2012届新课标高考数学文科一轮复习精选课件：2.10函数模型及其应用

(共37张PPT)
学案10 函数模型及其应用
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
考 纲 解 读
考 向 预 测
考点1
考点2
考点3
考点4
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考 纲 解 读
函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
(2)了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
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1.新课标下,重视了应用问题的探究,因而本部分内容将是高考的重点内容.
2.以解答题为主,考查数学建模能力以及分析问题、解决问题的能力，属于中、高档题，偶尔也会在选择、填空题中考查.
3.几种增长型的函数模型的应用可能会成为高考的又一生长点.
考 向 预 测
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1.构建函数模型的基本步骤
不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律,函数模型可以处理生产 、生活、 科技中很多实际问 题.
解决应用问题的基本步骤:
（1）审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系,恰当选择模型;
（2）建模:将文字语言、图形（或数表）等转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
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（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义.
2.常见的几种函数模型
(1)一次函数型y=kx+b;
(2)反比例函数型y= (k≠0);
(3)二次函数型y=ax2+bx+c(a≠0);
(4)指数函数型y=N(1+p)x(增长率问题)(x>0);
(5)对数函数型y=AlogaN+B(a>0且a≠1,N>0);
(6)分段函数型.
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考点1 二次函数模型
如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b返回目录
【解析】设四边形EFGH的面积为S,则
S△AEH =S△CFG = x2,
S△BEF =S△DGH = (a-x)(b-x),
【分析】依据图形建立起四边形EFGH的面积S关于自变量x的目标函数,然后利用解决二次函数的最值问题求出S的最大值.
由图形知函数的定义域为{x|0若 ≤b,即a≤3b时,
则当x= 时,S有最大值 ;
若 >b,即a>3b时，S(x)在(0,b］上是增函数.
此时当x=b时，S有最大值为-2b-( )2+ =ab-b2.
综上可知，当a≤3b时，x= 时，四边形面积 Smax=
,当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.
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二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题,值得注意的是:一定要注意自变量的取值范围,根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.
某人定制了一批地砖,每块地砖(如图中(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD,点E,F分别在边BC和CD上,△CFE,△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成△CFE,△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图中(2)所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分组成四边形EFGH.
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(1)求证:四边形EFGH是正方形;
(2)E,F在什么位置时,定制这批地砖所需的材料的费用最省
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(1)证明:图(2)是由四块图(1)所示地砖绕点C按顺时针旋转90°后得到的,△CFE为等腰直角三角形,∴四边形EFGH是正方形.
(2)设CE=x,则BE=0.4-x,每块地砖的费用为W,制成△CFE,△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a,2a,a(元),
W= x2·3a+ ×0.4×(0.4-x)×2a
+〔 0.16- x2- ×0.4×(0.4-x) 〕a
=a(x2-0.2x+0.24)=a［(x-0.1)2+0.3］(0由a>0,当x=0.1时,W有最小值,即总费用最省.
答:当CE=CF=0.1米时,总费用最省.
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考点2 分段函数型
某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x（吨）.
(1)求y关于x的函数;
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
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【分析】用水量的不同,收费标准不同,甲、乙两户的用水量分别为5x,3x，需分段列函数式，根据所列的分段函数分析判断共交水费26.4元，甲、乙应分别为多少.
【解析】 (1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;
当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,
即3x≤4,且5x>4时,
y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)
=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,
y=2×4×1.8+3×［(3x-4)+(5x-4)］=24x-9.6.
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14.4x,0≤x≤
20.4x-4.8, 24x-9.6,x> .
(2)由于y=f(x)在各段区间上单调递增,
当x∈[0, ]时,y≤f( )<26.4;
当x∈( , ]时,y≤f( )<26.4;
当x∈( ,+∞)时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.
所以甲户用水量为5x=7.5吨,
付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元);
乙户用水量为3x=4.5吨,
付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).
所以y=
本题主要考查运用函数知识解决实际问题的能力,考查分析问题能力和数学思维能力.本题充分体现了数学建模思想,在解题思维中蕴含着分类讨论思想.
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某工厂生产一种机器的固定成本 (即固定投入) 为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x- (万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:百台).
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大
(3)年产量是多少时,工厂才不亏本
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【解析】 (1)当x≤5时,产品能售出x百台;
当x>5时,只能售出5百台,
故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)
(5x- )-(0.5+0.25x)
(5×5 ) -(0.5+0.25x)
4.75x- -0.5(0≤x≤5)
12-0.25x(x>5).
【分析】对于一些较复杂的应用题,有时仅构造一个数学模型还不能解决根本问题,需先后或同时构造、利用几个数学模型才可.
