.解不等式应用问题的几个主要步骤:
(1) ,必要时画出示意图;
(2) ,建立不等式模型,即根据题意找出常量与变量的不等关系;注意文字语言、符号语言、图形语言的转换；
(3) ，利用不等式的有关知识解题.
实际应用价值
审题
建模
求解
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若关于x的方程4x+a·2x+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围.
【分析】换元后转化为一元二次方程在区间(0,+∞)上有实数解的问题，也可分离参数转化为函数求值域问题.
考点1 不等式在函数方程中的应用
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【解析】解法一：令t=2x(t＞0)，则原方程化为t2+at+a+1=0，问题转化为方程在(0,+∞)上有实数解?
Δ≥0 a2-4(a+1)≥0
方程较大根大于0? ＞0
? a≤2-2 .
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解法二：令t=2x(t＞0)，则原方程化为
t2+at+a+1=0，变形得
a= -
=-〔(t-1)+ 〕 =-［(t+1)+ -2］≤-(2 -2)
=2-2 .
当“=”成立时，(t+1)2=2,∴t= -1.
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不等式在方程、函数中的应用，主要是利用不
等式的解或者均值不等式求最值，或函数求最值.
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【答案】 (-∞,- ]∪[ ,+∞)
［2010年高考天津卷］设函数f(x)=x2-1，对任意x∈[ ,+∞），f（ ）-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 .
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【解析】∵f(x)=x2-1,x∈[ ,+∞),
F( )-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)对x∈[ ,+∞)恒成立,
即 -1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)对x∈[ ,+∞)恒成立.
∴ -4m2-1≤-2x-3x2对x∈[ ,+∞）恒成立.
令g(x)= ,
则g(x)
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∵x≥ ,∴0< ≤ .
∴当 = 时，g(x)min=- .
∴ -4m2-1≤- .
整理得12m4-5m2-3≥0,(3m2+1)(4m2-3)≥0,4m2-3≥0,
即m≥ 或m≤- .
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考点2 不等式在几何中的应用
［2010年高考湖北卷］已知椭圆C: 的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0< <1,则|PF1|+|PF2|的取值范围为,直线 =1与椭圆C的公共点个数为 .
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【分析】根据椭圆的定义、性质，以及直线与椭圆的位置关系求解.
【解析】∵点P(x0,y0)满足0< <1,
∴点P在椭圆内,且不是坐标原点.
∴|F1F2|≤|PF1|+|PF2|<2a.
∴2≤|PF1|+|PF2|<2 .
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由 +y0y=1,得y= x.
代入椭圆的方程 =1，得
=0.
而 <1,∴Δ<0,∴没有公共点.
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用不等式解决解析几何问题时,要注意利用问题中的条件构造不等式,再用不等式的相关知识来解决.
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2009年高考江西卷］若不等式 ≤k(x+2)- 的解集为区间［a,b］,且b-a=2,则k= .
【解析】令y1= ,y2=k(x+2)- ,在同一个坐标系中作出其图象.
因 ≤k(x+2)- 的解集为
［a,b］且b-a=2,
结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2 ).
∴k= .
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考点3 不等式 在实际问题中的应用
经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y= (v＞0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少（精确到此为止0.1千辆/小时）？
(2)若要求在该时段内车流量超过去时过去时10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
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【分析】直接对y求最大值即可.可对解析式中分子、分母同除以v，为运用均值不等式创造条件.
【解析】（1）依题意，
当且仅当v= ，即v=40时，上式等号成立，
所以ymax= ≈11.1(千辆/小时).
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（2）由条件得 ＞10,
整理得v2-89v+1 600＜0,
即（v-25）（v-64）＜0,
解得25＜v＜64.
答：当v=40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时.
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在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下4点:①先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最值的变量定为函数;②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;③在定义域内,求出函数的最值;④正确写出答案.
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设计一幅宣传画,要求画面面积4 840 cm2,画面的宽和高的比为λ(λ＜1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm的空白.怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张最小？如果要使λ∈[ ],那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张最小？
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【解析】设高为x cm,则宽为λx cm,依题意有
λx2=4 840 cm2,
则x= ,
宣传画所用纸张的总面积为
y=(x+16)·（λx+10）=λx2+(16λ+10)x+160
=5 000+16λ +10
=5 000+44(8 +5 )
≥5 000+88· =6 760,
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当且仅当 ,即λ= 时等号成立；
当λ∈[ ， ]时，上面解题过程中等号不可能成立，设g（λ）= + = ,显然函数在 ∈(0, ]，即λ∈(0, ]时单调递减，在λ∈[ ,+∞)时单调递增，当λ∈[ , ]时单调递增，即λ= 时取最小值.
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1.不等式既是数学的基础知识,又是解决数学问题的重要工具.在解决函数的定义域、值域、单调性、恒成立、方程根的分布、参数取值范围、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中都有广泛的应用.
2.应用不等式解决数学问题时,关键在于把等量关系转化为不等关系,把问题转化为不等式问题求解.
3.应用不等式解决应用问题时要先弄清题意,据题意列出不等式或函数式,再利用不等式知识求解.
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