2012届高考复习方案数学理科（北师版）第2单元第5讲　函数的单调性与最值

(共30张PPT)
第5讲 │ 函数的单调性与最值
第5讲　函数的单调性与最值
知识梳理
1．函数的单调性及性质
(1)定义：一般地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当________时，都有________ __________，那么就说f(x)在区间A上是______的(______的)．
注意：
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间A内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2))．
第5讲 │ 知识梳理
f(x1)f(x2))
增加
减少
x1(2)如果函数y＝f(x)在某个区间A上是增加的或是减少的，就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间A叫做y＝f(x)的单调区间．
(3)设复合函数y＝f[g(x)]，其中u＝g(x)．如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f[g(x)]是________函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f[g(x)]是____函数．
第5讲 │ 知识梳理
增
减
第5讲 │ 知识梳理
(4)判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间A上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈A，且x1②作差f(x1)－f(x2)；
③变形(通常是因式分解和配方)；
④判断符号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；
⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间A上的单调性)．
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(5)函数单调性的简单性质
①奇函数在其关于原点对称区间上的单调性______；
②偶函数在其关于原点对称区间上的单调性______；
③在公共定义域内：
增函数f(x)＋增函数g(x)是________；
减函数f(x)＋减函数g(x)是________；
增函数f(x)－减函数g(x)是________；
减函数f(x)－增函数g(x)是________．
相同
相反
增函数
减函数
增函数
减函数
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2．函数的最值：
对于函数f(x)，假定其定义域为A，则
(1)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≥f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的________；
(2)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≤f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的________．
最小值
最大值
要点探究
　探究点1　判断、证明函数的单调性
第5讲 │ 要点探究
[思路] (1)利用函数过定点以及a，b为正整数，求得a，b的值，从而得到函数f(x)的解析式；(2)严格按照用定义证明单调性的步骤进行．
第5讲 │ 要点探究
第5讲 │ 要点探究
第5讲 │ 要点探究
[点评] 用定义证明单调性必须走程序化的步骤，其关键一步是对Δy作的变形，变形的目的是能够判断Δy的符号，为此常作出：①多项式分解因式或配方；②分式通分后分子、分母因式分解；③根式有理化；④幂、指、对数要用各自的运算法则．
判断含有参数的函数的单调性，需注意对参数进行讨论以及分类讨论的依据是什么，应根据具体的题目进行具体的分析，比如下面的变式题．
第5讲 │ 要点探究
　　　　 判断函数f(x)＝x＋(a≠0)在区间上的单调性，并加以证明．
第5讲 │ 要点探究
　探究点2　抽象函数与复合函数的单调性
例2已知定义在R上的函数f(x)满足：(1)对于任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；(2)当x>0时，f(x)<0且f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
第5讲 │ 要点探究
[思路] (1)对抽象函数关系式中的x，y正确合理的赋值后，利用单调性的定义证明；(2)利用函数的单调性求最值．
第5讲 │ 要点探究
[解答] (1)证明：任取x10，由条件(2)得f(x2－x1)<0，
∴f(x2)(2)在(1)中，令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，再令y＝－x得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＝－f(x)，因此f(x)为奇函数，
∴f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－f(1)－f(2)＝－f(1)－f(1)－f(1)＝－3f(1)＝6，f(x)min＝f(3)＝－f(－3)＝－6.
第5讲 │ 要点探究
[点评] 根据题目所给的条件，往往需要探求函数有哪些特殊的性质，如函数的单调性、奇偶性、周期性等，本题将奇偶性与单调性有机结合起来，而函数的单调性是解决抽象函数最值题的常见方法．
第5讲 │ 要点探究
[思路]各段函数在其定义域内都是增函数，并注意x＝1处时，两段函数的函数值的大小关系
第5讲 │ 要点探究
[答案] B
(2)求函数y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调区间．
第5讲 │ 要点探究
[思路] 对于复合函数的单调性，要在定义域上结合“同增异减”的判断方法进行分析
[点评] 在运用复合法判断函数的单调性时，要注意：(1)单调区间必须在定义域内；(2)要确定内层函数t＝g(x)的值域，否则就无法确定f(t)的单调性(特别是当f(t)的单调区间是由几个区间组成时)；(3)函数的单调区间不能用“∪”，只能用“和”或“，”表示．比如下面的变式题．
第5讲 │ 要点探究
第5讲 │ 要点探究
图5－1
[思路] 利用函数图像得到f(x)的单调性，并结合判断复合函数单调性规则求解．
第5讲 │ 要点探究
[答案] C
　探究点3　与单调性有关参数问题
例4设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)．
(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求实数a、b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
第5讲 │ 要点探究
[思路] 二次函数恒成立可考虑判别式Δ (2)g(x)仍是二次函数，其单调性可依据抛物线的对称轴处理．
第5讲 │ 要点探究
[解答] （1）∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，即b＝a＋1.
又对任意实数x均有f(x)≥0成立，∴Δ＝b2－4a≤0恒成立，即(a－1)2≤0恒成立，∴ a＝1，b＝2.
第5讲 │ 要点探究
[点评] 已知函数的单调性求函数解析式中参数的取值范围的基本方法有两个：(1)根据函数单调性的特点，若是一次函数要注意考查一次项的系数，若是二次函数要注意考查其对称轴等．(2)利用导数方法．
第5讲 │ 要点探究
[思路] 函数在区间(－∞，1)，(1，＋∞)上均要单独递减，且在区间(－∞，1)上的函数值要恒大于在区间(1，＋∞)上的函数值．
第5讲 │ 要点探究
[答案] C
　探究点4　利用函数单调性求最值
第5讲 │ 要点探究
第5讲 │ 要点探究
规律总结
第5讲 │ 规律总结
1．求函数的单调区间，讨论函数的单调性时要注意以下两点：
(1)必须在定义域内进行，即函数的单调区间是定义域的子集；
(2)常转化为熟悉函数的单调性，因此，掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程．
2．单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此，定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替．
第5讲 │ 规律总结
3．已知函数单调性求参数范围的问题，解法是根据单调性的概念得到恒成立的不等式，还要注意定义域的限制，并挖掘题目的隐含条件．
4．利用函数的单调性求函数的值域或最值时一定要注意函数的定义域．除函数的单调性外，求函数最值的方法还有：不等式法，三角代换法，配方法，导数法，数形结合法等，需多总结各种题型与方法的相互搭配．