=
=
(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x- -0.5,
当x=4.75时,L(x)max=10.78125万元.
当x>5时,L(x)=12-0.25x为减函数.
此时L(x)<10.75(万元).
∴生产475台时利润最大.
0≤x≤5 x>5
4.75x- -0.5≥0 12-0.25x≥0,
得5≥ x≥4.75- =0.1（百台)或5返回目录
(3)由
或
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考点3 指数函数、对数函数型
1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.
(1)世界人口在过去40年内翻了一番,问每年人口平均增
长率是多少
(2)我国人口在1998年底达到12.48亿,若将人口平均增
长率控制在1%以内,我国人口在2008年底至多有多
少亿
以下数据供计算时使用:
真数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000
对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0
真数N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78
对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2
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【分析】增长率问题是指数函数与幂函数问题，利用已知条件，列出函数模型.
【解析】 (1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口 数为y,则y·(1+x)n=60,则当n=40时,y=30,
即30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2,
两边取对数,则40lg(1+x)=lg2,
则lg(1+x)= =0.007 525,
∴1+x≈1.017,得x=1.7%.
(2)依题意,y≤12.48(1+1%)10,
得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,
∴y≤13.78,故人口至多有13.78亿.
答:每年人口平均增长率为1.7%,2008年底人口至多有13.78亿.
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此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.
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某工厂2006年生产某种产品2万件，计划从2007年开始每年比上一年增产20%，问从哪年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（lg2=0.3010,lg3=0.4771）
设从2006年开始x年后,这家工厂生产这种产品的年产量超
过12万件，依题意，得
2(1+20%)x-1>12,即1.2x-1>6.
x>1+log1.26=1+ =1+
=1+
=1+
=1+ =10.8,∴x≥11.
故从2018年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件.
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［2010年高考湖北卷］为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
考点4 导数型
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【分析】根据题意,利用C(0)=8求出k,利用导数求出最值.
【解析】（1）设隔热层厚度为x cm,由题设，每年能源消耗费用为C(x)= ，再由C(0)=8得k=40,因此C(x)=
.
而建造费用为C1(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)=20C(x)+C1(x)=20× +6x= +6x(0≤x≤10).
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(2)f′(x)=6- .
令f′(x)=0,即 =6,
解得x=5或x= (舍去).
当00.
故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为
f(5)=6×5+ =70.
当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元.
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求出k后,确定目标函数,利用导数求出最值.
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为３元，并且每件产品需向总公司交a元（３≤a≤５）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（９≤x≤１１）时，一年的销售量为（１２－x）２万件.
（1）求分公司一年的利润Ｌ（万元）与每件产品的售价x（元）的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出Ｌ的最大值Ｑ（a）.
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【解析】（１）分公司一年的利润Ｌ（万元）与售价x（元）的函数关系式为
Ｌ＝（x-3-a）(12-x)2,x∈［９，１１］.
（２）Ｌ′(x)＝（12－x）２－2（x-3－a）（12－x）
＝（12－x）(18+2a-3x).
令Ｌ′ (x)＝０得x1＝６＋ a或x2＝12（不合题意，舍去）.
∵３≤a≤５，∴８≤６＋ a≤ .
在x＝６＋ a两侧Ｌ′(x)的值由正变负，
∴（１）当８≤６＋ a＜９，即３≤a＜ 时，
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Ｌmax＝Ｌ（9）＝（9-3-a）（12-9）2＝９（６－a）.
（２）当９≤６＋ a≤9，即 ≤a≤5时，
Ｌmax＝Ｌ（6+ a）
＝（６＋ a－３-a）[12-6+ a）] 2
=4（3- a）3.
∴Ｑ（a）＝ 9(6-a) ３≤a＜ ，
4（3- a）3 ≤a≤５.
若３≤a＜９２，则当每件售价为９元时，分公司一年的利润Ｌ最大，最大值Ｑ（a）＝９（６－a）（万元）；若９２≤a≤５，则当每件售价为（6+ a）元时，分公司一年的利润Ｌ最大，最大值Ｑ（a）＝4（3- a）3（万元）.
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解应用问题,首先,应通过审题,分析原型结构,深刻认识问题的实际背景,确定主要矛盾,提出必要假设,将应用问题转化为数学问题求解;然后,经过检验,求出应用问题的解.从近几年高考应用题来看,顺利解答一个应用问题重点要过三关,也就是要从三个方面来具体培养学生的分析问题和解决问题的能力.
(1)事理关:通过阅读,知道讲的是什么,培养学生独立获取知识的能力.
(2)文理关:需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.
(3)数理关:在构建数学模型的过程中,要求学生有对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化.构建了数学模型后,要正确解出数学问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的数理能力.
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