2012届高考复习方案数学理科（北师版）第2单元第13讲　导数及其运算

(共22张PPT)
第13讲 │ 导数及其运算
第13讲　导数及其运算
知识梳理
1．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝__________________，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作________ ____，即f′(x0)＝ ＝______________________.
2．当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称它为f(x)的________，简称______，有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.
第13讲 │ 知识梳理
f′(x0)或y′|x＝x0
导函数
导数
3．导数的几何意义
(1)设函数y＝f(x)在x0处可导，则f′(x0)表示曲线上相应点M(x0，y0)处的____________，点M处的切线方程为______________________．
(2)设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t0时刻的____________．
(3)设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的________．
第13讲 │ 知识梳理
切线的斜率
y－y0＝f′(x0)(x－x0)
瞬时速度
加速度
第13讲 │ 知识梳理
0
nxn－1
cosx
－sinx
ex
ax·lna
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
f′(u)φ′(x)
要点探究
　探究点1　导数的概念
第13讲 │ 要点探究
[思路] 用导数的定义即可求解．
[答案] (1)2f′(x0)　 (2)2f′(x0)
第13讲 │ 要点探究
[点评] 利用导数定义解题，要充分体会导数定义的实质，表达式不同，但表达的实质可能相同．比如下面的变式题：
第13讲 │ 要点探究
[答案] B
[解析]根据导数定义，分子中x0的增量应与分母相同，故选B.
[思路] 紧扣导数定义，正确理解增量Δx的实质．
　探究点2　利用求导法则求导
第13讲 │ 要点探究
[思路] 先判断原函数的类型，再套用公式求解．
[答案] B
第13讲 │ 要点探究
[点评] 利用公式求导，不能混淆“幂函数”与“指数函数”的求导公式，不能混淆指数函数导数的系数与对数函数导数的系数．
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 要点探究
[点评] 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的作用，在实施化简时，要注意变换的等价性，避免不必要的失误．对于某些不满足求导法则条件的函数，可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成．
第13讲 │ 要点探究
[思路] 本例题中的函数均为复合函数，求导时需搞清复合的层次，注意使用整体的观点，弄清每一步是对哪一层求导，用什么公式求导．
第13讲 │ 要点探究
[点评] 对复合函数求导，应分析清楚复合函数的复合层次，“由外到内”逐层求导，在中学数学中一般复合函数的复合层次不超过3层．
　探究点3　导数的几何意义
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 要点探究
[点评] (1)解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”；(2)对未知切点坐标的问题，一般是首先设出切点的坐标，然后根据需要三个方面出击，即利用“切点处的导数等于切线的斜率”，“切点在曲线上”，“切点在切线上”建立方程组求解；(3)切点的横坐标与该切点处的切线的斜率这两个量之间可以相互转化．
另外，要注意曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，如．
第13讲 │ 要点探究
　　　　 设质点作直线运动，已知路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝3t2＋2t＋1.求：
(1)从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)当t＝2时的瞬时速度；
(3)当t＝2时的加速度．
第13讲 │ 要点探究
[点评] 导函数的实质是瞬时变化率，物理中的“某一时刻的速度”、“加速度”等概念都能用导数来刻画．
规律总结
第13讲 │ 规律总结
1．函数f(x)的导数的实质是“增量之比的极限”，即瞬时变化率，f′(x0)是函数f(x)在导函数f′(x)当x＝x0时的函数值．
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是指曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f′(x0)＝k切，此时切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．准确理解曲线的切线，需要注意的两个问题
第13讲 │ 规律总结
(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个以上公共点；
(2)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．
4．要区分“过某点”的切线和“在某点”的切线不同，“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率，而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程．
第13讲 │ 规律总结
5．利用导数公式求导数时，先要根据这几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．另外，还要避免求导过程中指数或系数的运算失误．
6．在求导数时，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用公式恒等变形可将函数转化为和或差形式，然后进行求导，这样可避免使用积、商的求导法则，从而减少运算量，提高运算速度，避免出错．
7．复合函数求导，必须搞清复合层次，不能有漏掉的环节，要适当选取中间变量，弄清每一步对哪个变量求导，用什么公式求导．