2012届高考复习方案数学理科（北师版）第2单元第14讲　导数的应用

(共31张PPT)
第14讲 │ 导数的应用
第14讲　导数的应用
知识梳理
1．函数的单调性
若函数f(x)在某区间内可导，则f′(x)>0 f(x)在该区间上____________；f′(x)<0 f(x)在该区间上____________．
反之，若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有________恒成立；若f(x)在某区间上单调递减，则在该区间上有________恒成立．
2．函数的极值
(1)函数极值的定义
①已知函数y＝f(x)，设x0是定义域内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取________，记作______________，并把x0称为函数f(x)的一个__________；
第14讲 │ 知识梳理
单调递减
单调递增
f′(x)≥0
f′(x)≤0
极大值
y最大值＝f(x0)
极大值点
②如果在x0附近都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取________，记作____________，并把x0称为函数f(x)的一个____________；
③极大值与极小值统称________，极大值点与极小值点统称为________．
(2)求函数极值的方法
①第1步：求导数f′(x)；
②第2步：求方程f′(x)＝0的所有实数根；
③第3步：当f(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧______，右侧________，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．
第14讲 │ 知识梳理
极小值
y最小值＝f(x0)
极小值点
极值
极值点
f′(x)>0
f′(x)<0
f′(x)<0
f′(x)>0
第14讲 │ 知识梳理
　　3．函数的最值
(1)函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像________________________，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的______；
②将函数y＝f(x)的各极值与__________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
4．f(x)＞m恒成立等价于________；f(x)＜m恒成立等价于________．
5．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极大值为f(x1)，极小值为f(x2)，若函数有三个零点，则________________；函数有两个零点，则________________；函数有且仅有一个零点，则______________．
是一条连续不断的曲线
极值
端点处的函数值f(a)、f(b)
mm>f(x)max
f(x1)>0且f(x2)<0
f(x1)＝0或f(x2)＝0
f(x1)<0或f(x2)>0
要点探究
　探究点1　利用导数研究函数的单调性
第14讲 │ 要点探究
第14讲 │ 要点探究
第14讲 │ 要点探究
[点评] (1)利用导函数的性质比用函数单调性的定义要方便，它是根据导函数的正负性确定函数的单调性；(2)两个单调递增区间不能“并”起来．函数的单调性是函数在某一区间内的性质，讨论函数的单调性应在函数的定义域范围内进行．
第14讲 │ 要点探究
　　　　 如果函数y＝f(x)的图像如图14－1，那么导函数y＝f′(x)的图像可能是(　　)
图14－1
图14－2
第14讲 │ 要点探究
[答案] A
[解析] 由原函数的单调性可以得到导函数的正负性情况，依次是“正、负、正、负”，即导函数的图像与x轴的位置应是“上、下、上、下”，符合规律的只有A
[思路] 由原函数的图像变化趋势是“增、减、增、减”，运用“增则正，减则负”规律，即可判断导函数的图像．
[点评] 解决此类问题时，审题应看清已知条件是导函数还是原函数，然后用“导数的正负性决定原函数的增减性”原则进行判断．
第14讲 │ 要点探究
　　　　 已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
(3)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[思路] (1)通过解f′(x)>0求单调递增区间；(2)转化为f′(x)>0在R上恒成立问题，求a；(3)假设存在a，则f(0)是f(x)的极小值，或转化为恒成立问题．
第14讲 │ 要点探究
[解答] (1)f′(x)＝ ex－a.若a≤0，f′(x)＝ex－a>0恒成立，即f(x)在R上递增．若a＞0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna，∴f(x)的递增区间为(lna，＋∞)．
(2)∵f(x)在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立．∴ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立．∴a≤(ex)min，又∵ex＞0，∴a≤0.
(3)方法一：由题意知ex－a≤0在(－∞，0]上恒成立．∴a≥ex在(－∞，0]上恒成立．∵ex在(－∞，0]上为增函数，∴x＝0时，ex最大为1.∴a≥1，同理可知ex－a≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤ex在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1.
综上所述，a＝1.
