2012届高考复习方案数学理科（北师版）第2单元第15讲　定积分与微积分基本定理

(共19张PPT)
第15讲 │ 定积分与微积分基本定理
第15讲　定积分与微积分基本定理
知识梳理
1．定积分的概念
一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，其图像如图15－1所示．
将[a，b]区间分成n份，分点为：
a＝x0第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δ2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.
在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，
设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn.
第15讲 │ 知识梳理
图15－1
如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于某一个固定的________，容易验证，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点δi，S′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn的值也趋于该________，我们
称______是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的________，记作f(x)dx，即__________．
其中，∫叫作积分号，a与b分别叫作积分的______与积分的______，函数f(x)叫作__________．
第15讲 │ 知识梳理
常数A
常数A
A
　定积分
下限
上限
被积函数
第15讲 │ 知识梳理
y＝f(x)
x＝a，x＝b和x轴
b－a
F(b)－F(a)
要点探究
　探究点1　利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分
第15讲 │ 要点探究
[思路] 利用微积分基本定理求定积分，就是求出被积函数的一个原函数，然后再计算在相应区间上的函数值的差即可．
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
(2)不等式0(2x－8)dx≤0的解集为
[答案] {a|0第15讲 │ 要点探究
[答案] 3
第15讲 │ 要点探究
[点评] 利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的一个原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此要注意掌握一些常见函数的导数，在求稍微复杂的定积分时要注意被积函数的变形转化．把定积分融入方程或不等式已成为近几年考试的热点．
　探究点2　利用定积分的几何意义求定积分
第15讲 │ 要点探究
[思路] 画出被积函数的图像，求出对应图形的面积，由定积分的几何意义便可求出积分值．
第15讲 │ 要点探究
　探究点3　定积分在求图形面积和旋转体体积方面的应用
例3 (1)求抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积
第15讲 │ 要点探究
[思路] 先画出已知函数的图像，求出抛物线与直线的交点，再利用积分求解．
第15讲 │ 要点探究
(2)求由曲线y＝sinx在[0，π]段与x轴所围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积V.
[思路] 直接用旋转体的体积公式计算
第15讲 │ 要点探究
[点评] (1)从上述两种解法中可以看出，对y积分比x积分计算简捷，但同时也要注意对y积分时，积分函数应为x＝m(y)，然后再根据定积分求解，因此对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．(2)利用积分研究旋转体的体积时，要注意旋转体相应的旋转曲线，旋转方向与旋转轴．
　探究点4　定积分在物理方面的应用
第15讲 │ 要点探究
例4 [2010·福州模拟] 一辆汽车的速度——时间曲线如图15－2所示，求该汽车在这一分钟内行驶的路程．
图15－2
[思路] 本题考查定积分在物理中的应用，可以先根据图像求出速度关于时间的函数解析式，再利用定积分求出路程
第15讲 │ 要点探究
第15讲 │ 要点探究
[点评] 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案，由于函数是分段函数，所以运算过程可能稍微复杂些，因此在运算过程中一定要细心，不要出现计算上的错误，利用定积分还能解决变力做功的问题．
规律总结
第15讲 │ 规律总结
第15讲 │ 规律总结