2012届高考复习方案数学理科（北师版）第2单元第11讲　函数与方程

(共19张PPT)
第11讲 │ 函数与方程
第11讲　函数与方程
知识梳理
1．一般地，如果函数y＝f(x)的图像与横轴有交点，我们把这个交点的________称为这个函数的______．
2．方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图像与x轴有______ 函数y＝f(x)有______．
3．(1)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线；(2)并且满足__________．那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即至少存在一个c∈(a，b)，使________．满足上面条件(1)、(2)后，在(a，b)内存在的c不一定只有一个．
第11讲 │ 知识梳理
横坐标
零点
交点
零点
f(a)·f(b)＜0
f(c)＝0
4．函数f(x)的图像是一条连续的曲线，且在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，通过不断地选取区间的中点，把函数f(x)所在的零点区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为________．
第11讲 │ 知识梳理
一分为二
二分法
要点探究
　探究点1　方程的根与函数的零点
第11讲 │ 要点探究
[思路] 分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数．
[答案] B
第11讲 │ 要点探究
[解析] 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x＞0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有2个零点，选B.
[点评] 函数f(x)的零点是一个实数(不是点)，就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，因此判断零点的个数就是判断方程f(x)＝0的实根个数，有时也可以根据函数图像的交点来判断零点的个数，如：
第11讲 │ 要点探究
　　　　 函数y＝lnx＋2x－6的零点个数为________．
[答案] 一个
[解析] 在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图像，由图可知两图像只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．
　探究点2　函数零点位置的判断
第11讲 │ 要点探究
[思路] 对于区间上连续不断的函数，在区间[a，b]内寻根，往往需要利用零点的存在性定理判断，即判断f(a)f(b)<0是否成立．
例2 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；
(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
第11讲 │ 要点探究
[解答] (1)方法一：因为f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．
方法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．
(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(x)＝x3－x－1在x∈[－1,2]上存在零点．
(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1＞0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3＜0，∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在x∈[1,3]上存在零点．
[点评] 零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间[a，b]上是否存在零点的定理，该定理只能判断存在零点，不能判断区间[a，b]不存在零点，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)f(b)>0，函数在区间[a，b]上也可能存在零点，如：
第11讲 │ 要点探究
[答案] D
[2009·天津卷] 设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
[解答] 由题意得f′(x)＝－＝，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得00，故选择D.
　探究点3　二次函数零点的分布问题
例3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．
第11讲 │ 要点探究
[思路] 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．
[点评]本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不等式等的基本关系，有效地训练对“三个二次”的整体理解与掌握，解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法．
第11讲 │ 要点探究
第11讲 │ 要点探究
第11讲 │ 要点探究
　　　　 求a为何值时，方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实根．
　探究点4　利用函数零点求参数
例4 (1)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值；
第11讲 │ 要点探究
[思路] 函数的类型为初等函数，因此可以利用方程的思想求解
第11讲 │ 要点探究
[思路]通过图像变换法作出函数的图像，利用数形结合思想求解．
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
[解答] 若f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，即|4x－x2|＋a＝0有四个根，即|4x－x2|＝－a有四个根．令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的图像，由图像可知如果要使|4x－x2|＝－a有四个根，那么g(x)与h(x)的图像应有4个交点．故需满足0＜－a＜4，即－4＜a＜0.∴a的取值范围是(－4,0)．
第11讲 │ 要点探究
[点评] 函数形结合法是解决利用函数零点求参数问题的基本思想，其要点是通过构造函数，把函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题．
第11讲 │ 要点探究
　　　　 已知函数f(x)＝x|x－4|－5，当方程f(x)＝a有三个根时，求实数a的取值范围．
规律总结
第11讲 │ 规律总结
1．方程的根(从数的角度看)、函数图像与x轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)＝0的根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．
(3)二分法：主要用于求函数零点的近似值．
第11讲 │ 规律总结
3．要注意对于在区间[a，b]上的连续函数f(x)，若x0是f(x)的零点，却不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0仅是f(x)在[a，b]上存在零点的充分条件，而不是必要条件．
4．有关函数零点的重要结论
(1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变．
5．用二分法求零点的近似解时，所要求的精确度ε不同，得到的结果也不同．精确度为ε是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算．精确度为0.001与精确到0.001是不同的．