2012届高考复习方案数学理科（北师版）第2单元第10讲　幂函数与函数的图像

(共25张PPT)
第10讲 │ 幂函数与函数的图像
第10讲　幂函数与函数的图像
知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数定义：一般地，形如______(α∈R)的函数称为幂函数，
其中α为常数．
几种常见幂函数的图像：
①y＝x；②y＝x；③y＝x2；④y＝x－1；⑤y＝x3.
图10－1
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y＝xα
(2)幂函数性质
①所有的幂函数在______都有定义，并且图像都过点______；
②α>0时，幂函数的图像通过______，并且在区间[0，＋∞)上是________．特别地，当α>1时，幂函数的图像______；当0<α<1时，幂函数的图像______；
③α<0时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是__________．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
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(0，＋∞)
(1,1)
原点
增函数
下凸
上凸
减函数
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　　2．函数图像
以解析式表示的函数作图像的方法有两种，即____________和____________．
描点法：
(1)作函数图像的步骤：
①确定函数的________；
②化简函数的解析式；
③讨论函数的性质，即____________________________________________；
④描点连线，画出函数的图像．
列表描点法
图像变换法
定义域
单调性、奇偶性、周期性
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x轴方向
平移|a|
关于y轴
原点
直线x＝a
Ⅱ、函数y＝f(|x|)的图像可以将函数y＝f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分，并保留__________________________即可得到．
③翻折变换：
Ⅰ、函数y＝|f(x)|的图像可以将函数y＝f(x)的图像的x轴下方部分沿________翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留____________________即可得到；
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x轴
y＝f(x)的x轴上方部分
y＝f(x)在y轴右边部分
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纵坐标伸长(a>1)或压缩(0要点探究
　探究点1　幂函数定义的应用
第10讲 │ 要点探究
[思路] 利用各类函数的定义，确定x的指数的取值
[解答] (1)由m2＋2m＝1，解得m＝－1±.
(2)由m2－2m－1＝1，得m＝1±.
(3)由m2－2m－1＝－1，m＝0或m＝2，又当m＝0 时，m2＋2m＝0，不符合题意，舍去，故m＝2.
　探究点2　幂函数的图像与性质
第10讲 │ 要点探究
[思路]利用幂函数的奇偶性和单调性确定m的值，再由幂函数的单调性确定a的值
例2 已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)<(3－2a)的a的取值范围．
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[点评] 本题集幂函数概念、图像及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．由幂函数的定义求参数的取值范围时，要注意检验求得的参数是否符合题意，如：
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[答案] 2
(1)函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，则m＝________.
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(2)幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图10－4)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ＝__________.
图10－4
[答案] 1
　探究点3　函数的图像的画法
[思路]根据各函数解析式的结构特征，分析其图像是由哪类初等函数经过何种变换而得
第10讲 │ 要点探究
第10讲 │ 要点探究
第10讲 │ 要点探究
第10讲 │ 要点探究
[点评] (1)利用描点法作函数图像的步骤是：列表、描点、连线，若对函数图像的形状比较熟悉，可不必列表，直接描点、连线；(2)利用图像变换作函数图像，关键是找出基本初等函数，将函数的解析式分解为只有单个变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图像．
第10讲 │ 要点探究
[答案] ①⑧⑤或①③⑧或④⑧①或④①⑧(填一组即可)
[思路] 先确定图像变换的种类，然后确定图像变换的顺序
第10讲 │ 要点探究
[点评] 将函数f(x)经过多种图像变换得到g(x)的图像，可能有多种不同的顺序，但不管按哪种顺序进行变换，都必须遵循“只能对函数关系式中的x、y进行变换”的原则，否则容易出错．
　探究点4　函数图像的识别与应用
例4 如图10－5所示，一质点P(x，y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的影点Q(x,0)的运动速度V＝V(t)的图像大致为(　　)
第10讲 │ 要点探究
图10－5
第10讲 │ 要点探究
[思路] 从已知图形中封闭曲线入手，研究投影点Q(x,0)的速度的变化规律．
[答案] B
[解析] 由图可知，当质点P(x，y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到负数，到负数，再到0，到正，故A错误，质点P(x，y)在开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因此C是错误的，故选B.
[点评] 函数图像是函数关系的直观表现，它可以形象的反映函数中变量间的变化关系，有助于我们对函数关系的直观理解和对函数性质的分析，处理函数问题时要心中有形．
第10讲 │ 要点探究
[答案] C
(1)有四个函数：①y＝x·sinx；②y＝x·cosx；③y＝x·|cosx|；④y＝x·2x的图像(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是(　　)
A．④①②③ B．①④③②
C．①④②③ D．③④②①
图10－7
[解析] (1)函数xsinx是偶函数，因此其图像只能是第一个，函数y＝xcosx与y＝x|cosx|都为奇函数，但当x>0时，y＝x|cosx|≥0恒成立，故函数只能是第四个，函数y＝x·2x不具有奇偶性，因此其图像只能是第二个，故选C.
第10讲 │ 要点探究
(2)如图10－8，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图像大致是(　　)
图10－8
图10－9
[答案] B
第10讲 │ 要点探究
规律总结
第10讲 │ 规律总结
1．幂函数y＝xa的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现的第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；在(0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图像愈靠近x轴，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴；幂函数的单调性、奇偶性由指数决定．
2．作图
作图的常用方法有描点法和变换法，对前者，要注意对函数性质的研究；对后者，要熟悉常见函数及图像的变换法则，在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x、y变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错．
第10讲 │ 规律总结
3．识图
对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，注意图像与函数解析式中参数的关系．
4．用图
函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合思想的应用．