2012届高考复习方案数学理科（北师版）第3单元第22讲　正弦定理和余弦定理

(共36张PPT)
第22讲 │ 正弦定理和余弦定理
第22讲　正弦定理和余弦定理
知识梳理
1．关于正弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________________．
(2)正弦定理的变形(设外接圆半径为R)
①a＝________，b＝________，c＝________，
第22讲 │ 知识梳理
2RsinA
2RsinB
2RsinC
②sinA＝______，sinB＝______，sinC＝______，
a∶b∶c＝__________________.
(3)正弦定理解决的斜三角形的类型
①已知三角形的两角及一边，求其他的____________．
②已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的__________________．　
第22讲 │ 知识梳理
sinA∶sinB∶sinC
两边及一角
两角及一边
第22讲 │ 知识梳理
一解
无解
一解
一解
无解
第22讲 │ 知识梳理
　　2.关于余弦定理
(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于_____________________________________________________________________，
即a2＝__________________，b2＝__________________，c2＝__________________________.
(2)余弦定理的变形
cosA＝________________，cosB＝________________，
cosC＝________________.
(3)余弦定理解决的斜三角形的类型
①已知三角形的三边，求______；
②已知两边及其夹角，求____________________．
其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
b2＋c2－2bccosA
a2＋c2－2accosB
a2＋b2－2abcosC
三角
第三边及其余两角
要点探究
　探究点1　正弦定理解三角形
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
[思路] (1)已知三角形的两个内角，实际上就是已知了三角形的三个内角，相当于在△ABC中已知一边和另外两边的对角，求解边长，使用正弦定理；(2)根据已知可以求出角B，进而在△ABC中已知两边及一边的对角，可以使用正弦定理求解另一边的对角．
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
如图22－1所示，已知扇形OAB，O为顶点，圆心角∠AOB＝60°，半径为2 cm，在弧AB上有一动点P，由P引平行OB的直线和OA相交于C，∠AOP＝β，求△POC的面积的最大值以及此时β的值．
图22－1
[思路] 所求三角形的面积等于OC·OPsinβ，在△OCP中根据正弦定理建立OC的长度关于角β的关系式，然后进行三角恒等变换求解．
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
　探究点2　余弦定理解三角形
第22讲 │ 要点探究
[思路] 已知的是三角形的两边及一边的对角，可以使用正弦定理求出角B，再根据三角形内角和定理求解角A，再根据正弦定理或者余弦定理求出边，也可以直接根据余弦定理列出关于边的方程，通过解方程求出边a.
[答案] 1
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
图22－2
第22讲 │ 要点探究
[思路] (1)根据余弦定理；(2)甲在线段Ox上和甲在射线Ox′上分别使用余弦定理；(3)根据建立的函数关系求函数在t为何值时函数有最小值．
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
　探究点3　正弦定理和余弦定理解三角形
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
[答案] (1)D　(2)A
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
　探究点4　三角形形状的判断
4 [2010·辽宁卷] 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
[思略] (1)根据已知2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC的特点，可以使用正弦定理实现角的三角函数向边的转化，也可以实现边的关系向角的三角函数的转化，如果用这个转化则就是sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，这个关系和a2＝b2＋c2＋bc是等价的，很显然根据余弦定理即可求出A的余弦，进而求出A的大小；(2)在角A已知的情况下，根据三角形内角和定理，方程sinB＋sinC＝1可以化为只含有一个角的三角函数的方程，通过这个方程求出这个角即可知道三角形的三个内角，进而判断出三角形的形状．
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
1 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，且2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．
[思路] 根据方程2cos2B－8cosB＋5＝0即可求出B的余弦值，进而确定B的大小，在B已知的情况下结合a＋c＝2b和余弦定理，即可确定边a，c的关系，根据两边和其夹角即可确定这个三角形的形状．
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
2 在△ABC中，若acosA＝bcosB，判断△ABC的形状．
[思路] 根据正弦定理求解．
规律总结
第22讲 │ 规律总结
1．正弦定理和余弦定理揭示了三角形边和角之间的关系，根据这两个定理和三角形内角和定理，可以由三角形中的三个元素(至少有一个边)求解另外的三个元素．
2．正弦定理和余弦定理本身就是一个联系三角形边角关系的方程，在解题中要根据已知和求解目标，把问题纳入含有已知和求解目标的方程中，通过方程解决问题．
3．在求解角的问题中不一定要知道三角形的具体的边长，只要能求出其中的一些比例关系即可根据正弦定理或者余弦定理求解这个角的正弦值或者余弦值，从而求出这个角．
第22讲 │ 规律总结
4．在三角形中大边对应大角，即a>b A>B，这个关系等价于sinA>sinB A>B；在解三角形时要根据角对应的边的大小确定解的个数．
5．判断三角形形状的基本方法是根据正弦定理和余弦定理变换已知的条件，或者把边的关系转化为角的关系，或者把角的关系转化为边的关系，通过三角形的内角之间的关系或者边之间的关系对三角形的形状作出判断．