2012届高考数学文科一轮复习精选课件（新人教a版）：6.2 等差数列

(共29张PPT)
学案2 等 差 数 列
考点1
考点2
考点3
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
考 纲 解 读
考 向 预 测
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考 纲 解 读
等差数列 1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
等差数列知识在高考中属必考内容,通常直接考查等差数列的通项公式、前n项和公式的题目为容易题,一般以选择题、填空题形式出现，而与其他知识（函数、不等式、解析几何等）相结合的综合题一般为解答题，难度不大为中档题.近几年主要考查等差数列通项公式、求和公式的综合题，难度较小.
考 向 预 测
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1.等差数列的概念
一般地，如果一个数列从
等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
2.通项公式
an= ，推广：an=am+ ,
第2项起，每一项与前一
项的差都
a1+（n-1）d
（n-m）d
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变式:a1=an+ ;d= .
由此联想到点列(n,an)所在直线的方 .
3.等差中项
若a,b,c成等差数列,则称b为 ,
且b= ,a,b,c成等差数列是2b=a+c的 条件 .
4.前n项和Sn= = .
变式：
（1-n）d
y=dx+（a1-d）
a与c的等差中项
充要
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5.等差数列{an}的一些常见性质
（1）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*）,
则 .
（2）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即ak，ak+m，ak+2m，…（k，m∈N*）成等差数列.
（3）设Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…构成的数列是 数列.
等差
am+an=ap+aq
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［2010年高考大纲全国卷Ⅰ］记等差数列{an}的前n项和为Sn,设S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,求Sn.
考点1 基本量计算
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【分析】在等差数列中有五个重要的量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个，就可求出其他两个.其中a1和d是两个最重要的量，通常要先求出a1和d.
【解析】设数列{an}的公差为d,依题设有
2a1(a3+1)=a22
a1+a2+a3=12,
a12+2a1d-d2+2a1=0
a1+d=4,
a1=1 a1=8
d=3 d=-4.
因此Sn= n(3n-1)或Sn=2n(5-n).
即
解得
或
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方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.
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［2009年高考江苏卷］设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7.
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）试求所有的正整数m,使得 为数列{Sn}中的项.
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【解析】(1)由题意,设等差数列{an}的通项公式为
an=a1+(n-1)d,d≠0.
由a22+a32=a42+a52知2a1+5d=0.①
又因为S7=7,所以a1+3d=1.②
由①②可得a1=-5,d=2.
所以数列{an}的通项公式an=2n-7,Sn=na1+ d=n2-6n.
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(2)因为
为数列｛Sn｝中的项，故 为整数.
又由(1)知am+2为奇数,所以am+2=2m-3=±1,即m=1或2.
经检验,符合题意的正整数m不存在.
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(1)［2010年高考大纲全国卷Ⅱ］如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=( )
A.14 B.21 C.28 D.35
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )
A.63 B.45 C.36 D.27
【分析】由等差数列性质求解，更简单.
考点2 等差数列的性质及应用
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【解析】 (1)由等差数列性质得a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4,
∴a1+a2+…+a7=7× =7×4=28.
故应选C.
(2)解法一：设等差数列首项为a1，公差为d.
3a1+ d=9, a1=1
6a1+ d=36. d=2.
∴a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3×(1+7×2)=45.
则
解得
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解法二：由等差数列的性质知：
S6-S3=36-9=27,
d′=27-9=18,
∴a7+a8+a9=S3+2d′=9+2×18=45.
故应选B.
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等差数列的简单性质:
已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.
(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
特别:若m+n=2p,则am+an=2ap.
(2)am,a m+k,a m+2k,a m+3k,…仍是等差数列,公差为kd.
(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(4)S2n-1=(2n-1)an.
(5)若n为偶数,则S偶-S奇= d.
若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
(6)数列{c·an},{c+an},{pan+qbn}也是等差数列,其中c,p,q均为常数,{bn}是等差数列.
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（1）等差数列{an}中, a15=33,a45=153,则d= .
（2）等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=20，则a3= .
（3）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为
146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 （ ）
A.13 B.12 C.11 D.10
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（1）由d= ，得d= =4.
（2）由a1+a5=a2+a4=2a3，得5a3=20，所以a3=4.
（3）因为a1+a2+a3=34，an-2+an-1+an=146，
a1+a2+a3+an-2+an-1+an=146+34=180，
又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2，
所以3（a1+an）=180，从而a1+an=60，
所以Sn= ，即n=13.故应选A.
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在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10 =S15,
求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
【分析】 (1)由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项,由通项得到此数列前多少项为正,或利用Sn是关于n的二次函数,利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等差数列的性质,判断出数列从第几项开始变号.
考点3 等差数列前n项和的最值
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【解析】解法一：∵a1=20,S10=S15,
∴10×20+ d=15×20+ d,
∴d=- .
∴an=20+(n-1)×(- )=- n+ .
∴a13=0.
即当a≤12时，an＞0，n≥14时，an＜0.
∴当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为
S12=S13=12×20+ ×(- )=130.
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解法二：同解法一求得d=- .
∴Sn=20n+ ·(- )=- n2+ n
=- (n- )2+ .
∵n∈N+,∴当n=12或13时，Sn有最大值，
且最大值为S12=S13=130.
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解法三：同解法一得d=- .
又由S10=S15，得a11+a12+a13+a14+a15=0.
∴5a13=0，即a13=0.∴当n=12或13时,Sn有最大值,
且最大值 为S12=S13=130.
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求等差数列前n项和的最值，常用的方法：
（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；
（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最
值；
（3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A，B为常
数） 为二次函数，根据二次函数的性质求最值.
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在等差数列{an}中，a1＜0,S9=S12,求数列前多少项和最小.
解法一：由S9=S12，得9a1+ d=12a1+ d,得
3a1=-30d，∴d=- a1.∵a1＜0,∴d＞0,
∴Sn=na1+ n（n-1）d= dn2- dn= (n- )2-
d.∵d＞0,∴Sn有最小值.
又∵n∈N*,∴n=10或n=11时，Sn取最小值，最小值是-55d，即S10或S11最小且S10=S11=-55d.
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解法二：由解法一知d=- a1＞0,又∵a1＜0,
∴数列{an}为递增数列.
a≤0, a1+（n-1）d≤0
an+1＞0, a1+nd＞0
?a1+(n-1)(- a1)≤0? 1- (n-1)≥0
a1+n(- a1)＞0 1- n＜0
?10＜n≤11,
∴数列的前10项均为负值，a11=0，从第12项起为正值.
∴n=10或11时，Sn取最小值.
即
令
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解法三：∵S9=S12，∴a10+a11+a12=0，∴3a11=0，∴a11=0.
又∵a1＜0,∴数列为递增数列.
因此数列的前10项均为负值，a11=0，从第12项起为正值.
∴当n=10或11时，Sn取最小值.
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1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.
2.由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，要善于减少运算量，达到快速、准确的目的.
3.已知三个或四个数成等差一类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a+d，a+2d外，还可设a-d，a，a+d；四个数成等差数列时，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d.
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4.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：
（1）利用定义，证明an-an-1（n≥2）为常数.
（2）利用等差中项，即证明2an=an-1+an+1（n≥2）.
5.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用.
6.等差数列{an}中，当a1＜0,d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0,d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值，当d=0时，{an}为常数列.
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