方法二：由题意知，x＝0为f(x)的极小值点．∴f′(0)＝0，即e0－a＝0，∴a＝1，经检验a＝1符合题意．
第14讲 │ 要点探究
[点评] 已知函数f(x)在某区间内单调求参数问题，常转化为其导函数f′(x)在该区间内大于等于0(单调增函数)或小于等于0(单调减函数)恒成立问题．有时问题也可以借助集合的思想解决
　探究点2　利用导数研究函数的极值与最值
第14讲 │ 要点探究
例2 已知a∈R，讨论函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)的极值点的个数．
[解答] f′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a)＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]，
令f′(x)＝0得x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0.
(1)当Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a＝a(a－4)>0，
即a<0或a>4时x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1于是f′(x)＝ex(x－x1)(x－x2)，从而有下表：
第14讲 │ 要点探究
即此时f(x)有两个极值点．
(2)当Δ＝0即a＝0或a＝4时，方程x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0有两个相同的实根x1＝x2.于是f′(x)＝ex(x－x1)2.故当x0，当x>x2时f′(x)>0，因此f(x)无极值．
(3)当Δ<0即00，
f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]>0，故f(x)为增函数，此时f(x)无极值．因此当a>4或a<0时，f(x)有两个极值点，当0≤a≤4时，f(x)无极值点．
第14讲 │ 要点探究
例3 函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值
[解答] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0时，列表如下：
第14讲 │ 要点探究
由上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，f(2)②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝－29，即b＝－29，又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29，f(2)>f(1)，∴x＝2时函数在[－1,2]上取得最大值，∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
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[2010·宝鸡模拟] 已知函数f(x)＝axlnx在点(e，f(e))处的切线与直线y＝2x平行(其中e＝2.71828…)，g(x)＝x2－tx－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[n，n＋2](n＞0)上的最小值；
(3)对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．
第14讲 │ 要点探究
第14讲 │ 要点探究
　探究点3　导数在方程与不等式中的应用
例4 [2010·广州模拟] 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
(1)求b的值；
(2)求f(2)的取值范围；
(3)试探究直线y＝x－1与函数y＝f(x)的图像交点个数的情况，并说明理由．
第14讲 │ 要点探究
第14讲 │ 要点探究
第14讲 │ 要点探究
第14讲 │ 要点探究
　探究点4　生活中的优化问题
第14讲 │ 要点探究
第14讲 │ 要点探究
第14讲 │ 要点探究
第14讲 │ 要点探究
[点评] 用导数求解实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后转化为导数模型求解．
规律总结
第14讲 │ 规律总结
1．函数的单调性、极值、最值都是定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的性质时，首先要研究函数的定义域，再利用导数f′(x)解决．
2．通过判断函数各区间内导数f′(x)的符号，可判断函数f(x)在该区间上的单调性．若f′>0(或f′<0)，则函数f在相应区间上是增加(或减少)的．
3．根据极值的定义，导数为0且在该点两侧导数的符号相反，则该点是函数的极值点．利用导数求函数的极值时，通过导数为零的点将整个定义域分为若干个区间，然后将x，f′(x)，f在每个区间内的变化情况列在一个表格中，通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值，是极大值还是极小值，所以在解题中注意表格的正确列法．
第14讲 │ 规律总结
4．根据最值的定义可知：函数的最值只可能在极值点取得，或者在区间的端点处取得．因此，求函数在闭区间内的最值时，只需要比较导数为0的点的函数值与端点值的大小，其中最大的值即为函数的最大值，最小的值即为函数的最小值．
第14讲 │ 规律总结
5．导数是解决生产生活中最优化问题的通性通法，利用导数求实际问题的最值的一般步骤和方法如下：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，并根据实际问题中的限制条件确定y＝f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出方程所有实数根；(3)比较函数在各个区间端点和在极值点的取值大小，确定其为最大值还是最小值；(4)检验结果的实际意义，给出答案．
第14讲 │ 规律总结
6．利用导数证明不等式是导数的应用之一，一般地，要证明不等式f(x)>g(x)在区间I上恒成立，则可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，通过讨论h′(x)在区间I上的取值范围，判断出函数h(x)的单调性，然后由函数h(x)在区间I上的一个初始值，证得不等式成立；利用导数研究方程问题，主要是指根据方程构造函数，然后利用导数，研究得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数图像来研究方程的根的个数、大小等问题．